Парадоксы неточных и неясных понятий

Доказательство Евбулида, изложенное в несколько осовремененной версии, звучит так:

Допустим, что мы собрали  людей с разной степенью облысения  и строим их в ряд. Первым в ряду поставим человека с самой буйной шевелюрой, какая вообще возможна. У  второго пусть будет только на один волос меньше, чем у первого, у третьего - на волос меньше, чем  у второго, и т.д. Последним в  ряду будет совершенно лысый человек. На голове у человека сто с чем-то тысяч волос, так что в этом ряду окажется сто с чем-то тысяч  человек.

Будем рассуждать, начиная  с первого, стоящего в ряду. Он, без  сомнения, не лысый. Взяв произвольную пару в этом ряду, найдем, что если первый из них не лысый, то и непосредственно  следующий за ним также не является лысым, поскольку у этого следующего всего на один волос меньше. Следовательно, каждый человек из этого ряда не является лысым. Подчеркнем - каждый, включая  как первого, так и последнего.

Доказано это, как будто, строго, а именно методом математической индукции. Но ведь последний в ряду - совершенно лысый человек. Однако лысый, так сказать, только фактически: мы видим, что у него на голове нет  волос, и именно поэтому мы и поставили  его в конце ряда. Но рассуждая, мы приходим к заключению, что он не является лысым.

Мы оказываемся, таким  образом, перед дилеммой: нам остается либо верить своим глазам и не верить своему уму, либо наоборот.

Интересно, что используя  прием Евбулида, можно доказать и  прямо противоположное утверждение, что "волосатых" людей нет и  все являются лысыми. Для этого  достаточно начать с другого конца  образованного нами ряда людей. Первым человеком будет в этом случае совершенно лысый. У каждого следующего в ряду будет всего на один волос  больше, чем у предыдущего. Так  что, если предыдущий - лысый, то и следующий  за ним также лысый. Значит, каждый человек является лысым, включая, естественно, и последних в ряду, у которых  на головах буйные шевелюры.

Здесь уже не просто рассогласование  чувств и разума, а прямое противоречие в самом разуме. Удалось доказать с равной силой как то, что ни одного лысого нет, так и то, что  все являются совершенно лысыми. И  оба доказательства были проведены  с помощью метода математической индукции, в безупречность которой  мы верим со школьных лет и которая  лежит в основании такой строгой  и точной науки, как математика.

Продолжая тему возраста, начатую  предыдущими примерами ("молодой  человек", "человек среднего возраста"), можно было бы доказать теперь, что  стариков вообще нет, а есть только младенцы. Правда, к последним относились бы и все те, кому сто лет и больше. С равным успехом удалось бы также показать, что всякий человек, в том числе и только что родившийся, является глубоким стариком.

Возможность всех этих и  подобных им доказательств означает, что принцип математической индукции имеет строго ограниченную область  приложения. Он не должен применяться, в частности, в рассуждениях об объектах, обозначаемых неточными, расплывчатыми  именами.

Возникает, однако, вопрос: благодаря  каким свойствам математических понятий парадоксы, подобные описанным, не могут появиться в математике? В чем состоит та особая жесткость  математических объектов, которая дает возможность распространить на них  математическую индукцию? Или, говоря иначе, какие именно объекты являются "математическими", подпадающими под действие принципа математической индукции? Из этих вопросов можно сделать, в частности, вывод, что при обосновании  математики принцип математической индукции не должен приниматься в  качестве самоочевидного и исходного.

Оказывается в итоге, что  древние парадоксы, касающиеся неточных имен, перекликаются с самыми современными спорами по поводу оснований математики.

Неточными являются не только эмпирические имена, подобные "дому", "куче", "старику" и т.д., но и многие теоретические имена, такие  как "идеальный газ", "материальная точка" и т.д.

Характерная особенность  неточных имен заключается в том, что с их помощью можно конструировать неразрешимые высказывания. Относительно таких высказываний невозможно решить, истинны они или нет, как, скажем, в случае высказываний: "Человек  тридцати лет молод" и "Тридцать лет - это средний возраст".

Естественно, что наука  стремится исключить неточные имена, как и содержащие их неразрешимые высказывания, из своего языка. Однако ей не всегда удается это сделать. Многие ее имена заимствованы из повседневного языка, модификация и уточнение их не всегда и не сразу приводят к успеху.

Неточными являются, в частности, обычные имена, связанные с измерением пространства и времени. На это впервые  обратил внимание А.Эйнштейн. Он показал, что имена "одновременные события" и "настоящее время" не являются точными. Легко сказать, одновременны или нет события, происходящие в  пределах восприятия человека. Установление же одновременности удаленных друг от друга событий требует синхронизации  часов, сигналов. Содержание обычного понятия одновременности не определяет никакого метода, дающего хотя бы абстрактную  возможность суждения об одновременности  событий.

То, что имена в большинстве своем являются неточными, означает, что каждый язык, включая и язык любой научной теории, более или менее неточен. Сопоставление теории, сформулированной в таком языке, с реальными и эмпирически устанавливаемыми сущностями всегда обнаруживает определенное расхождение теоретической модели с реальным миром. Обычно это расхождение относят к проблематике, связанной с приложимостью теории, оно оказывается тем самым в известной мере завуалированным. Но это не означает, конечно, что расхождения нет.

Особенно остро стоит  в этом плане вопрос о приложимости к эмпирической реальности наиболее абстрактных теорий - логических и  математических.

Применительно к математике А.Эйнштейн выразил эту мысль  так: "Поскольку математические предложения  относятся к действительности, они  не являются бесспорными, а поскольку  они являются бесспорными, они не относятся к действительности". Анализируя понятие неточности, Б.Рассел пришел к заключению, что поскольку  логика требует, чтобы используемые имена были точными, она применима  не к реальному миру, а только к "воображаемому неземному существованию". Эти мнения являются, конечно, крайними. Но они хорошо подчеркивают серьезность  тех проблем, которые связаны  с неточностью имен.

Иногда неточные имена, подобные "молодому", удается устранить. Как правило, это бывает в практических ситуациях, требующих однозначности  и точности и не мирящихся с  колебаниями.

Можно, во-первых, прибегнуть к соглашению и ввести вместо неопределенного  имени новое имя со строго определенными  границами.

Так, иногда наряду с крайне расплывчатым именем "молодой" используется точное имя "совершеннолетний". Оно  является настолько жестким, что  тот, кому 18 лет и более, относится  к совершеннолетним, а тот, кому хотя бы на один день меньше, считается еще  несовершеннолетним.

Можно, во-вторых, избегать неточных имен, вводя вместо них сравнительные  имена. Например, иногда вместо выяснения  того, кто молод, а кто нет, достаточно установить, кто кого моложе.

Разумеется, эти, как и  иные способы устранения неточных имен применимы только в редких ситуациях  и для узкого круга целей. Попытка  достичь сразу же, одним движением  высокой точности там, где она  объективно не сложилась, способна привести только к искусственным границам и самодовлеющему схематизму.

"Несовершеннолетие, - говорил  философ И.Кант, - есть неспособность  пользоваться своим рассудком  без руководства со стороны  кого-то другого". Очевидно, что  о так понимаемом несовершеннолетии  никак не скажешь, что оно  может отделяться от совершеннолетия  всего одним днем.

Подведем итог всему сказанному о многозначности и неточности имен обычного языка. Эти особенности  обычных имен - предмет интереса не только чистой теории, но и нашей  повседневной практики употребления языка. Всякая наша мысль и каждое наше высказывание включает имена. И, как  правило, они являются многозначными  или неточными, а нередко и  теми и другими вместе. Это нужно  постоянно иметь в виду, чтобы  избегать недоразумений, непонимания, ненужных, чисто "словесных" споров.

До сих пор речь шла  о неточных именах. Граница множества  вещей, подпадающих под неточное имя, является размытой и неопределенной. Относительно тех из них, которые лежат на этой границе, нельзя с уверенностью и без колебаний сказать ни то, что им присущи признаки, мыслимые в имени, ни то, что у них нет этих признаков.

Имя может быть размытым и недостаточно определенным также  в отношении своего содержания, или  смысла. В последнем случае понятие  можно назвать содержательно  неясным, или просто неясным.

Хороший - можно сказать, классический - пример содержательно  неясного имени представляет собой  имя "человек". Неточность этого  имени совершенно незначительна, если она вообще существует. Класс людей  ясно и резко очерчен. У нас  никогда не возникает колебаний  относительно того, кто является человеком, а кто нет. Особенно если мы отвлекаемся  от вопросов происхождения человека, предыстории человеческого рода и т.п.

Вместе с тем с точки  зрения своего содержания это имя  представляется весьма неопределенным.

Писатель П.Веркор начинает свой роман "Люди или животные" эпиграфом: "Все несчастья на земле  происходят оттого, что люди до сих  пор не уяснили себе, что такое  человек, и не договорились между  собой, каким они хотят его  видеть". В другом месте Веркор замечает: "Человечество напоминает собой клуб для избранных, доступ в который весьма затруднен. Мы сами решаем, кто может быть туда допущен". На основе каких признаков решается это? На что мы опираемся, причисляя  к классу людей одни живые существа и исключая из него другие? Или, выражаясь  более специально, какие признаки мыслятся нами в содержании имени "человек"? Как ни странно, четкого ответа на данный вопрос нет. Это обстоятельство как раз и обыгрывается в романе Веркора: суду присяжных нужно решить, является ли убийство "тропи", обезьяночеловека, убийством человека или же убийством  животного.

Существуют десятки и  десятки разных определений человека. Одним из самых старых и известных из них является определение его как животного, наделенного разумом. Но что такое разум, которого лишено все живое, кроме человека?

Философ Платон определил  человека как двуногое бесперое существо. Другой философ, Диоген, ощипал цыпленка и бросил его к ногам Платона  со словами: "Вот твой человек". После этого Платон уточнил свое определение: человек - это двуногое бесперое существо с широкими ногтями.

Еще один философ охарактеризовал  человека как существо с мягкой мочкой уха. Благодаря какому-то капризу  природы оказалось, что из всех живых  существ только у человека мягкая мочка уха.

Последние два определения  позволяют безошибочно и просто отграничивать людей от всех иных существ. Но можно ли сказать, что  в этих определениях раскрывается содержание имени "человек"? Вряд ли. Они ориентированы  на сугубо внешние и случайные  особенности человека и ничего не говорят о нем по существу. Разве  человек перестал бы быть самим собою, если бы у него ногти были несколько  поуже или мочка уха твердой? Пожалуй, нет.

Философ А.Бергсон отличительную  особенность человека усматривал - не без иронии, конечно, - в способности  смеяться и особенно в способности  смешить других. Неуклюжие или  забавные движения животного могут  вызвать наш смех. Но животное никогда  не задается специальной целью рассмешить. Оно не смеется само и не пытается смешить других. Только человек смеется  и смешит.

В каждую эпоху имелось  определение человека, представлявшееся для своего времени наиболее глубоким. Философ Р.Барнет писал, что для  греков человек - это мыслящее существо, для христиан - существо с бессмертной  душой, для современных ученых - животное, производящее орудия труда. Сверх того, для психолога человек является животным, употребляющим язык, для  этика - существом с "чувством высшей ответственности", для теории эволюции - млекопитающим с громадным мозгом и т.д.

Это обилие определений и  точек зрения на сущность человека и на его отличительные особенности  связано, конечно, с недостаточной  четкостью имени "человек", с  неясностью его содержания.

Еще одним примером содержательной неясности может служить понятие "токсичное вещество". Растущее внимание к токсикологии окружающей среды находит отчасти свое выражение  в постоянном росте числа таких  веществ. Одно из первых руководств по профзаболеваниям, изданное в Соединенных  Штатах в 1914 г., включало всего 67 наименований токсинов. Стандартный справочник 1969 г. включал уже 17 тысяч наименований. Составляемый сейчас полный список токсинов, применяемых в промышленности, по некоторым оценкам, будет насчитывать 100 тысяч наименований. Ясно, что  бурное увеличение числа токсинов обусловлено  не столько появлением в ходе технического прогресса новых веществ, неблагоприятно воздействующих на живые существа, сколько постоянным изменением самих  представлений о том, какие именно вещества должны относиться к токсинам.

Имя может быть неточным. Оно может быть неясным по содержанию. Очевидно, что возможен случай, когда  имя оказывается одновременно неточным и неясным. В этом случае оно является, так сказать, "вдвойне расплывчатым".