Контрольная работа по "Математическая статистика"

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

 

Федеральное государственное бюджетное образовательное  учреждение

высшего профессионального образования

«Иркутский государственный  университет путей сообщения»

(ФГБОУ  ВПО  ИРГУПС)

 

Факультет Экономики и финансов

Кафедра «Высшая математика»

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Математическая статистика»

для бакалавров-экономистов  заочной формы обучения

 

Вариант 4

 

 

 

 

 

 

                                                                            Выполнил: студент гр. Э-3-934кХрабрых В.В

                                                                            Проверил:

 

 

 

 

 

 

 

 

Иркутск 2014

Задание 1. Для определения средней дальности грузоперевозок проведено наблюдение за 20 грузами. В таблице приведена масса каждого груза (в тоннах) и дальность перевозки (в км).

 

1. Найти минимальное  и максимальное значения дальности  перевозки в выборке. Построить  гистограмму частот для дальности  перевозок (без учёта масс перевезённых  грузов), введя интервалы 0 – 200, 200 – 400, 400 – 600, 600 – 800, 800 – 1000, 1000 – 1200, 1200 – 1400, 1400 – 1600.

 

2.  Найти точечную несмещённую оценку средней дальности перевозок:

а) с учётом масс грузов;

б) без учёта масс грузов.

 

3. Найти точечную  несмещённую оценку дисперсии  дальности перевозок в генеральной  совокупности и исправленное  среднеквадратическое отклонение (СКО)  без учёта масс грузов.

 

4. Считая генеральное  СКО известным (приняв его равным  исправленному СКО), а распределение — нормальным, построить доверительный интервал для средней дальности перевозок с надёжностью, указанной в таблице.

 

5. Считая генеральное СКО неизвестным, построить доверительный интервал для средней дальности перевозок с надёжностью 0.99. Объяснить причины того, что доверительный интервал оказался шире, чем в пункте 4.

 

Масса	17	43	10	10	19	15	10	35	17	24
Дальн.	1238	720	916	310	305	1237	1334	1190	407	693

 

31	13	14	24	47	13	42	20	27	10	нажёжн.
818	1428	580	1281	674	964	642	718	1252	987	0,93

 

 

Решение:

1. Расположим значения дальности перевозок в порядке возрастания.

Масса	Дальность
15	237
17	238
19	305
10	310
17	407
14	580
42	642
47	674
24	693
20	718
43	720
31	818
10	916
13	964
10	987
35	1190
27	1252
24	1281
10	1334
13	1428

 

Мы  видим, что минимальное значение дальности перевозок , а максимальное значение

Чтобы построить гистограмму частот для  дальности перевозок (без учёта  масс перевезённых грузов) необходимо разбить весь интервал дальности  перевозок на некоторое количество интервалов одинаковой длины и подсчитать частоты попадания значений дальности  перевозок в каждый из интервалов.

В нашем случае, получаем:

		частота
0	200	0
200	400	4
400	600	2
600	800	5
800	1000	4
1000	1200	1
1200	1400	3
1400	1600	1
		Сумма=20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      1. Точечной оценкой среднего значения дальности перевозок без учета массы есть

2. величина:

 

Точечной оценкой среднего значения дальности перевозок с учетом массы есть величина:

 

 

3. Точечная несмещённая  оценка дисперсии дальности перевозок  в генеральной совокупности без  учета массы грузов определяется формулой:

 

 

Тогда исправленное среднее квадратическое отклонение определяется формулой:

 

4. Доверительный интервал для средней дальности перевозок  при доверительной вероятности 0,93 мы можем определить по формуле:

 

 

 

 

Тогда доверительный интервал примет вид:

 

Таким образом с вероятностью 0.93 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

5. Доверительный интервал для средней дальности перевозок при доверительной вероятности 0,99 при неизвестной дисперсии мы можем определить по формуле:

 

 

Находим по таблице значений квантили

 

Следовательно, искомое значение доверительного интервала  при неизвестной дисперсии равно:

 

Таким образом с вероятностью 0.99 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

В пункте 5 доверительный интервал оказался шире, чем в пункте 4. Прежде всего это получилось  благодаря тому, что уровень значимости оказался выше.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2. В таблице указаны протяжённость сети и размеры перевозок по железным дорогам 13 стран в 1969 году (БСЭ, т.9, с.139).

 

Страны	Эксплуатационная  длина  сети, тыс.км.	Густота сети на 100 кв.км территории, км.	Грузовые перевозки			Пассажирские перевозки
			Объем перевозок, млн.т.	Грузооборот, млрд.т.*км	Средняя дальность перевозок, км	Объем перевозок, млн.чел.	Пассажирооборот, млрд. пассажиро-км.	Средняя дальность поездки, км.	Число поездок на 1 жителя
США	334.0	4.3	1440.0	1150.0	778	302	19.9	66	1.5
Великоб.	19.5	8.5	209.0	27.0	113	805	29.6	37	14.5
Франция	36.5	6.6	243.0	69.0	277	607	39.1	64	12.1
ФРГ	33.8	13.6	380.0	69.0	183	1019	37.1	36	17.6
Италия	20.1	6.7	62.9	18.1	288	461	32.5	70	8.5
Япония	26.1	7.1	253.0	61.0	239	6541	181.0	20	65.0
СССР	134.6	0.6	2759.0	2367.0	858	283	261.3	92	11.8
Болгария	4.2	3.8	62.7	12.6	201	105	6.1	54	12.4
Чехосл.	13.3	10.4	225.6	53.2	236	572	20.2	35	39.6
ГДР	14.9	13.7	252.0	39.4	156	636	17.6	28	36.8
Венгрия	9.3	10.0	112.4	18.4	164	549	16.4	30	53.2
Польша	26.6	8.5	373.7	95.0	254	1048	37.0	35	32.0
Румыния	11.0	4.6	155.4	39.8	256	306	16.7	55	15.0

 

1. Найти выборочный коэффициент  корреляции между указанной парой  показателей X, Y .

2. Проверить гипотезу о значимости  коэффициента корреляции при  уровне значимости гипотезы 

3. Найти выборочное уравнение линейной  регрессии Y по X и построить соответствующий график.

X — густота сети на 100 кв. километров территории;

Y — средняя дальность грузоперевозок.

Показатель (количественный признак) X	Показатель (количественный признак) Y
Объём грузоперевозок	Средняя дальность грузоперевозок

 

 

 

Решение:

1. Для оценки тесноты линейных корреляционных зависимостей между величинами Х и Y по результатам выборочных наблюдений вводится понятие выборочного коэффициента линейной корреляции, определяемого формулой:

 

где и -выборочные средние квадратические отклонения величин Х и Y.

В нашем случае имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда, подставляя полученные значения в уравнение  для вычисления коэффициента корреляции, получаем:

 

2. Проверим значимость коэффициента корреляции.

Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной  величины при конкурирующей гипотезе H₁ ≠ 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия

 

и по таблице критических точек  распределения Стьюдента, по заданному  уровню значимости и числу степеней свободы найти критическую точку _{двусторонней критической области. Если оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если — нулевую гипотезу отвергают.}

 

По  таблице Стьюдента с уровнем  значимости и степенями свободы находим

 

где - количество объясняющих переменных.

Поскольку _{, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически} – значим.

3. Уравнение регрессии.

Уравнение линейной регрессии с y на x будем искать по формуле:

 

В нашем случае, все параметры найдены. Подставляем значения в уравнения  и находим:

 

 

Задание 3. С целью изучения прочности некоторого изделия исследованы образцы, для каждого из которых определён предел прочности на разрыв. Весь интервал значений (от ) разбит на 9 интервалов равной длины, и определены частоты попадания в каждый интервал. В таблице указаны середины интервалов и частоты.

1. Полагая,  что в генеральной совокупности  количественный признак (предел  прочности на разрыв) распределён  нормально, произвести выравнивание  статистического ряда. На одном  графике показать эмпирические  и теоретические частоты. 

 

 

2. Проверить  гипотезу о нормальном распределении,  задавшись уровнем значимости  0,05.

Сер. интерв.	41	43	45	47	49	51	53	55	57	Объем
частоты	5	9	11	15	20	13	5	10	4	92

Решение:

1. Вычислим среднее значение предела прочности для всего ряда.

Получаем:

Вычислим  дисперсию

 

 

 

Составим  вспомогательную таблицу:

	- эмпирические частоты			значения нормального распределения  по таблице
41	5	-7,7	-1,833	0,0748	3.28
43	9	-5,7	-1,357	0,1582	6.94
45	11	-3,7	-0,881	0,2709	11.89
47	15	-1,7	-0,405	0,3683	16.16
49	20	0,3	0,071	0,3977	17.45
51	13	2,3	0,548	0,341	14.96
53	5	4,3	1,024	0,2323	10.19
55	10	6,3	1,500	0,1276	5.6
57	4	8,3	1,976	0,0551	2.42