Пакет символьной математики MATHCAD в инженерных расчетах

Формулы — основные объекты рабочего листа. Новый объект по умолчанию является формулой. Чтобы начать ввод формулы, надо установить крестообразный курсор в нужное место и начать ввод букв, цифр, знаков операций. При этом создается область формулы, в которой появляется уголковый курсор, охватывающий текущий элемент формулы, например имя переменной (функции) или число. При вводе бинарного оператора по другую сторону знака операции автоматически появляется заполнитель в виде черного прямоугольника. В это место вводят очередной операнд. Для управления порядком операций используют скобки, которые можно вводить вручную. Уголковый курсор позволяет автоматизировать такие действия. Чтобы выделить элементы формулы, которые в рамках операции должны рассматриваться как единое целое, используют клавишу ПРОБЕЛ. При каждом ее нажатии уголковый курсор «расширяется», охватывая элементы формулы, примыкающие к данному. После ввода знака операции элементы в пределах уголкового курсора автоматически заключаются в скобки. Элементы формул можно вводить с клавиатуры или с помощью специальных панелей управления. Панели управления открывают с помощью меню View (Вид) или кнопками панели управления Math (Математика). Для ввода элементов формул предназначены следующие панели:

 

• панель управления Arithmetic (Счет) для ввода чисел, знаков типичных математических операций и наиболее часто употребляемых стандартных функций;
• панель управления Evaluation (Вычисление) для ввода операторов вычисления и знаков логических операций;
• панель управления Graph (График) для построения графиков;
• панель управления Matrix (Матрица) для ввода векторов и матриц и задания матричных операций;
• панель управления Calculus (Исчисление) для задания операций, относящихся к математическому анализу;
• панель управления Greek (Греческий алфавит) для ввода греческих букв (их можно также вводить с клавиатуры, если сразу после ввода соответствующего латинского символа нажимать сочетание клавиш CTRL+G, например [a][CTRL+G] — a, [W][CTRL+G]-W);
• панель управления Symbolic (Аналитические вычисления) для управления аналитическими преобразованиями.

Введенное выражение  обычно вычисляют или присваивают  переменной. Для вывода результата выражения используют знак вычисления, который выглядит как знак равенства  и вводится при помощи кнопки Evaluate Expression (Вычислить выражение) на панели инструментов Evaluation (Вычисление).

Знак присваивания изображается как «:=», а вводится при помощи кнопки Assign Value (Присвоить значение) на панели инструментов Evaluation (Вычисление). Слева от знака присваивания указывают имя переменной. Оно может содержать латинские и греческие буквы, цифры, символы «¢»,«_» и «¥», а также описательный индекс. Описательный индекс вводится с помощью символа «.» и изображается как нижний индекс, но является частью имени переменной, например V_init. «Настоящие» индексы, определяющие отдельный элемент вектора или матрицы, задаются по-другому.

Переменную, которой присвоено  значение, можно использовать далее  в документе в вычисляемых  выражениях. Чтобы узнать значение переменной, следует использовать оператор вычисления.

 

Текстовый редактор

 

Для ввода текста необходимо создать текстовую область из пункта Text region меню View или использовать клавишу с двойной кавычкой (<">), выполнив следующее.

1. Щелкнуть в свободном месте рабочей части.
2. Нажать <"> при английской раскладке клавиатуры – появиться текстовая область (прямоугольник с курсором ввода).
3. Выбрать тип шрифта, поддерживающего кириллицу (например, Times New Roman).
4. Маркер ввода будет окружен текстовой рамкой, которая будет расширяться по мере ввода текста.

Текст, помещенный в рабочий  лист, содержит комментарии и описания и предназначен для ознакомления, а не для использования в расчетах. Программа MathCAD определяет назначение текущего блока автоматически при первом нажатии клавиши ПРОБЕЛ. Если введенный текст не может быть интерпретирован как формула, блок преобразуется в текстовый и последующие данные рассматриваются как текст. Создать текстовый блок без использования автоматических средств позволяет команда Insert > Text Region (Вставка > Текстовый блок).

Иногда требуется встроить формулу внутрь текстового блока. Для этого служит команда Insert > Math Region (Вставка > Формула).

 

Графический редактор

 

MathCAD  может строить различные графические области: двухмерные графики в декартовых и полярных координатах, карты линий уровня, трехмерные графики и др.

Для создания графика  необходимо:

1. Выбрать место для размещения графика;
2. Щелкнуть по инструменту X-Y Plot палитры Graph – появится графическая область, поля ввода которой необходимо заполнить.

После щелчка вне графика  MathCAD вычисляет промежуточные значения и строит точки графика.

 

Форматирование  формул и текста

 

Для форматирования формул и текста в программе MathCAD используется панель инструментов Formatting (Форматирование). С ее помощью можно индивидуально отформатировать любую формулу или текстовый блок, задав гарнитуру и размер шрифта, а также полужирное, курсивное или подчеркнутое начертание символов. В текстовых блоках можно также задавать тип выравнивания и применять маркированные и нумерованные списки.

В качестве средств автоматизации используются стили оформления. Выбрать стиль оформления текстового блока или элемента формулы можно из списка Style (Стиль) на панели инструментов Formatting (Форматирование). Для формул и текстовых блоков применяются разные наборы стилей. Чтобы изменить стиль оформления формулы или создать новый стиль, используется команда Formate Equation (Формат ^ Выражение). Изменение стандартных стилей Variables (Переменные) и Constants (Константы) влияет на отображение формул по всему документу. Стиль оформления имени переменной учитывается при ее определении. Так, переменные хил- рассматриваются как различные и не взаимозаменяемы. При оформлении текстовых блоков можно использовать более обширный набор стилей. Настройка стилей текстовых блоков производится при помощи команды Format > Style (Формат > Стиль).

 

Стандартные и  пользовательские функции

 

Произвольные зависимости  между входными и выходными параметрами  задаются при помощи функций. Функции  принимают набор параметров и  возвращают значение, скалярное или векторное (матричное). В формулах можно использовать стандартные встроенные функции, а также функции, определенные пользователем.

Чтобы использовать функцию  в выражении, надо определить значения входных параметров в скобках  после имени функции. Имена простейших математических функций можно ввести с панели инструментов Arithmetic (Счет). Информацию о других функциях можно почерпнуть в справочной системе. Вставить в выражение стандартную функцию можно при помощи команды Insert > Function (Вставка > Функция). В диалоговом окне Insert Function (Вставка функции) слева выбирается категория, к которой относится функция, а справа — конкретная функция. В нижней части окна выдается информация о выбранной функции. При вводе функции через это диалоговое окно автоматически добавляются скобки и заполнители для значений параметров.

Пользовательские функции  должны быть сначала определены. Определение  задается при помощи оператора присваивания. В левой части указывается имя пользовательской функции и, в скобках, формальные параметры — переменные, от которых она зависит. Справа от знака присваивания эти переменные должны использоваться в выражении. При использовании пользовательской функции в последующих формулах ее имя вводят вручную. В диалоговом окне Insert Function (Вставка функции) оно не отображается.

Приведем обозначения  основных из них:

1. Тригонометрические и обратные функции:
2. sin(z), cos(z), tan(z), asin(z), acos(z), atan(z);
3. Гиперболические и обратные функции:
4. sinh(z), cosh(z), tanh(z), asinh(z), acosh(z), atanh(z); 
5. Экспоненциальные и логарифмические:
6. ln(z) - натуральный логарифм,
7. log(z) - десятичный логарифм;
8. Cтатистические функции: 
9. mean(x) - среднее значение, 
10. var(x) - дисперсия, 
11. stdev(x) - среднеквадратическое отклонение,
12. cnorm(x)- функция нормального рапределения,
13. erf(x) - функция ошибки; 
14. Функции Бесселя;
15. Функции комплексного переменного;
16. Преобразование Фурье;
17. Корреляционная функция - позволяет рассчитывать коэффициент корреляции двух векторов и определить уравнение линейной регрессии;
18. Линейная интерполяция;
19. Функция для определения корней алгебраических и трансцендентных уравнений:
20. root(уравнения, переменная) - значение переменной, когда уравнение равно нулю;
21. Датчик случайных  чисел;
22. Целая часть переменной;
23. Функция условного перехода:
24. Функции, определяемые пользователем. Пользователь может самостоятельно определить необходимые ему функции, отсутствующие среди встроенных функций пакета.  

 

Таким образом, MathCAD – это мощный текстовый редактор для ввода и редактирования, как текста, так и формул, вычислительный процессор – для проведения расчетов согласно введенным формулам и символьный процессор, являющийся, по сути, системой искусственного интеллекта. Сочетание этих компонентов создает удобную вычислительную среду для разнообразных математических расчетов и документирования результатов работы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Описание индивидуальных заданий 
с анализом их решения

 

 

Задание 1 (ИДЗ 2.2-3.27)

 

Даны три силы P, Q, R, приложенные к точке А.

P = (4, -2, 3), Q = (-2, 5, 6), R = (7, 3, -1),

A(- 3, -2, 5), B(9, -5, 4).

Вычислить:

а) работу, производимую равнодействующей этих сил, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку B;

б) величину момента равнодействующей этих сил относительно точки В.

 

Решение:

 

а) Так как  , – результирующая всех сил,

 

, то находим работу равнодействующих  сил 

 

;

б) Момент силы , . Находим векторное произведение:

Тогда момент равнодействующей этих сил равен:

.

 

Ответ: ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2 (ИДЗ 6.4-2.9)

 

Провести полное исследование функции и построить ее график.

 

Решение:

 

1.Область определения  функции  , т.к. функция при > 0 .

2.Так как  при , то график функции проходит через начало координат.

3.Функция принимает положительные значения в интервале и отрицательные в интервале .

4. Функция определена  на всей числовой прямой, следовательно,  вертикальных асимптот нет. Найдем наклонные асимптоты:

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид: y = kx+b .

Исследуем поведение функции при :

если существуют конечные пределы 

 и 

то прямая y = kx+b - наклонная асимптота графика функции f(x)

при (если к = 0, т.е. ,то y=b- горизонтальная асимптота).

 

 

Следовательно, наклонных  асимптот нет.

5. Так как  , то функция не является ни четной, - функция не является ни нечетной.

6. Исследуем функцию  на монотонность:

;

 

 

  ; - критическая точка.

 

 

 

x		1
y¢	+	0	+
y	ä	0.3	ä

 

 

 

 

 

 

7. Исследуем график  функции на выпуклость, вогнутость  и определим точки перегиба. Для  этого найдем вторую производную функции:

 

 

; .

 

x		1
y¢	-	0	+
y		0.3

 

 

 

 

 

 

График функции имеет  вид:

 

 

 

 

 

 

Задание 3 (ИДЗ 8.1-2.9)

 

Найти неопределенный интеграл (результаты интегрирования проверить дифференцированием).

 

 

Решение:

 

Проинтегрируем функцию:

 

Проверим полученный результат дифференцированием:

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 4 (ИДЗ 9.3-3.19)

 

       Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры Ф, ограниченной кривыми и .

 

Решение:

 

Координаты центра масс данной фигуры найдем по формулам:

; .

 

 

Фигура ограничена снизу  линией , а сверху - , т.е. .

Найдем точки пересечения  графиков функции  и . Для этого приравняем функции и :