Каноническое уравнение прямой на плоскости – описание и примеры

Каноническое уравнение прямой на плоскости – описание и примеры.

Пусть на плоскости зафиксирована  прямоугольная декартова система координат Oxy. Поставим себе задачу: получить уравнение прямой a, если   - некоторая точка прямой a и   - направляющий вектор прямой a.

Пусть   - плавающая точка прямой a. Тогда вектор   является направляющим вектором прямой a и имеет координаты   (при необходимости смотрите статью нахождение координат вектора через координаты точек). Очевидно, что множество всех точек   на плоскости определяют прямую, проходящую через точку   и имеющую направляющий вектор   тогда и только тогда, когда векторы   и  коллинеарны.

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов   и  :  . Последнее равенство в координатной форме имеет вид  .

Если   и  , то мы можем записать 

Полученное уравнение вида   называют каноническим уравнением прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy. Уравнение   также называют уравнением прямой в каноническом виде.

Итак, каноническое уравнение прямой на плоскости вида   задает в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, проходящую через точку   и имеющую направляющий вектор  .

Приведем пример канонического уравнения прямой на плоскости.

К примеру, уравнение   является уравнением прямой в каноническом виде. Прямая, соответствующая этому уравнению, проходит через точку  , а   - ее направляющий вектор. Ниже приведена графическая иллюстрация.

Отметим следующие важные факты:

• если   - направляющий вектор прямой и прямая проходит как через точку  , так и через точку  , то ее каноническое уравнение можно записать как  , так и  ;

• если   - направляющий вектор прямой, то любой из векторов   также является направляющим вектором данной прямой, следовательно, любое из уравнений прямой в каноническом виде   соответствует этой прямой.

А сейчас покажем решение очень важного примера на составление канонического уравнения прямой на плоскости.

Пример.

Прямая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через точку   и   - направляющий вектор этой прямой. Напишите каноническое уравнение этой прямой.

Решение.

Каноническое уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxyв общем случае имеет вид  . В нашем примере  , тогда  . Последнее равенство и дает нам искомое каноническое уравнение прямой на плоскости.

Ответ:

Частные случаи канонического уравнения прямой на плоскости.

Уравнение прямой на плоскости в каноническом виде   используют даже тогда, когда одно из чисел   или   равно нулю (числа   и   одновременно не равны нулю, так как направляющий вектор прямой есть ненулевой вектор). В этом случае запись   считается условной (так как содержится ноль в знаменателе) и ее следует понимать как  .

Остановимся на этих частных случаях канонического уравнения прямой на плоскости подробнее.

Если  , то каноническое уравнение прямой на плоскости имеет вид  , при этом прямая проходит через точку   и параллельна оси ординат Oy (совпадает с осью ординат при  ). Действительно, направляющим вектором этой прямой является вектор  , а он коллинеарен координатному вектору  .

Если  , то каноническое уравнение прямой на плоскости имеет вид  . Этому уравнению соответствует прямая, которая проходит через точку   и параллельна оси абсцисс Ox (совпадает с осью абсцисс при  ). Действительно,  - направляющий вектор этой прямой, а он коллинеарен координатному вектору  .

Изобразим в прямоугольной системе координат Oxy прямые, которые соответствуют разобранным каноническим уравнениям прямой на плоскости.

Пример.

Составьте каноническое уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy, если прямая параллельна оси ординат и проходит через точку  .

Решение.

Так как по условию прямая параллельна оси Oy, то ее направляющим вектором можно принять координатный вектор  . Тогда, учитывая что прямая проходит через точку  , каноническое уравнение прямой примет вид  .

Ответ:

Пример.

Напишите каноническое уравнение прямой, изображенной на рисунке

Решение.

Очевидно, в заданной прямоугольной системе координат Oxy прямая проходит через точку   и параллельна оси абсцисс. Тогда направляющим вектором прямой, изображенной на рисунке, является координатный вектор  . Таким образом, у нас есть все данные, чтобы записать требуемое каноническое уравнение прямой на плоскости: 

Ответ:

 

 

 

РГПУ им. А. И. Герцена

 

 

 

 

Каноническое ура внение прямой

(Реферат)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Меленный Виталий Петрович

Туризм. 1 курс