Исследование методов вычисления определенных интегралов

Министерство образования  и науки Российской Федерации

Уфимский государственный  авиационный технический университет

 

Кафедра Информатики

 

 

 

 

 

Пояснительная записка

к курсовой работе:

«Исследование методов вычисления определенных интегралов»

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент гр. ДЛА-101 Мифтахова А.Р.

Проверил: Кондратьева Н.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

УФА 2012

Задание

на курсовую работу по дисциплине Информатика

 

Факультет: АД, группа: ДЛА-101.

Студент(ка): Мифтахова А.Р.

Срок сдачи работы – 15 неделя.

 

Тема 5 «Исследование методов вычисления определенных интегралов»

Вариант: 6, задание выполняется в Visual Basic

Задание: Методы решения: метод трапеций, метод Симпсона. Для иллюстрации выбрать любой из данных методов. Представить на графике зависимость погрешности данных методов от количества разбиений N (N изменяется на интервале [10,200] с шагом 10). Точное решение находится по формуле Ньютона-Лейбница. Результаты эксперимента сохранить в текстовом файле.

 

 

Преподаватель:                          Н.В. Кондратьева,

Дата выдачи задания «______»___________201__ г.

Студент: _________________ А.Р. Мифтахова

 

 

Дополнительные условия  и уточнения задания в процессе выполнения курсовой работы:

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
СОДЕРЖАНИЕ

 

вВЕДЕНИЕ

 

Программа исследует  методы вычисления определенных интегралов. При расчете используются численные  методы Симпсона (парабол) и трапеций вычисления определенных интегралов. Точное значение вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница. Приведена иллюстрация метода трапеций. Представлен график зависимости погрешности данных методов от количества разбиений. Результаты сохраняются в текстовом файле.

1. Описание методов

1. Метод трапеций

 

Будем исходить из геометрических соображений и рассматривать определенный интеграл:

,

как площадь некоторой фигуры, чаще всего ее называют криволинейной трапецией, ограниченной кривой y =  f(x), осью Ox и прямыми y = a, y = b. Будем также предполагать, что функция y = f(x) непрерывна на [a. b]. 

Идея, которая привела к понятию  определенного интеграла заключалась  в следующем. Разбить всю фигуру на полоски одинаковой ширины:

,

а затем каждую полоску заменить прямоугольником, высота которого равно  какой-либо ординате.

Тогда получится следующая формула:

где x_i <= c_i <= x_i+1 (i = 0, 1, ..., n-1).

Площадь криволинейной фигуры заменится  площадью сумм прямоугольников. Эта  приближенная формула и называется формулой прямоугольников.

Практически, в качестве точки c_i берут середину промежутка [x_i , x_i+1], т. е.

Заменим данную кривую вписанной в  нее ломаной, с вершинами в  точках (x_i, y_i),

где y_i = f(x_i) (i = 0, 1, 2, ..., n-1).

Тогда криволинейная трапеция заменится  фигурой, состоящей из трапеций. Будем  по-прежнему считать, что промежуток [a, b] разбит на равные части, тогда площади  этих трапеций будут равны:

Складывая полученные значения, приходим к приближенной формуле:

Эта приближенная формула называется формулой трапеций.

2. Метод Симпсона

 

Алгоритм вычисления определенного  интеграла

методом Симпсона с переменным шагом  интегрирования.

 

• Разбивается отрезок интегрирования на 2n равных частей с шагом h=(b-a)/(2n).
• На каждом отрезке, состоящих из трех точек на интервалах [x₀,x₂], [x₂,x₄],…[x_2n-1,x_2n], подынтегральная функция f(x) заменяется параболой в виде интерполяционной формулы Ньютона: .
• Суммируя интервалы, получим , где f₀ =f(a);  f_2n = f(b); f_i - значение функции внутри отрезка.
• Затем шаг интегрирования h уменьшается вдвое и производится оценка точности вычислений R двух последних циклов вычислений сумм площадей, которая сравнивается с величиной ε по условию R=|S_2n-S_n|/15<ε.
• Процесс вычисления площадей повторяется, если R будет ложно.

2. Блок- схемы программ

1. Блок-схема метода трапеций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2.  Блок-схема метода  Симпсона (парабол)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ЧАСТИ ПРОГРАММЫ

1. Form1 – Курсовая работа

         Form1 – главная форма в программе.  В верхней части формы организованно  простое и понятное меню.

         Структура меню главной формы:

Файл

• Выход

Визуализация

• Метод трапеций

Исследовние

• Исследовать данные методы

Справка

• Блок-схема метода трапеций

• Блок-схема метода Симпсона (парабол)

• Об авторе

• О программе

 

2. Form5 – Об авторе

 

Form5 «Об авторе» загружается  при выборе на главной форме  в меню пунктов: Справка => Об авторе.

 

 

 

3. Form4 – О программе

         Form4 «О программе» загружается  при выборе на главной форме  в меню пунктов: Справка => О программе. 

 

 

 

 

 

4. Вычисление площади данными методами

       Чтобы   найти решение интеграла данными методами надо выбрать метод вычисления определенного интеграла, задать количество разбиений и нажать кнопку на главной форме «Вычислить интеграл».

Результаты выводятся  на главную форму:

 

 

 

 

 

 

5. Form2 – График данной функции с  методом трапеций

 

Данная форма вызывается при нажатии пунктов в меню:

Визуализация => Метод  трапеций

 

 

Чтобы построить график данной функции  и сделать визуализацию метода трапеций, надо нажать кнопку «Построить график и метод трапеций».

 

 

 

 

 

 

6. Form3 – Исследование данных методов

 

Данная форма вызывается при нажатии пунктов в меню:

Исследование => Исследовать  данные методы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При нажатии кнопки «Сохранить»  появляется диалоговое окно «Сохранить как», чтобы сохранить результаты исследования в текстовом файле.

 

 

ВЫВОД

 

1. Среда разработки Visual Basic 6.0 позволяет эффективно и быстро решать различные вычислительные задачи.
2. Созданное программное обеспечение позволяет проводить решение определенного интеграла методами трапеций и Симпсона. При этом результаты эксперимента отображаются в текстовом виде и в графическом виде (сравнительные графики погрешностей).
3. Программа позволяет выполнять вычисление определенного интеграла. Визуализация выполняется для метода трапеций.
4. Исследование показало, что метод Симпсона (парабол) дает более точные результаты. Это видно на сравнительном графике погрешностей и при осуществлении вычислений.

 

 

Список литературы

 

1. Ананьев А., Федоров А.  «Самоучитель Visual Basic 6.0». БХВ - Петербург, 2005 г. - 346 с.

 

2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. Для инженеров и учащихся ВТУЗов. Гос. издательство физико-математической литературы. М.: 1962 г. – 608 с.

 

3. Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: «Просвещение», 1998. – 288 с.

 

4. Стойлова Л.П. Математика: Учебник для студ. высш. пед. учеб. заведений. М.: «Академия», 1999. – 424 с.