Контрольная работа по "Теории вероятности и математической статистике"

Вариант 1

 

Задача 1.        13 студентов обменялись рукопожатиями. Сколько получилось рукопожатий?

Задача 2.       

Брошены  две игральные  кости. Найти вероятность того, что  на выпавших гранях появится:

 

1.сумма очков, равная 6

Решение:

 

1+1=2; 1+2=3; 1+3=4;1+4=5;1+5=6;1+6=7

2+2=4; 2+3=5;2+4=6; 2+5=7;2+6=8;

3+3=6;3+4=7; 3+5=8; 3+6=9;

4+4=8; 4+5=9; 4+6=10;

5+5=10; 5+6=11;

6+6=12.

 

А выпадение суммы очков  нечетных тогда вероятность выпадения будет

Р(А) =m/n =3/21=0,14

m = 3 (количество нечетных очков)

           n = 21 (количество вариантов выпадения костей)

Ответ: 0,14

Задача 3.

В магазин поступила  партия  платьев одного фасона, размера, но разного цвета. В ней 5 красных платьев и 6 синих. Случайным образом продавец взял 5 платьев. Найти вероятность того, что среди них имеется:

1. 3 красных платьев

2. Меньше, чем 3 красных платьев

3. Хотя бы одно красное  платье.

Решение:

1. всех видов платья  6+5 = 11, тогда вероятность того что продавец взял 5 красных платья будет

 

 

 

2. Меньше, чем 3 красных платьев

 

                                                                                                        

 

3. Найдем вероятность события А того, что среди двух взятых платьев хотя бы один окажется красным, то есть либо одно платье красное (событие А ), либо 2 платья красных (событие А )

Вероятности P(A₁) и P(A₂) вычислим по формуле P (A) = m/n

Число всех возможных исходов  для этих событий  462

Для нахождения числа благоприятных исходов события A₁  рассуждаем так: одно красное платье может быть выбрано из числа красных числом способов .

 При этом  одно платье будет синим, и их можно выбрать числом способов  .

 Таким образом  . 

Вероятность  P(A₁) = 75/462 = 0,16

                                                       

Теперь найдем вероятность 

                                                     

                                                                   

 Тогда P(A) = 0,16+0,002=0,162

 

Задача 4.

Событие B появится в случае, если событие А появится не менее четырех раз. Найти вероятность наступления события B, если будет произведено 5 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А найдите по формуле    p = 0,2+ .

Примечание. Буква V- номер вашего варианта.

 

Решение:

Используем формулу Бернулли по, которой находится вероятность  того,  что  в  n  независимых испытаниях событие А наступит ровно k раз.

.

Для этого p = 0,2+ = 0,25

q = 1-p =1-0,25=0,75

 n =5; k = 4 

.

Ответ: 0,014

Задача 5. 

Случайная величина X задана рядом распределения

X   x₁  x₂ x₃  x₄

P   p₁  p₂  p₃ p₄

Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х и построить ее график.

Вычислить для Х ее среднее значение Е( х), дисперсию D(x),   и среднеквадратичное отклонение s (x)

Значения параметров x₁ x₂,  х₃, x₄, p₁, p₂, p₃, p₄   вычислить по формулам

x ₁ = V+R,                     x₂ = x₁+R

х₃= x₂ +R,                     x₄ = x₃+R

p₁= ,      p₂= ,          p₃ = ,           p₄=? 

R = 2 –

 

Примечание. Буква V- номер вашего варианта.

 

Решение:

R = 2 – =1,9

 

x ₁ = 1+1,9=2,9                     x₂ = 2,9+1,9=4,8

х₃= 4,8 +1,9=6,7                  x₄ =6,7+1,9 = 8,6

p₁= 1/(1,9+1)=0,34,   p₂=1/(1,9+2)=0,26,    p₃ = 1/(1,9+3)=0,2,      p₄=1/(1,9+4)=0,17

сведем данные в таблицу

Х	2,9	4,8	6,7	8,6
Р	0,34	0,26	0,2	0,17

 

1.   Если x ≤ 2,9, то F(x) =0, т.к. случайная величина X не принимает значений меньше 0,34.

Поэтому функция  распределения F(x) =P (X< 11,1)=0

2. Если 2,9 < x ≤ 4,8, то F(x) = 0,34, т.к. X сможет принять значение 2,9 с вероятностью 0,34.
3. Если 4,8< x ≤6,7 , то F(x) =0,34+0,26=0,6. В этом случае  Х  может принять значение 2,9 с вероятностью 0,34 и значение 6,7 с вероятностью 0,26.
4. Если 6,7 < x ≤8,6, то F(x) = 0,6+0,2=0,8  X может принять значение 2,9 с вероятностью 0,34; значение 6,7 с вероятностью 0,26; значение 8,6 с вероятностью 0,17.

5.   Если x> 8,6, то F(x) =0,8+0,17=0,97.

Таким образом, искомая функция F(x)  имеет вид

График  F (x) имеет ступенчатый вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

среднее значение случайной величины

  E(x)  M(X)=  x p +x p +x p +x p =

=2,9*0,34+4,8*0,26+6,7*0,2+8,6*0,17=0,99+1,25+1,34+1,46=5

Найдем дисперсию по формуле.

D(Х)= М(Х²)-(М(Х))².

 

Чтобы найти М(Х²), составим закон распределения квадрата случайной величины X².

 

=3+6+9 +12,6  – 5² =5,6           

Среднее квадратичное отклонение 

s (x) = = =2,35

 

Задача 6.

 Случайная величина Х задана функцией плотности распределения вероятностей.

 

k= 3 -v/10     R= 2к

Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х. построить график функций F(x). Вычислить для Х ее среднее значение E(x), дисперсию D(x) и среднеквадратическое отклонение s (x).

 

Решение:

 

k= 3 -1/10 = 2,9;      R= 2*2,9 = 5,8

Þ

 

 

Известно, что                                                      

1. Если x<0, то

                                                                                 

 

2. Если  , то

3. Если 

=

 

Таким образом, получили

 

 

 

 

М(Х) = =

D(Х) = -(М(Х))²=

 

(Х) = Æ

 

 

Задача 7.

 Случайная величина Х задана  функцией распределения

Найти функцию плотности распределения вероятностей f(x) случайной величины Х  и построить ее график. Вычислить для Х ее среднее значение E(X), дисперсию D(x) и среднеквадратическое отклонение s (x).

 

Решение:

К = 3+1=4; R=2*4 =8

 

                              

 

М(Х) = =

D(Х) = -(М(Х))²=

=

 

(Х) = 3,8