Контрольная работа по "Математическая статистика"

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 10 Февраля 2014 в 10:42, контрольная работа

Краткое описание

Задание 1. Для определения средней дальности грузоперевозок проведено наблюдение за 20 грузами. В таблице приведена масса каждого груза (в тоннах) и дальность перевозки (в км).

Прикрепленные файлы: 1 файл

Контр. по мат.статистике.docx

— 100.01 Кб (Скачать документ)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

 

Федеральное государственное бюджетное образовательное  учреждение

высшего профессионального образования


«Иркутский государственный  университет путей сообщения»

(ФГБОУ  ВПО  ИРГУПС)

 

Факультет Экономики и финансов

Кафедра «Высшая математика»

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Математическая статистика»

для бакалавров-экономистов  заочной формы обучения

 

Вариант 4

 

 

 

 

 

 

                                                                            Выполнил: студент гр. Э-3-934кХрабрых В.В

                                                                            Проверил:

 

 

 

 

 

 

 

 

Иркутск 2014


Задание 1. Для определения средней дальности грузоперевозок проведено наблюдение за 20 грузами. В таблице приведена масса каждого груза (в тоннах) и дальность перевозки (в км).

 

1. Найти минимальное  и максимальное значения дальности  перевозки в выборке. Построить  гистограмму частот для дальности  перевозок (без учёта масс перевезённых  грузов), введя интервалы 0 – 200, 200 – 400, 400 – 600, 600 – 800, 800 – 1000, 1000 – 1200, 1200 – 1400, 1400 – 1600.

 

2.  Найти точечную несмещённую оценку средней дальности перевозок:

а) с учётом масс грузов;

б) без учёта масс грузов.

 

3. Найти точечную  несмещённую оценку дисперсии  дальности перевозок в генеральной  совокупности и исправленное  среднеквадратическое отклонение (СКО)  без учёта масс грузов.

 

4. Считая генеральное  СКО известным (приняв его равным  исправленному СКО), а распределение — нормальным, построить доверительный интервал для средней дальности перевозок с надёжностью, указанной в таблице.

 

5. Считая генеральное СКО неизвестным, построить доверительный интервал для средней дальности перевозок с надёжностью 0.99. Объяснить причины того, что доверительный интервал оказался шире, чем в пункте 4.

 

Масса

17

43

10

10

19

15

10

35

17

24

Дальн.

1238

720

916

310

305

1237

1334

1190

407

693


 

31

13

14

24

47

13

42

20

27

10

нажёжн.

818

1428

580

1281

674

964

642

718

1252

987

0,93


 

 

Решение:

  1. Расположим значения дальности перевозок в порядке возрастания.

Масса

Дальность

15

237

17

238

19

305

10

310

17

407

14

580

42

642

47

674

24

693

20

718

43

720

31

818

10

916

13

964

10

987

35

1190

27

1252

24

1281

10

1334

13

1428


 

Мы  видим, что минимальное значение дальности перевозок , а максимальное значение

Чтобы построить гистограмму частот для  дальности перевозок (без учёта  масс перевезённых грузов) необходимо разбить весь интервал дальности  перевозок на некоторое количество интервалов одинаковой длины и подсчитать частоты попадания значений дальности  перевозок в каждый из интервалов.

В нашем случае, получаем:

   

частота

0

200

0

200

400

4

400

600

2

600

800

5

800

1000

4

1000

1200

1

1200

1400

3

1400

1600

1

   

Сумма=20


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

      1. Точечной оценкой среднего значения дальности перевозок без учета массы есть

  1. величина:

 

Точечной оценкой среднего значения дальности перевозок с учетом массы есть величина:

 

 

  1. Точечная несмещённая  оценка дисперсии дальности перевозок  в генеральной совокупности без  учета массы грузов определяется формулой:

 

 

Тогда исправленное среднее квадратическое отклонение определяется формулой:

 

  1. Доверительный интервал для средней дальности перевозок  при доверительной вероятности 0,93 мы можем определить по формуле:

 

 

 

 

Тогда доверительный интервал примет вид:

 

Таким образом с вероятностью 0.93 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

  1. Доверительный интервал для средней дальности перевозок при доверительной вероятности 0,99 при неизвестной дисперсии мы можем определить по формуле:

 

 

Находим по таблице значений квантили

 

Следовательно, искомое значение доверительного интервала  при неизвестной дисперсии равно:

 

Таким образом с вероятностью 0.99 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.


В пункте 5 доверительный интервал оказался шире, чем в пункте 4. Прежде всего это получилось  благодаря тому, что уровень значимости оказался выше.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2. В таблице указаны протяжённость сети и размеры перевозок по железным дорогам 13 стран в 1969 году (БСЭ, т.9, с.139).

 

Страны

Эксплуатационная

 длина 

сети, тыс.км.

Густота сети на 100 кв.км территории, км.

Грузовые перевозки

Пассажирские перевозки

Объем перевозок, млн.т.

Грузооборот, млрд.т.*км

Средняя дальность перевозок, км

Объем перевозок, млн.чел.

Пассажирооборот, млрд. пассажиро-км.

Средняя дальность поездки, км.

Число поездок на 1 жителя

США

334.0

4.3

1440.0

1150.0

778

302

19.9

66

1.5

Великоб.

19.5

8.5

209.0

27.0

113

805

29.6

37

14.5

Франция

36.5

6.6

243.0

69.0

277

607

39.1

64

12.1

ФРГ

33.8

13.6

380.0

69.0

183

1019

37.1

36

17.6

Италия 

20.1

6.7

62.9

18.1

288

461

32.5

70

8.5

Япония 

26.1

7.1

253.0

61.0

239

6541

181.0

20

65.0

СССР 

134.6

0.6

2759.0

2367.0

858

283

261.3

92

11.8

Болгария 

4.2

3.8

62.7

12.6

201

105

6.1

54

12.4

Чехосл.

13.3

10.4

225.6

53.2

236

572

20.2

35

39.6

ГДР

14.9

13.7

252.0

39.4

156

636

17.6

28

36.8

Венгрия

9.3

10.0

112.4

18.4

164

549

16.4

30

53.2

Польша 

26.6

8.5

373.7

95.0

254

1048

37.0

35

32.0

Румыния

11.0

4.6

155.4

39.8

256

306

16.7

55

15.0


 

1. Найти выборочный коэффициент  корреляции между указанной парой  показателей X, Y .

2. Проверить гипотезу о значимости  коэффициента корреляции при  уровне значимости гипотезы 

3. Найти выборочное уравнение линейной  регрессии Y по X и построить соответствующий график.

X — густота сети на 100 кв. километров территории;

Y — средняя дальность грузоперевозок.

Показатель (количественный признак)

X

Показатель (количественный признак)

Y

Объём грузоперевозок

Средняя дальность грузоперевозок


 

 

 

Решение:

  1. Для оценки тесноты линейных корреляционных зависимостей между величинами Х и Y по результатам выборочных наблюдений вводится понятие выборочного коэффициента линейной корреляции, определяемого формулой:

 

где и -выборочные средние квадратические отклонения величин Х и Y.

В нашем случае имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 


Тогда, подставляя полученные значения в уравнение  для вычисления коэффициента корреляции, получаем:

 

  1. Проверим значимость коэффициента корреляции.


Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной  величины при конкурирующей гипотезе H1 ≠ 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия

 

и по таблице критических точек  распределения Стьюдента, по заданному  уровню значимости и числу степеней свободы найти критическую точку двусторонней критической области. Если оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если — нулевую гипотезу отвергают.

 

По  таблице Стьюдента с уровнем  значимости и степенями свободы находим

 

где - количество объясняющих переменных.

Поскольку , то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически – значим.

  1. Уравнение регрессии.

Уравнение линейной регрессии с y на x будем искать по формуле:

 

В нашем случае, все параметры найдены. Подставляем значения в уравнения  и находим:

 

 

Задание 3. С целью изучения прочности некоторого изделия исследованы образцы, для каждого из которых определён предел прочности на разрыв. Весь интервал значений (от ) разбит на 9 интервалов равной длины, и определены частоты попадания в каждый интервал. В таблице указаны середины интервалов и частоты.

1. Полагая,  что в генеральной совокупности  количественный признак (предел  прочности на разрыв) распределён  нормально, произвести выравнивание  статистического ряда. На одном  графике показать эмпирические  и теоретические частоты. 

 

 

2. Проверить  гипотезу о нормальном распределении,  задавшись уровнем значимости  0,05.

Сер. интерв.

41

43

45

47

49

51

53

55

57

Объем

частоты

5

9

11

15

20

13

5

10

4

92


Решение:

  1. Вычислим среднее значение предела прочности для всего ряда.

Получаем:


Вычислим  дисперсию

 

 

 

Составим  вспомогательную таблицу:

 

- эмпирические частоты

   

 

значения нормального распределения  по таблице

 

41

5

-7,7

-1,833

0,0748

3.28

43

9

-5,7

-1,357

0,1582

6.94

45

11

-3,7

-0,881

0,2709

11.89

47

15

-1,7

-0,405

0,3683

16.16

49

20

0,3

0,071

0,3977

17.45

51

13

2,3

0,548

0,341

14.96

53

5

4,3

1,024

0,2323

10.19

55

10

6,3

1,500

0,1276

5.6

57

4

8,3

1,976

0,0551

2.42

           

Информация о работе Контрольная работа по "Математическая статистика"