Применение алгебры высказываний в информатике

 

Для составления алгебраической формы по результатам таблицы  сделаем следующее. В комбинациях, где функция принимает значение 1, единицу заменим именем функции, а нуль – именем с отрицанием (т.е. комбинации 0 0 1 поставим в соответствие выражение ), все элементы соединим знаками дизъюнкции, для рассматриваемого примера получим .

Построенная функция удовлетворяет  заданной таблице истинности. Функция  представляет дизъюнктивную нормальную форму (ДНФ). Кроме того, в каждую группу дизъюнкций входят все аргументы функции. Такая ДНФ называется совершенной, а каждая группа дизъюнкции называется конституентой единицы.

Аналогично, для комбинации, где  функция принимает значение нуля, можно построить алгебраическую форму , которая также удовлетворяет заданной таблице истинности и представляет собой конъюнктивную нормальную форму, в данном случае совершенную. Каждая конъюнкция называется конституентой нуля [4, с 54-55].

1.5. Применения  алгебры высказываний в информатике, примеры приминения.

Логические  основы компьютера

В ЭВМ используются различные  устройства, работу которых прекрасно  описывает алгебра логики. К таким  устройствам относятся группы переключателей, триггеры, сумматоры.

Кроме того, связь между булевой  алгеброй и компьютерами лежит и  в используемой в ЭВМ системе  счисления. Как известно она двоичная. Поэтому в устройствах компьютера можно хранить и преобразовывать  как числа, так и значения логических переменных.

Переключательные  схемы

В ЭВМ применяются  электрические схемы, состоящие  из множества переключателей. Переключатель  может находиться только в двух состояниях: замкнутом и разомкнутом. В первом случае – ток проходит, во втором – нет. Описывать работу таких схем очень удобно с помощью алгебры логики. В зависимости от положения переключателей можно получить или не получить сигналы на выходах.

Вентили, триггеры и сумматоры

Вентиль представляет собой  логический элемент, который принимает одни двоичные значения и выдает другие в зависимости от своей реализации. Так, например, есть вентили, реализующие логическое умножение (конъюнкцию), сложение (дизъюнкцию) и отрицание.

Триггеры и сумматоры  – это относительно сложные устройства, состоящие из более простых элементов – вентилей.

Триггер способен хранить  один двоичный разряд, за счет того, что  может находиться в двух устойчивых состояниях. В основном триггеры используется в регистрах процессора.

Сумматоры широко используются в арифметико-логических устройствах (АЛУ) процессора и выполняют суммирование двоичных разрядов.

Полусумматор

Cложение в пределах одного разряда (без учета возможной пришедшей единицы из младшего разряда) можно реализовать изображенной ниже схемой, которая называется полусумматором (Рис.1). У полусумматора два входа (для слагаемых) и два выхода (для суммы и переноса). На схеме изображен полусумматор, состоящий из вентилей ИСКЛЮЧАЮЩИЕ ИЛИ и И.

Сумматор

В отличие от полусумматора сумматор учитывает перенос из предыдущего разряда, поэтому имеет не два, а три входа.

Чтобы учесть перенос  приходится схему усложнять (Рис. 2). По-сути она получается, состоящей  из двух полусумматоров.

Рис. 1. Схема полусумматора

 

Рис. 2. Схема сумматора

Логические  элементы. Вентили

В основе построения компьютеров, а точнее аппаратного обеспечения, лежат так называемые вентили. Они представляют собой достаточно простые элементы, которые можно комбинировать между собой, создавая тем самым различные схемы. Одни схемы подходят для осуществления арифметических операций, а на основе других строят различную память ЭВМ.

Простейший вентиль  представляет собой транзисторный  инвертор, который преобразует низкое напряжение в высокое или наоборот (высокое в низкое). Это можно  представить как преобразование логического нуля в логическую единицу или наоборот, т.е. получаем вентиль НЕ.

Соединив пару транзисторов различным способом, получают вентили ИЛИ-НЕ и И-НЕ. Эти вентили принимают уже не один, а два и более входных сигнала. Выходной сигнал всегда один и зависит от входных сигналов. В случае вентиля ИЛИ-НЕ получить высокое напряжение (логическую единицу) можно только при условии низкого напряжении на всех входах. В случае вентиля И-НЕ все наоборот: логическая единица получается, если все входные сигналы будут нулевыми. Как видно, это обратно таким привычным логическим операциям как И и ИЛИ. Однако обычно используются вентили И-НЕ и ИЛИ-НЕ, т.к. их реализация проще: И-НЕ и ИЛИ-НЕ реализуются двумя транзисторами, тогда как логические И и ИЛИ тремя.

Выходной сигнал вентиля  можно выражать как функцию от входных.

Транзистору требуется  очень мало времени для переключения из одного состояния в другое (время  переключения оценивается в наносекундах). И в этом одно из существенных преимуществ  схем, построенных на их основе.

Рис. 3. Основные вентили: НЕ, ИЛИ-НЕ, И-НЕ

Триггер как  элемент памяти. Схема RS-триггера

Память (устройство, предназначенное  для хранения данных и команд) является важной частью компьютера.

Элементарной единицей компьютерной памяти является бит. Поэтому требуется устройство, способное находиться в двух состояниях, т.е. хранить единицу или ноль. Также это устройство должно уметь быстро переключаться из одного состояния в другое под внешним воздействием, что дает возможность изменять информацию. Ну и наконец, устройство должно позволять определять его состояние, т.е. предоставлять во вне информацию о своем состоянии.

Устройством, способным  запоминать, хранить и позволяющим  считывать информацию, является триггер.

Разнообразие триггеров весьма велико. Наиболее простой из них так называемый RS-триггер, который собирается из двух вентилей. Обычно используют вентили ИЛИ-НЕ или И-НЕ.

RS-триггер на  вентилях ИЛИ-НЕ

RS-триггер «запоминает», на какой его вход подавался  сигнал, соответствующий единице, в последний раз. Если сигнал был подан на S-вход, то триггер на выходе постоянно «сообщает», что хранит единицу. Если сигнал, соответствующий единице, подан на R-вход, то триггер на выходе имеет 0. Не смотря на то, что триггер имеет два выхода, имеется в виду выход Q. (Q с чертой всегда имеет противоположное Q значение.)

Другими словами, вход S (set) отвечает за установку триггера в 1, а вход R (reset) – за установку триггера в 0. Установка производится сигналом, с высоким напряжением (соответствует единице). Просто все зависит от того, на какой вход он подается.

Большую часть времени  на входы подается сигнал равный 0 (низкое напряжение). При этом триггер сохраняет  свое прежнее состояние.

Рис. 4. Схема RS-триггера на вентилях ИЛИ-НЕ

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В результате работы были выполнены поставленные задачи.

Выявлено основное понятие булевой алгебры – высказывание. Высказывания обозначаются латинскими буквами и могут принимать одно из двух значений: ЛОЖЬ (обозначается 0) или ИСТИНА (обозначается 1).

Были рассмотрены логические операции: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и логические выражения, представляющие собой комбинации логических операций.

Был выявлен  порядок логических операций. Первыми  выполняются операции в скобках, затем операции в следующем порядке: отрицание, конъюнкция и дизъюнкция слева направо, импликация, эквиваленция.

В результате работы можно  выделить основные законы алгебры логики: закон противоречия, закон исключенного третьего, закон двойного отрицания, законы де Моргана, законы повторения, законы поглощения, законы исключения констант, законы склеивания, законы контрапозиции, коммуникативный закон, дистрибутивный закон, ассоциативный закон.

Было раскрыто табличное и алгебраическое задание  булевских функций. Задать булевскую функцию можно, определяя ее значение для всех наборов значений аргументов. Каждый аргумент может иметь два значения: 0 и 1, следовательно, n аргументов могут принимать различных наборов.

Алгебра высказываний является составной частью одного из современных быстро развивающихся разделов математики – математической логики. Одним из приложений алгебры высказываний – решение логических задач. В логических задачах исходными данными являются не только и не столько числа, а сложные логические суждения, подчас весьма запутанные. Эти суждения и связи между ними бывают иногда столь противоречивы, что для их разрешения привлекают вычислительные машины.

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1. Задача.

 

В бухгалтерии предприятия  ООО «Гамма» производится расчет налоговых вычетов, предоставляемых сотрудникам, и формирование платежных ведомостей. Данные для выполнения расчета налоговых вычетов приведены на рис. 1. Стандартный налоговый вычет предоставляется каждому сотруднику в размере 400 руб. до тех пор, пока совокупный доход с начала года не превысит 50000 руб., налоговый вычет на ребенка предоставляется в размере 600 руб. НДФЛ – налог на доходы физических лиц (13%) рассчитывается с начисленной суммы за минусом размера налогового вычета.

1. Построить таблицы  по приведенным ниже данным.

2. Выполнить расчет  размера налогового вычета, предоставляемого  сотрудникам в текущем месяце, результаты вычислений представить  в виде таблицы (рис. 2.).

3. Сформировать и заполнить  форму расчетной ведомости по  заработной плате за текущий месяц (рис. 3).

4. Результаты расчета  заработной платы за текущий  месяц представить в графическом  виде.

 

ФИО сотрудника	Начислено за месяц, руб.	Совокупный  доход с начала года, руб.
Васечкина М.М	4 890,00	26 000,00
Иванова И.И.	6 800,00	35 000,00
Кузнецова С.С.	5 350,00	42 000,00
Петрова А.А.	7 500,00	54 000,00
Сидорова К.К.	8 200,00	64 000,00

 

Рис. 1. Данные для расчета налоговых вычетов

 

ФИО сотрудника	Стандартный налоговый  вычет на физ. лицо, руб.	Количество  детей, на которых предоставляется налоговый вычет	Размер налогового вычета за текущий месяц, руб.
Васечкина М.М	400,00	0
Иванова И.И.	400,00	2
Кузнецова С.С.	400,00	2
Петрова А.А.	400,00	1
Сидорова К.К.	400,00	3

 

Рис. 2. Размер налоговых вычетов, предоставляемых сотрудникам в текущем месяце

	ООО "Гамма"
					Расчетный период
					с		по
					__.__.20__		__.__.20__
	РАСЧЕТНАЯ ВЕДОМОСТЬ
	Табельный номер	ФИО сотрудника	Начислено за месяц, руб.	Размер налогового вычета, руб.		НДФЛ, руб.			К выплате, руб.
	0001	Иванова И.И.
	0002	Петрова А.А.
	0003	Васечкина М.М
	0004	Сидорова К.К.
	0005	Кузнецова С.С.
	ИТОГО ПО ВЕДОМОСТИ
	Гл. Бухгалтер____________________________