Контрольная работа по "Теория вероятностей и математическая статистика"

   ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ФИНАНСОВЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ 

ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ОМСКИЙ ФИЛИАЛ

   

            Факультет: Менеджмента и маркетинга

            Кафедра: Высшей математики

            Специальность (направление): Бакалавр менеджмента

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3

Вариант 10.

 

По дисциплине теория вероятностей и математическая статистика.

   

 

Студентка 2 курса Швайко Светлана Сергеевна

Группа  _____________     Номер зачетной книжки    100.18/120070       

 

Преподаватель  доцент Мамыкина Людмила Алексеевна

 

 

 

 

 

 

 

 

Омск 2013

 

 1. На первом станке обработано 20 деталей, из них семь с дефектами, на втором - 30, из них четыре с дефектами, на третьем - 50 деталей, из них 10 с дефектами. Все детали сложены вместе. Наудачу взятая деталь оказалась без дефектов.

Какова вероятность  того, что она обработана на третьем  станке?

 

Решение.

         Для решения этой задачи воспользуемся формулой Байеса:

Пусть Н₁, Н₂, … Н_n – полная группа попарно несовместных событий гипотезы, А – случайное событие, тогда:

 

 

Введем гипотезы: Н₁ – деталь обработана на первом станке, Н₂ – деталь обработана на втором станке, Н₃– деталь обработана на третьем станке.

Введем событие  А – купленная деталь оказалась без дефектов.

Тогда, по условию  задачи:

 

 

Так как на первом станке было изготовлено 20-7 = 13 деталей без дефектов, то

 

 

На втором станке было изготовлено 30-4 = 26 деталей без  дефектов, то

 

А на третьем  станке было изготовлено 50-10 = 40 деталей без дефектов, то

 

 

По формуле  полной вероятности получаем:

 

По формуле  Байеса:

 

Ответ:

 

2. Сколько семян следует взять, чтобы с вероятностью не менее чем 0,9545 быть уверенным, что частость взошедших семян будет отличаться от вероятности р = 0,9 не более чем на 2% (по абсолютной величине)?

 

Решение

        По условию, р=0,9, тогда q=0,1. Необходимо найти n. Необходимо, чтобы условие

 

выполнялось с  вероятностью, не меньшей, чем 0,9545. Раскроем модуль и найдем границы для m:

 

 

По теореме Муавра-Лапласа:

 

 

По условию, ≥0,9545.

 

По математико-статистическим таблицам находим приближенное значение функции Лапласса:

 

Ф(Х) = 0,9545, где  Х= .

 

Имеем: Ф(Х) = 2,0 , отсюда

 

 

Ответ: следует взять не менее 900 семян.

 

 

3. Завод «Пино» (г. Новороссийск) отправил в Москву 2000 бутылок вина « Каберне». Вероятность того, что в пути может разбиться бутылка, равна 0,002.

Какова вероятность  того, что в пути будет разбито  не более пяти бутылок?

 

Решение.

Если проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с одной и той же вероятностью, тогда вероятность Р_n(m) того, что событие наступило m раз в этой серии испытаний можно найти:

 

Р(А) = ,

 

так как число n=2000 велико, а вероятность р=0,002 мала, то найдем:

 

то воспользуемся формулой Пуассона:

 

Искомая вероятность  приближенно равна:

 

P = P₂₀₀₀(0)+ P₂₀₀₀(1)+ P₂₀₀₀(2)+ P₂₀₀₀(3)+ P₂₀₀₀(4)+ P₂₀₀₀(5)≈0,0183+0,0733+0,1465+0,1954+0,1954+0,1563 = 0,7852

Ответ: Р≈0,7852

 

 

4. Одна из  случайных величин (X) задана законом распределения:

 

X	0	1	3
p	0,2	0,3	0,5

 

а другая (У) имеет  биномиальное распределение с параметрами п=2,р=0,4.

Составить закон  распределения их разности. Найти  математическое ожидание и дисперсию  этой случайной величины.

 

Решение.

Найдем закон  распределения для величины (Y):

 

y	0	1	2
p	p0=0,36	p1=0,48	p2=0,16

 

Z₁₁ = X₁ - Y₁ = 0-0 = 0; p(Z₁₁) = 0,2·0,36=0,072;

Z₁₂ = X₁ - Y₂ = 0-1 = -1; p(Z₁₂) = 0,2·0,48=0,096;

Z₁₃ = X₁ - Y₃ = 0-2 = -2; p(Z₁₃) = 0,2·0,16=0,032;

Z₂₁ = X₂ - Y₁ = 1-0 = 1; p(Z₁₁) = 0,3·0,36=0,108;

Z₂₂ = X₂ - Y₂ = 1-1 = 0; p(Z₁₁) = 0,3·0,48=0,144;

Z₂₃ = X₂ - Y₃ = 1-2 = -1; p(Z₁₁) = 0,3·0,16=0,048;

Z₃₁ = X₃ - Y₁ = 3-0 = 3; p(Z₁₁) = 0,5·0,36=0,018;

Z₃₂ = X₃ - Y₂ = 3-1 = 2; p(Z₁₁) = 0,5·0,48=0,024;

Z₃₃ = X₃ - Y₃ = 3-2 = 1; p(Z₁₁) = 0,5·0,16=0,08.

 

    Итак, закон распределения разности имеет вид:

 

Z	-2	-1	0	1	2	3
P	0,032	0,096+0,048=0,144	0,072+0,144=0,216	0,108+0,08=0,188	0,24	0,18

 

Математическое ожидание:

 

М(Z) = -2·0,032-1·0,144+0·0,216+1·0,188+2·0,24+3·0,18= -0,02+0,48+0,54 = 1

 

Проверка:

 

М(Х) = 0,3+1,5 = 1,8

М(Y) = np = 0,8

M(X-Y) = M(X) – M(Y) = 1,8-0,8 = 1.

 

Дисперсия:

 

D(Z) = M(Z²)-[M(Z)]²

M(Z²)=0,128+0,144+0+0,188+0,96+1,62 = 3,04

D(Z) = 3,04-1 = 2,04.

Ответ: 1; 2,04.

 

5. Полагая, что  длина изготавливаемой детали  есть нормально распределенная  случайная величина с математическим ожиданием М{Х) = 10 и средним квадратическим отклонением δ = 2, найти вероятность того, что длина наугад взятой детали заключена в интервале (5; 6).

В каких границах (симметричных относительно М(Х)) будет заключена длина наугад взятой детали с вероятностью 0,95?

 

Решение.

 

Используя таблицу  значений нормированной функции  Лапласса, имеем:

 

Ответ: 0,0166;

       

 

         

 

          6.Провести следующую статистическую обработку в результатах измерения случайной величины, варианты которой приведены в таблице:

 

63,97	42,15	63,49	66,67	74,44	64,03	66,48	54,50	68,93	62,02
65,53	47,95	64,27	74,14	71,40	61,81	45,48	70,50	62,28	57,05
74,56	61,10	56,52	51,58	75,84	45,09	49,85	84,02	71,89	64,42
82,27	51,51	80,52	65,68	60,43	52,71	57,76	67,18	53,70	62,09
72,49	65,12	68,07	52,33	56,56	73,36	63,00	68,25	43,71	58,93
50,88	54,24	85,90	54,19	67,45	52,89	65,23	59,50	60,04	65,52
65,60	70,58	57,16	54,50	62,29	68,63	77,20	74,22	65,70	48,52
58,36	77,55	63,22	71,42	70,92	82,38	68,06	61,50	52,25	65,20
69,47	46,30	65,07	78,83	55,28	61,60	64,26	50,36	78,72	44,61
53,72	54,10	67,01	58,87	57,23	49,36	88,93	58,70	62,16	56,48

 

1. Составить  статистическое распределение;

2. Найти выборочную  среднюю, выборочную дисперсию,  выборочное среднее квадратическое отклонение;

3. Вычислить  теоретические (выравнивающие) частоты n_i;

4. В одной  системе координат построить  кривую эмпирического распределения  (полигон) и кривую теоретического  распределения.

5. Указать теоретическую  плотность распределения;

6. С помощью  критерия и согласия Пирсона  провести гипотезу о нормальном  распределении при уровне значимости a=0,05.

7. найти доверительный  интервал, показывающий искомое  математическое ожидание с надежностью g=0,95.

 

Решение:

1. Составить  статистическое распределение;

42,15	50,36	54,10	57,16	61,10	63,22	65,23	67,45	71,40	77,20
43,71	50,88	54,19	57,23	61,50	63,49	65,52	68,06	71,42	77,55
44,61	51,51	54,24	57,76	61,60	63,97	65,53	68,07	71,89	78,72
45,09	51,58	54,50	58,36	61,81	64,03	65,60	68,25	72,49	78,83
45,48	52,25	54,50	58,70	62,02	64,26	65,68	68,63	73,36	80,52
46,30	52,33	55,28	58,87	62,09	64,27	65,70	68,93	74,14	82,27
47,95	52,71	56,48	58,93	62,16	64,42	66,48	69,47	74,22	82,38
48,52	52,89	56,52	59,50	62,28	65,07	66,67	70,50	74,44	84,02
49,36	53,70	56,56	60,04	62,29	65,12	67,01	70,58	74,56	85,90
49,85	53,72	57,05	60,43	63,00	65,20	67,18	70,92	75,84	88,93

Группируем  статистический ряд в интервалы  следующим образом:

хi	39.15	45.15	51.15	57.15	63.15	69.15	75.15	81.15	87.15
xi+1	45.15	51.15	57.15	63.15	69.15	75.15	81.15	87.15	93.15
ni	4	8	18	20	26	13	6	4	1

 

Найдем середину интервалов по формуле  . Запишем новую таблицу:

хi	42.15	48.15	54.15	60.15	66.15	72.15	78.15	84.15	90.15
ni	4	8	18	20	26	13	6	4	1

2. Найти выборочную  среднюю, выборочную дисперсию,  выборочное среднее квадратическое  отклонение:

Проверим примерно в середине работы по формуле:

Найдем выборочную дисперсию и отклонение:

3. Вычислить  теоретические (выравнивающие) частоты n_i;

 

5) Обработка  статистической информации проводилась  в предположении нормального  распределения случайной величины. Варианты, которой были получены (х_i ) эмпирическим или опытным путем:

 

 

6) Провести гипотезу  о нормальном распределении случайной  величины при помощи критерия  согласия Пирсона состоит в  сравнении двух величин 

И . По критерию согласия Пирсона гипотеза о нормальном распределении величины не отвергается, если < (меньше). Если ³ , то гипотеза о нормальном распределении величины отвергается или не подтверждена. находится по таблице, вход в которую осуществляется с помощью двух параметров (a, k), где k – число степеней свободы.