Автор работы: Пользователь скрыл имя, 24 Апреля 2013 в 16:26, реферат
Целью изучения курса алгебры и начал анализа в 10-11 классах является систематическое изучение функций, раскрытие прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций.
Выбрав тему реферата «Исследование функции с помощью производной» я поставила следующие задачи:
- систематизировать свои знания о функции, как важнейшей математической модели;
- усовершенствовать свое умение в применении дифференциального исчисления для исследования элементарных функций.
Введение. 3
Глава I. Развитие понятия функции. 4
Глава II. Основные свойства функции. 7
2.1. Определение функции и графика функции. Область определения и
область значений функции. Нули функции. 7
2.2. Виды функций (четные, нечетные, общего вида, периодические
функции). 8
2.3. Возрастание и убывание функций. Экстремумы. 10
Глава III. Исследование функций. 12
3.1. Общая схема исследования функций. 12
3.2. Признак возрастания и убывания функций. 12
3.3. Критические точки функции, максимумы и минимумы. 13
3.4. Наибольшие и наименьшие значения функции. 14
Глава IV. Примеры применения производной к исследованию функции. 15
Заключение. 22
Список литературы 23
Так как функция непрерывна в точке х=-1, то функция возрастает на [-1;+∞] и убывает на [-∞;-1].
Точки экстремума: xmin= -1
Экстремумы функции: ymin=y(-1)=1-2= -1
Глава III. Исследование функций.
3.1. Общая схема исследования функций.
Исследуя функцию, нужно
знать общую схему исследования
а) функция принимает положительное значение : f(x)>0
б) отрицательное значение : f(x)<0.
а) возрастания;
б) убывания;
в) постоянства ( f=const).
Они могут быть взяты для того, чтобы более точно построить график функции.
Следует заметить, что экстремумы функции f не всегда совпадают с наибольшим и наименьшим значением функции.
3.2. Признак возрастания и убывания функций.
Если строить график функции по каким-либо произвольно выбранным его точкам, соединяя их плавной линией, то даже при очень большом числе случайно выбранных точек может оказаться, что построенный таким образом график будет сильно отличаться от графика заданной функции.
Если при исследовании функции использовать производную и найти так называемые «опорные» точки, т.е. точки разрыва, точки максимума и минимума, промежутки монотонности функции, то даже при небольшом числе таких «опорных» точек мы получим правильное представление о графике функции.
Прежде чем обратиться к примерам, приведу необходимые определения и теоремы.
Определение монотонности функции на интервале Функция y=f(x) называется возрастающей на интервале, если для любых точек х1 и х2 этого интервала из условия х1<х2 следует, что f(x1)<f(x2). Если же из условия х1<х2 следует, что f(x1)>f(x2), то функция называется убывающей на этом интервале.
Достаточный признак монотонности функции в интервале. Теорема: если функция имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке интервала, то функция возрастает (убывает) на этом интервале.
Эта теорема в школьных
учебниках принимается без
Геометрическое истолкование теоремы весьма простое, если вспомнить, что f ’(x)=tgα, α – это угловой коэффициент касательной к графику функции в заданной точке х. Если, например, f ‘ (x)>0 во всех точках некоторого интервала, то касательная к графику с осью абсцисс образуют острые углы, а значит, с ростом х возрастает и f(x). Если же f ‘ (x)<0, то касательная с осью абсцисс образуют тупой угол, а значит, с ростом х функция f(x) убывает. Поскольку эти рассуждения основаны лишь на наглядных геометрических представлениях, они не являются доказательством теоремы.
3.3. Критические точки функции, максимумы и минимумы.
Определение точек экстремума функции. Пусть х0 – внутренняя точка из области определения функции f(x). Тогда, если существует такая δ – окрестность ] x0- δ, x0+ δ [ точки х0, что для всех х из этой окрестности выполняется неравенство f(x)≤f(x0) (неравенство f(x)≥f(x0)), точка х0 называется точкой максимума (точкой минимума) этой функции.
Точки максимума минимума являются внутренними точками области определения функции.
Необходимый признак существования экстремума дифференци-руемой функции.
Теорема Ферма.
Если х0 есть точка экстремума функции f(x) и в этой точке производная существует, то она равна нулю: f ’(x0)=0.
Эта теорема не является достаточным условием существование экстремума дифференцируемой функции: если в некоторой точке х0 производная обращается в нуль, то из этого еще не следует, что в точке х0 функция имеет экстремум.
Определение критических точек функции. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции.
Достаточные
условия существования
Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна в точке х0, f ‘(x)>0 на интервале [a, x0] и f ‘(x)<0 на интервале [x0, b], то х0 является точкой максимума функции f(x).
Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна в точке х0, f ‘(x)<0 на интервале [a, x0] и f ‘(x)>0 на интервале [x0, b], то х0 является точкой минимума функции f(x).
Для отыскания экстремальных точек функции нужно найти ее критические точки и для каждой из них проверить выполнение достаточных условий экстремума.
3.4. Наибольшие и наименьшие значения функции.
Правила отыскания
наибольшего и наименьшего
Глава IV. Примеры применения производной к исследованию функции.
Пример 11. Исследовать функцию y=x3+6x2+9x и построить график.
y=x3+6x+9x
y(-x)=(-x)3+6(-x)2+9(-x)=-x+6x
Oy: x=0, y=0 (0;0) – точка пересечения с осью y.
Ox: y=0,
x3+6x2+9x=0
x(x2+6x+9)=0
x=0 или x2+6x+9=0
D=b2-4ac
D=36-36=0
D=0, уравнение имеет один корень.
x=(-b+D)/2a
x=-6+0/2
x=-3
(0;0) и (-3;0) – точки пересечения с осью х.
y’=(x3+6x2+9x)’=3x2+12x+9
y’=0, т.е. 3x2+12x+9=0 сократим на 3
x2+4x+3=0
D=b2-4ac
D=16-12=4
D>0, уравнение имеет 2 корня.
x1,2=(-b±√D)/2a, x1=(-4+2)/2 , x2=(-4-2)/2
x1=-1 x2=-3
+
-3 -1
x=-4, y’=3*16-48+9=9>0
x=-2, y’=12-24+9=-3<0
x=0, y’=0+0+9=9>0
xmin=-1
xmax=-3
ymin=y(-1)=-1+6-9=-4
ymax=y(-3)=-27+54-27=0
y(-4)=-64+96-36=-4
Пример 12. Исследовать функцию y=x2/(x-2) и построить график
y=x2/(x-2)=x+2+4/(x-2)
Найдем асимптоты функции:
x≠ 2, x=2 – вертикальная асимптота
_x2 x-2
x2-2x x+2
_2x
2x-4
4
y=x+2 – наклонная асимптота, т.к.
lim 4/(x-2)=0
x→∞
Найдем область определения.
2)Определим вид функции.
y(-x)=(-x)2/(-x-2)=x2/(-x-2), функция общего вида.
3)Найдем точки пересечения с осями.
Oy: x=0, y=0 (0;0) – точка пересечения с осью y.
Ox: y=0,
x2/(x-2)=0
x3-2x2=0
x2(x-2)=0
x=0 или x=2 (2;0) – точка пересечения с осью х
4) Найдем производную функции:
y’=(2x(x-2)-x2)/(x-2)2=(2x2-
5) Определим критические точки:
x2-4x=0 x(x-4)=0
y’=0, (x2-4x)/(x-2)2=0 <=> <=>
(x-2)2≠ 0 x≠ 2
x2-4x=0, а (x-2)2≠ 0, т.е. х≠ 2
x(x-4)=0
x=0 или x=4
6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции.
0 8
+ - - +
0 2 4
x=-1, y’=(1+4)/9=5/9>0
x=1, y’=(1-4)/1=-3<0
x=3, y’=(9-12)/1=-3<0
x=5, y’=(25-20)/9=5/9>0
7) Найдем точки минимума и максимума функции:
xmin=4
xmax=0
8) Найдем экстремумы функции:
ymin=y(4)=16/2=8
ymax=y(0)=0
9) Построим график функции:
10) Дополнительные точки:
y(-3)=9/-5=-1,8 y(3)=9/1=9
y(1)=1/-1=-1 y(6)=36/4=9
Пример 13. Исследовать функцию y=(6(x-1))/(x2+3) и построить график. 1) Найдем область определения функции:
D(y)=R
y(-x)=(6(-x-1))/(x2+3)=-(6(x+
Oy: x=0, y=(6(0-1))/(0+3)=-2, (0;-2) – точка пересечения с осью y.
(6(x-1))/(x2+3)=0
Ox: y=0, <=>
x2+3≠ 0
6x-6=0
6x=6
x=-1
(1;0) – точка пересечения с осью х
4) Найдем производную функции:
y’=(6(x-1)/(x2+3))’=6(x2+3-2x2
5) Определим критические точки:
y’=0, т.е. -6(x+1)(x-3)/(x2+3)2=0
-6(x+1)(x-3)=0
y’=0, если х1=-1 или х2=3 , значит х=-1 и х=3, критические точки.
6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции:
-3 2
- + -
-1 3
x=-2, y’=-6(-2+1)(-2-3)/(4+3)2=-30/
x=0, y’=-6(0+1)(0-3)/(0+3)2=2>0
x=4, y’=-6(4+1)(4-3)/(16+3)2=-30/
7) Найдем точки минимума и максимума:
xmin=-1
xmax=3
8) Найдем экстремумы функции:
ymin=y(-1)=(6(-1-1))/(1+3)=-
ymax=y(3)=(6(3-1))/(9+3)=12/
9) Построим график функции:
10) Дополнительные точки:
y(-3)=(6(-3-1))/(9+3)=-24/12=-
y(6)=(6(6-1))/(36+3)=30/39=10/
Пример 14. Исследовать функцию y=x ln x и построить ее график:
y=x ln x
D(y)=R+ (только положительные значения)
y(-x)=-x ln x - общего вида.
Oy, но х≠ 0, значит точек пересечения с осью y нет.
Ox: y=0, то есть x ln x=0
x=0 или ln x=0
0 ¢ D(y) x=e0
x=1
(1;0) – точка пересечения с осью х
Информация о работе Исследование функции с помощью производной