Формирование у учащихся при обучении математике элементов теоретико - вероятностного стиля мышления

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ СТОХАСТИКЕ КАК СРЕДСТВА РАЗВИТИЯ ВЕРОЯТНОСТНОГО СТИЛЯ МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ.

1. Понятие мышления. Виды математического мышления

Специфика предмета математики такова, что ее изучение существенно влияет на развитие мышления школьников. Развитие мышления школьников тесно связано с формированием приемов мышления в процессе их учебной деятельности. Эти приемы мышления (анализ, синтез, обобщение и др.) выступают также как специфические методы научного исследования, особенно ярко проявляющиеся при обучении математике, как одного из базовых школьных предметов.

Особенности математики наиболее полно раскрываются в единстве двух ее сторон: математика как определенная научная деятельность и математика как теория, являющаяся результатом этой деятельности.

Выделяются  следующие составные части учебной  математической деятельности: математизация  эмпирического материала; логическая организация математического материала; применение теории. В более детальной  расшифровке элементы математической деятельности можно представить таким образом:

- целенаправленное  накопление эмпирического материала;

- выбор математического  языка, описание эмпирического  материала на языке математики;

- первичная  систематизация математического  материала, группировка его по тем или иным общелогическим признакам (сходству, степени общности и т. д.);

- частичная  аксиоматизация математического  материала, построение фрагмента  математической теории;

- применение  математического материала;

- применение  частично аксиоматизированного математического материала (фрагмента теории);

- применение  теоретического материала нескольких  математических разделов.

Под эмпирическим материалом подразумеваются окружающие нас реальные объекты, к изучению которых стремятся применить  методы математики, или объекты другой научной области (физики, химии, астрономии, биологии и т. д.), или специально приготовленный для целей обучения дидактический материал, или математический материал в случае, когда он подвергается изучению с помощью других математических средств.

Математическое  образование представляет собой  сложный процесс, который формируется  в деятельности школьников. Основными  целевыми компонентами математического  образования в школе являются: а)усвоение школьниками системы  математических знаний; б) овладение школьниками определенными математическими умениями и навыками; в)развитие мышления учащихся.

Мыслительная  деятельность школьников выполняется  с помощью мыслительных операций: сравнения, анализа и синтеза, абстракции, обобщения и конкретизации.

Сравнение - это сопоставление объектов познания с целью нахождения сходства (выделения общих свойств) и различия (выделения особенных свойств) между ними. Эта операция лежит в основе всех других мыслительных операций.

Анализ - это мысленное расчленение предмета познаний на части.

Синтез - мысленное соединение отдельных элементов или частей в единое целое. В реальном мыслительном процессе анализ и синтез всегда выполняются совместно.

Абстракция - это мысленное выделение каких-либо существенных свойств и признаков объектов при одновременном отвлечении от всех других их свойств и признаков. В результате абстракции выделенное свойство или признак сам становится предметом мышления.

Обобщение можно рассматривать: 1) как мысленное выделение общих свойств (инвариантов) в двух или нескольких объектах и объединение этих объектов на основе выделенной общности; 2) как мысленное выделение существенных свойств объекта в результате анализа их в виде общего понятия для целого класса объектов (научно-теоретическое общение).

Конкретизация также может выступать в двух формах: 1)как мысленный переход от общего к единичному, частному; 2) как восхождение от абстрактно-общего к частному путем выявления различных свойств и признаков объекта.

Различают три вида мышления: 1. Наглядно-действенное (познание объектов совершается в процессе практических действий с этими объектами, характерно для детей младенческого возраста). 2. Наглядно-образное (мышление с помощью наглядных образов, свойственно детям дошкольного возраста). 3. Теоретическое мышление (в форме абстрактных понятий и суждений, характерно для детей школьного возраста).

С развитием  математики как науки и методики преподавания математики изменилось содержание, которое вкладывалось в понятие “математическое мышление”, существенно возросла роль проблемы развития мышления в процессе обучения математике.

Математическое  мышление является не только одним  из важнейших компонентов процесса познавательной деятельности учащихся, но и таким компонентом, без целенаправленного  развития которого невозможно достичь высоких результатов в овладении школьниками системой математических знаний, умений и навыков. К сожалению, в настоящее время не выявилось единого подхода к трактовке понятия мышления, к объяснению тех механизмов, которые им управляют.

Формирование  математического мышления школьников предполагает целенаправленное развитие всех качеств, присущих естественнонаучному мышлению, комплекса мыслительных умений, лежащих в основе методов научного познания, в органическом единстве с формами проявления мышления, характеризующихся спецификой предмета математики.

Известный математик  и педагог А. Я. Хинчин выделяет следующие  признаки математического мышления:

1) доминирование  логической схемы рассуждения;

2) лаконизм мышления: предельная скупость, суровая строгость мысли и ее изложения;

3) чёткая расчлененность  хода рассуждения;

4) точность символики. 

Основным определяющим признаком культуры математического  мышления он считал полноценность аргументации, которая предполагает:

- освоение учеником идеи доказательства;

- умение пользоваться  определениями понятий (осознавать  их логическую структуру, уметь  выполнять действия подведения  под понятие и выведение следствий);

- умение работать  с теоремами (понимать логическое  строение теоремы, сущность прямой и обратной теоремы и т. д.);

- владение общими  логическими методами доказательства: аналитическим, синтетическим, методом  от противного, полной индукцией,  математической индукцией;

- владение частными  методами и приемами, характерными  для той или иной темы.

Органическое  сочетание и повышенная активность различных компонентов мышления проявляются в особых способностях человека (математических, организаторских, педагогических и т.д.), что дает ему  возможность успешно осуществлять творческую деятельность в самых разнообразных областях.

Одной из основных задач современного школьного обучения является развитие мышления учащихся. В отличие от традиционного мышления, современное обучение характеризуется  стремлением сделать развитие мышления школьников управляемым процессом, а основные приемы мышления - специальным предметом усвоения.

Мышление характеризуют качества научного мышления:

гибкость - умение целесообразно варьировать способы решения познавательной проблемы, легкость перехода от одного пути решения проблемы к другому; умение выходить за границы привычного способа действия, находить новые способы решения проблемы при изменении задаваемых условий; умение перестраивать систему усвоенных знаний по мере овладения новыми знаниями и накопления опыта;

оригинальность - высший уровень развития нешаблонного мышления, необычность способов решения учащимися известных задач. Оригинальность мышления - следствие глубины мышления;

целесообразность - стремление осуществлять разумный выбор действий при решении какой-либо проблемы, постоянно ориентируясь на поставленную этой проблемой цель, а также в стремлении отыскать наиболее кратчайшие пути ее достижения;

рациональность - склонность к экономии времени и средств для решения поставленной проблемы, стремление отыскать оптимально простое в данных условиях решение задачи, использовать в ходе решения схемы, символику и условные обозначения;

широта - способность к формированию обобщенных способов действий, имеющих широкий диапазон переноса и применения к частным, нетипичным случаям; умение охватить проблему в целом; обобщить проблему, расширить область приложения результатов, полученных в процессе ее разрешения; умение классифицировать и систематизировать изучаемые математические факты и использовать аналогию и обобщение как методы решения задач;

активность - постоянство усилий, направленных на решение некоторой проблемы, желание обязательно решить данную проблему, изучить различные подходы к ее решению и др.;

критичность - умение оценить правильность выбранных путей решения поставленной проблемы, получаемые при этом результаты с точки зрения их достоверности и значимости; умение найти и исправить собственную ошибку, проследить заново все выкладки или ход рассуждения, чтобы натолкнуться на противоречие, помогающее осознать причину ошибки;

доказательность - умение терпеливо относиться к собиранию фактов, достаточных для вынесения какого-либо суждения; стремление к обоснованию каждого шага решения задачи; умение отличать достоверные результаты от правдоподобных;

Организованность - способность к запоминанию, долговременному сохранению, быстрому и правильному воспроизведению основной учебной. При обучении учащихся математике следует развивать как оперативную, так и долговременную память, обучать учащихся запоминанию наиболее существенного, общих методов и приемов решения задач, доказательству теорем; формировать умения систематизировать свои знания и опыт. Организованность памяти формируется у школьников особенно эффективно, если запоминание каких-либо фактов основано на их понимании.

Совокупность  всех указанных качеств мышления называют научным стилем мышления. В свою очередь научный стиль мышления- неотъемлемая часть теоретико-вероятностного стиля мышления

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.  Роль и место вероятностно-статистической линии в школьном курсе математики.

В настоящее время общеобразовательная  школа вместе со всем российским образованием переживает период обновления. При этом одним из основных аспектов модернизации школьного математического образования стало включение теоретико-вероятностных знаний во всеобщее обучение. Эта необходимость обусловлена:

 

• во-первых, высоким уровнем развития науки: естественные, гуманитарные и технические науки во многом опираются на статистические концепции и широко используют вероятностно-статистические методы [29];
• во-вторых, социально-экономическими потребностями общества, народным хозяйством (известны примеры, когда игнорирование стохастическим характером некоторых явлений оборачивается колоссальными материальными потерями в энергоснабжении, на транспорте и других сферах народного хозяйства) [57];
• в-третьих, процессами европейской и мировой интеграции неразрывно связанными с взаимным сближением стран и народов, в том числе и в сфере образования (вероятностно-статистическая линия присутствует в качестве самостоятельной содержательной линии в курсах школьной математики практически во всех развитых странах мира).

Согласно исследованиям ряда методистов, «в течение довольно длительного времени обучение математике в школе было ориентировано на изучение законов жёсткой детерминации», а случайный характер многих явлений действительности оказывался за пределами внимания школьников [33, 159]. На это в своих работах обращают внимание В.А.Булычев, Е.А. Бунимович, Б.В. Гнеденко, Г.В. Дорофеев, А.Н. Колмогоров, Д.В. Маневич, В.Д. Селютин и др. [26, 28, 33, 47-50, 61, 62, 80, 100, 129, 160, 174].

Л.О. Бычкова отмечает, что «однобокий характер представлений школьников относительно многих природных и общественных процессов, не соответствующий уровню развития современной науки» [33]. О том же говорит и Б.В. Гнеденко: «Наша школа с первых и до последних дней школьной жизни знакомит учащихся только с детерминистическим подходом, лишая тем самым своих воспитанников ознакомления с более общими закономерностями, завоевавшими в ряде областей знания и практической деятельности господствующие позиции» [48]. А потому, во введении в школьное обучение элементов теории вероятностей и развитии статистического мышления «нуждаются и методологическое воспитание школьников, и последующая их практическая деятельность, и межпредметные связи ... Именно в школе должны закладываться элементы этих знаний, когда ум подвижен и идеи, сообщенные в эту пору, становятся рабочим инструментом на всю жизнь» [50, с. 64].

Е.А. Бунимович отмечает, что в настоящее время «ориентация на демократические принципы мышления, на многовариантность возможного развития ситуаций и событий, на формирование личности, способной жить и работать в сложном, постоянно меняющемся мире, с неизбежностью требует развития вероятностно-статистического мышления у подрастающего поколения. Эта задача может быть решена в школьном курсе математики на базе комплекса вопросов, связанных с элементами описательной статистики, с формированием вероятностного мышления» [29].