Теория многогранников

§ 10. Теорема Коши о многоугольниках

Теорема о многоугольниках (Коши). Пусть =A₁... A_n и =B₁... B_n – два выпуклых многоугольника (плоских или сферических) с одним и тем же числом вершин. Пусть, далее, выполнены условия:

1) все стороны, кроме A_nA₁ и B_nB₁, соответственно равны:

A₁A₂=B₁B₂, ..., A_n-1A_n =B_n-1B_n;

2) углы между этими сторонами  у первого многоугольника не  больше, чем у второго, т. е.   A₂ B₂, ..., A_n-1 B_n-1,

причём хотя бы в одном случае имеет место строгое неравенство.

Тогда сторона A_nA₁ первого многоугольника меньше, чем сторона B_nB₁ второго: A_nA₁<B_nB₁.

Доказательство проведём методом индукций по числу сторон. Пусть число сторон n равно 3. Теорема сводится к следующему: если у двух треугольников две стороны одного равны двум сторонам другого (A₁A₂=B₁B₂ и A₂A₃=B₂B₃), а углы, заключённые между ними, не равны, то третья сторона больше там, где больше угол. Для плоских треугольников эта теорема имеется в учебниках, для сферических треугольников она доказывается дословно так же. Предположим, что теорема верна для (n-1)-угольников. Докажем её для n-угольников (n>3). Пусть n-угольники и удовлетворяют условиям теоремы. Имеются две возможности:

1) все углы A₂, ..., A_n-1 строго меньше соответствующих углов B₂, ......, B_n-1;

2) среди этих углов имеются  равные, скажем  A_k= B_k.

Докажем теорему сначала во втором случае: A_k= B_k. Проведём диагонали A_k-1A_k+1 и B_k-1B_k+1 (рис. 6). Они отсекают от многоугольников треугольники T и T' соответственно. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. У многоугольников Q и Q', остающихся после отсечения равных треугольников T и T', соответственные стороны равны: стороны A_k-1A_k+1 и B_k-1B_k+1 равны из-за равенства треугольников T и T'. Углы в многоугольнике Q при вершинах A_k-1 и A_k+1 не больше, чем углы в Q' при соответствующих вершинах B_k-1 и B_k+1. Углы при остальных вершинах в Q и Q' такие же, как и соответствующие углы в и . Итак, многоугольники Q и Q' удовлетворяют тем же условиям, а вершин у них на одну меньше. По предположению индукции, теорема для них верна. Поэтому A_nA₁<B_nB₁. Предположим теперь, что все углы A₂, ..., A_n-1 многоугольника строго меньше соответствующих углов . Возьмём вершину A_k выпуклого многоугольника (k 1, k n) и проведём хорды A₁A_k и A_nA_k. Многоугольник разбивается, вообще говоря, на два многоугольника Q и R и треугольник T (рис. 7, а). Один из многоугольников Q или R может вырождаться в отрезок.

Будем непрерывно изменять треугольник T, увеличивая его угол при вершине A_k и сохраняя длины его сторон A₁A_k и A_nA_k. Лежащая против увеличивающегося угла сторона A₁A_n увеличивается, так что после деформации сторона A''₁A''_n будет длиннее A₁A_n. При этой деформации многоугольники Q и R перемещаются как жёсткое целое. Увеличим угол A_k до величины B_k. Тогда в деформированном многоугольнике '' (рис. 7, б) A''₂< B₂, ..., A''_n-1< B_n-1, за исключением угла A''_k, который равен B_k.

Случай 1) сводится к уже рассмотренному случаю 2), согласно которому B₁B_n>A''₁A''_n>A₁A_n. На этом доказательство теоремы о многоугольниках, данное Коши, заканчивалось.