Дифференциальные уравнения и их применение в медицинской практике

 

    Нижнетагильский филиал Государственного бюджетного 
    образовательного учреждения среднего 
           профессионального образования 
       «Свердловский областной медицинский колледж»

 

 

 

 

 

   Реферат на тему: «Дифференциальные уравнения  
и их применение в медицинской практике»

 

 

 

 

 

 

              Составил: Еремеев Владимир Михайлович 
              Студент 102 ф/о 
              Преподаватель: Уткина Татьяна Анатольевна

 

 

 

 

        2013 г.

 

       План

1. Вступление.--------------------------------------------------------------------------------3 стр.
2. Применение математических методов в профессиональной  
   деятельности среднего медицинского персонала.---------------------------4 стр.
3. Моделирование с применением дифференциальных уравнений.------5 стр.
4. Линейность или нелинейность дифференциальных уравнений.---------5 стр.
5. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.----6 стр.
6. Пример применения дифференциальных уравнений в медицине.------7 стр.
7. Моделирование с применением дифференциальных уравнений.-------9 стр. 
   а) Пример----------------------------------------------------------------------------------14 стр.
8. Библиография----------------------------------------------------------------------------15 стр.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

        Вступление. 
 
Дифференциальные уравнения (ДУ) – раздел математики, изучающий теорию и способы решения уравнений, содержащих искомую функцию и ее производные различных порядков одного аргумента (обыкновенные дифференциальные) или нескольких аргументов (дифференциальные уравнения в частных производных). Проще говоря, дифференциальное уравнение – это уравнение, в котором неизвестной величиной является некоторая функция. При этом, в самом уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные ее производные. Дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и ее производными. Такие связи отыскиваются в разных областях знаний: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др. Дифференциальные уравнения широко используются на практике, в частности для описания переходных процессов.                            Дифференциальные уравнения использовались при создании аппарата "искусственная почка", поскольку процесс гемодиализа (т.е. очищения крови при помощи искусственной почки) описывается системой дифференциальных уравнений. 
   Дифференциальные уравнения изобретены Ньютоном (1642-1727). Ньютон считал своё изобретение настолько важным, что зашифровал его в виде анаграммы, смысл которой в современных терминах можно свободно передать так: «законы природы выражаются дифференциальными уравнениями».

 

  ◦Общий вид ДУ: F(x,y,y’,y’’…)=0 
(F – это некоторая неизвестная функция, зависящая от нескольких переменных) 
 ◦Порядок ДУ – порядок высшей производной, содержащейся в этом уравнении. 
Например, уравнение y’’+5y’-3y=0 – ДУ второго порядка. 
 ◦Интеграл (решение) уравнения – это функция, удовлетворяющая ДУ.

Интеграл ДУ: Общее и частное

  ◦Общее решение ДУ содержит столько независимых постоянных, каков порядок уравнения. 
 ◦Частное решение ДУ – функция, получаемая из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных.

 

 

 

Применение математических методов в профессиональной деятельности среднего медицинского персонала.

   При выполнении своих профессиональных обязанностей медицинским работникам часто приходится производить различные математические вычисления. От правильности проведённых расчётов зависит здоровье, а иногда и жизнь пациентов. 
  В хозяйственных расчётах, во многих отраслях науки части величин принято выражать в процентах. Очень часто в лабораторной практике приходится встречаться со случаями приготовления растворов с определённой массовой долей растворённого вещества, смешением двух растворов разной концентрации или разбавлением крепкого раствора водой. 
 
В медицинских приложениях дифференциальные уравнения используются, например:

• Для определения скорости кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца, определения вязкости крови и других параметров гемодинамики.
• Для описания медико-биологических приложений ультразвука: эхоэнцефалограмма, УЗИ, ультразвуковая физиотерапия, ультразвуковая локация и кардиография.
• Для описания процессов физиологической акустики, которая изучает устройство и работу звуковоспринимающих и звуковоспроизводящих органов человека и животных.
• Для определения функции изменения численности популяции микроорганизмов в зависимости от времени.

 

 

 

 

Линейность или нелинейность дифференциальных уравнений.

Другой важнейшей характеристикой  дифференциального уравнения является его линейность или нелинейность. Дифференциальное уравнение называется линейным, если в него входят неизвестные  только в первой степени, нет членов, содержащих произведения этих неизвестных  на их производные, а также функций  этого неизвестного    (тригонометрических, логарифмических, показательных и др.). В противном случае дифференциальное уравнение является нелинейным. Простейшие линейные дифференциальные уравнения 1-го и 2-го порядков имеют в медицинских исследованиях наибольшее распространение. 
     В некоторых исследованиях относительно сложных процессов, происходящих в организме, уравнение путем вполне допустимых упрощений обычно можно привести к линейному виду и ограничиться порядком не выше второго. 
    Однородные линейные дифференциальные уравнения характеризуют многие медико-биологические процессы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференциальные уравнения  с разделяющимися переменными.

Уравнения вида ƒ₁ (x)Φ₁ (y)dx + ƒ₂ (x)Φ₂ (y)dy = 0 называется уравнением с разделяющимися переменными. Оно может быть приведено к уравнению с разделёнными переменными путём деления обоих его частей на Φ₁(y) ƒ₂ (x). 
 
  Алгоритм решения ДУ с разделяющимися переменными:

1. Производную функции y представить как y’ =
2. С помощью алгебраических операций преобразовать уравнение так, чтобы члены, содержащие y, находились в левой части равенства, а члены, содержащие x- в правой.
3. Проинтегрировать полученное равенство: левая часть по аргументу y, а правая – по аргументу x. Неопределённая постоянная С добавляется в правую часть равенства после вычисления интеграла по x.
4. Решить уравнение относительно y и находим общее решение.
5. Подставляя в общее решение значения x и y из дополнительных условий, находим значение неопределённой постоянной С и вид частного решения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример применения дифференциальных уравнений в медицине.

  Применение дифференциальных уравнений в медицине продемонстрируем на примере простейшей математической модели эпидемии. Отметим здесь же, что приложения дифференциальных уравнений в биологии и химии тоже имеют медицинский оттенок, поскольку в медицине важную роль играет исследование различных биологических популяций (например, популяции болезнетворных бактерий) и исследование химических реакций в организме (например, ферментативных).

  В модели описывается распространение инфекционного заболевания в изолированной популяции. Особи популяции делятся на три класса. Инфицированный класс численностью x(t) (t — время) состоит из инфицированных (заболевших) особей, каждая из этих особей заразна (предполагается, что инкубационный период заболевания пренебрежимо короток). Второй класс численностью y(t) составляют восприимчивые особи, т. е. особи, которые могут заразиться при контакте с инфицированными особями. И, наконец, третий класс состоит из невосприимчивых особей (приобретших иммунитет или погибших в результате заболевания). Его численность обозначается z(t). Предполагается также, что общая численность популяции n постоянна (т. е. не учитываются рождения, естественные смерти и миграция). Две гипотезы, лежащие в основе модели таковы:

1) заболеваемость в момент времени t равна x(t)y(t) (эта гипотеза основывается на правдоподобном предположении, что число заболевающих пропорционально числу встреч между больными и восприимчивыми особями, которое в свою очередь в первом приближении пропорционально x(t)y(t)); таким образом численность класса x растет, а численность класса y убывает со скоростью ax(t)y(t) (a > 0);

2) численность становящихся невосприимчивыми особей (приобретших иммунитет или погибших) растет со скоростью, пропорциональной численности заболевших, т. е. со скоростью bx(t) (b > 0). В результате мы получаем систему уравнения  
x′ = axy – bx,  
y′ = – axy,  
z′ = bx.

Задача. Покажите, что x’(y) = –1 + α/y, где α = b/a.

В силу этой задачи, как легко  видеть, траектории системы – имеют вид, изображенный на рис. 3. Уравнение, вообще говоря, не нужно, поскольку z = n – x – y. Подчеркнем, что нас интересуют только положительные значения переменных.

 
Рис. 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Моделирование с применением  дифференциальных уравнений.

   Скорость многих как нормальных, так и патологических процессов зависит от того, насколько далеко уже «продвинулось» развитие этих процессов за предшествующее время. Например, скорость роста объема опухоли зависит от того, какого объема опухоль уже достигла. Это объясняется тем, что скорость роста зависит от числа имеющихся опухолевых клеток, а этому числу пропорционален занимаемый ими объем. Если x(t)—зависимость результата некоторого процесса х от времени, то производная этой функции по времени х'(t) характеризует скорость этого процесса. Поскольку скорость процесса часто находится в зависимости от его результата, в одном уравнении оказываются как x(t), так и x'(t). Подобные уравнения называются дифференциальными. В них могут входить вторые производные, характеризующие ускорения, с которыми происходят процессы, и производные еще более высоких порядков. Таким образом, дифференциальное уравнение для функции x(t)—это уравнение, в которое входят производные этой функции по аргументу t. Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, встречающихся в этом уравнении. 
  Дифференциальные уравнения являются одним из важнейших разделов математики, который имеет очень большое прикладное значение. Кроме общематематического и теоретического интереса, дифференциальные уравнения находят широкое практическое применение. Например, при решении задач, связанных с электродинамикой, распространением тепла, радиоактивным распадом, оптимальным управлением и т.д.  
  Традиционным примером прикладной задачи, приводящей к простейшему обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка, является задача о радиоактивном распаде вещества.   Дифференциальные уравнения описывают процессы распространения тепла и диффузии газов. Изучение электромагнитных полей базируется на знаменитых уравнениях Максвелла. Фундаментальную роль в квантовой механике играет дифференциальное уравнение, называемое уравнением Шредингера. Опираясь на решение системы дифференциальных уравнений, был сконструирован автопилот. Дифференциальные уравнения использовались при создании аппарата "искусственная почка", поскольку процесс гемодиализа (т.е. очищения крови при помощи искусственной почки) описывается системой дифференциальных уравнений. А ведь этот аппарат спасает жизни многих и многих.  
  Несколько десятков лет назад нелинейные уравнения мало кого интересовали. А сейчас они переживают взлет. Одиночные волны, которые описываются этими уравнениями, сейчас играют большую роль. Просто раньше такие уравнения не умели решать.  
  Теория дифференциальных уравнений является самым большим разделом современной математики. Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической науке, прежде всего, необходимо подчеркнуть основные особенности теории дифференциальных уравнений, состоящей из двух обширных областей математики: теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений с частными производными. Для составления математической модели в виде дифференциальных уравнений нужно, как правило, знать только локальные связи, и не нужна информация обо всем физическом явлении в целом. Математическая модель дает возможность изучать явление в целом, предсказать его развитие, делать количественные оценки изменений, происходящих в нем с течением времени. Важно отметить, что для проверки правильности математической модели очень важны теоремы существования решений соответствующих дифференциальных уравнений, так как математическая модель не всегда адекватна конкретному явлению и из существования решения реальной задачи (физической, химической, биологической и т.д.) не следует существование решения соответствующей математической задачи. 
  Задачи различных естественных наук снабжают теорию дифференциальных уравнений проблемами, из которых вырастают богатые содержанием теории. Однако бывает и так, что математическое исследование, рожденное в рамках самой математики, через значительное время после его проведения находит приложение в конкретных «жизненных» проблемах в результате их более глубокого изучения. Таким примером может служить задача Трикоми для уравнений смешанного типа, которая спустя более четверти века после ее решения нашла важные применения в задачах современной газовой динамики при изучении сверхзвуковых течений газа. Д. Гильберт писал, что "математика сопровождала по пятам физическое мышление и, обратно, получила наиболее мощные импульсы со стороны проблем, выдвигавшихся физикой". Таким образом, дифференциальные уравнения находятся как бы на перекрестке математических дорог.  
  С одной стороны, новые важные достижения в топологии, алгебре, функциональном анализе, теории функций и других областях математики сразу же приводят к прогрессу в теории дифференциальных уравнений и тем самым находят путь к приложениям. С другой стороны, проблемы физики и техники, биологии и медицины, химии и т.д., сформулированные на языке дифференциальных уравнений, вызывают к жизни новые направления в математике, приводят к необходимости совершенствования математического аппарата, дают начало новым математическим теориям, имеющим внутренние законы развития, свои собственные проблемы. Ф. Клейн в книге «Лекции о развитии математики в XIX столетии» писал: "Математика в наши дни напоминает оружейное производство в мирное время. Образцы восхищают знатока. Назначение этих вещей отходит на задний план". Несмотря на эти слова, можно сказать, что нельзя стоять за "разоружение" математики.  
  Вспомним, например, что древние греки изучали конические сечения задолго до того, как было открыто, что по ним движутся планеты. Действительно, созданная древними греками теория конических сечений не находила своего применения почти две тысячи лет, пока Кеплер не воспользовался ею для создания теории движения небесных тел. Исходя из теории Кеплера, Ньютон создал механику, являющуюся основой всей физики и техники. Другим таким примером может служить теория групп, зародившаяся в конце XVIII века (Лагранж, 1771 год) в недрах самой математики и нашедшая лишь в конце XIX века плодотворное применение сначала в кристаллографии, а позднее в теоретической физике и других естественных науках.  
  Многие разделы теории дифференциальных уравнений так разрослись, что стали самостоятельными науками. Можно сказать, что большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения, проходит через дифференциальные уравнения. Все это обеспечивает теории дифференциальных уравнений почетное место в современной науке. Таким образом, в теории дифференциальных уравнений ясно прослеживается основная линия развития математики: от конкретного и частного через абстракцию к конкретному и частному. 
  Для реализации математических моделей в настоящее время широко используются компьютеры. С помощью ЭВМ проводят так называемые «машинные эксперименты», при исследовании патологических процессов в кардиологии, развития эпидемий и т.д. При этом можно легко изменять масштаб по времени: ускорить или замедлить течение процесса, рассмотреть процесс в стационарном режиме, как это предложено в модели сокращения мышцы (модель Дещеревского) и по пространству. Например, ввести локальную пространственную неоднородность параметров, изменить конфигурацию зоны патологии. Изменяя коэффициенты или вводя новые члены в дифференциальные уравнения, можно учитывать те или иные свойства модулируемого объекта или теоретически создавать объекты с новыми свойствами, так,  например, получать лекарственные препараты более эффективного действия. С помощью ЭВМ можно решать сложные уравнения и прогнозировать поведение системы: течение заболевания, эффективность лечения, действия фармацевтического препарата и т.д.

   По возможности нужно применять чисто математические методы исследования модели, так как это позволяет наиболее полно использовать мощные аналитические возможности. К сожалению, во многих случаях получить решение основных уравнений аналитическими методами не удается и необходимо обращаться к численным решениям. Численный анализ полон ловушек, подстерегающих неосторожного исследователя. Однако при соблюдении достаточной осторожности численные решения часто дают значительный объем полезной информации о свойствах модели. По мере усложнения моделей и приближения их к реальным процессам уменьшается возможность получения лаконичных изящных решений в явном виде, и все более возрастает необходимость обращаться к тем или иным формам численных решений. Поэтому в настоящее время исключительно важное значение приобретают быстродействующие вычислительные машины.

   В некоторых случаях возникают более серьезные трудности. Может оказаться, что полученные дифференциальные уравнения движения для некоторого сложного биологического процесса (это могут быть дифференциальные уравнения в частных производных высокого порядка) не только неразрешимы аналитически, но и не поддаются решению существующими методами численного анализа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример математической модели.

  Довольно простая математическая модель состоит в следующем. Пусть вероятность того, что данному больному в один из дней потребуется отдельная палата, равна p. Тогда для отделения на n человек вероятность того, что r больным потребуется отдельная палата, будет иметь биномиальное распределение:  

а среднее число таких палат составит np. Представим себе, что мы обеспечены произвольным числом a отдельных палат. Среднее число больных, находящихся в таких палатах и действительно нуждающихся в изоляции, равно:

 

  Первый член выражения которого соответствует числу больных в те дни, когда спрос может удовлетворяться полностью, а второй член относится к случаям, когда спрос превышает предложение. Если коэффициент обеспеченности равен E_p, а коэффициент использования равен E_u, то легко видеть, что: 
                                               
 Простые вычисления, основанные на формулах, дают результаты, приведённые в таблице:  
«Коэффициенты обеспеченности и коэффициенты использования для отделения на 16 человек (p=0,3)»

Число   изоляторов	Коэффициент обеспеченности	Коэффициент   использования
2	41	99
3	60	96
4	76	91
5	87	83
6	94	75