Теория многогранников

Сегодня можно с уверенностью сказать, что расстояния между планетами  не связаны ни с какими многогранниками. Впрочем, возможно, что без "Тайны  мироздания", "Гармонии мира" И. Кеплера, правильных многогранников не было бы трех знаменитых законов И. Кеплера, которые играют важную роль в описании движения планет.

Где еще можно увидеть эти  удивительные тела? В очень красивой книге немецкого биолога начала нашего века Э. Геккеля "Красота форм в природе" можно прочитать  такие строки: "Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят  все созданные искусством человека формы". Создания природы, приведенные  в этой книге, красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии.

Правильные многогранники встречаются  так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр. Большинство феодарий живут на морской  глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Оно больше похоже на звёздчатый многогранник. Из всех многогранников с тем же числом граней икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Чем же вызвана такая природная геометризация? Может быть, тем, что из всех многогранников с таким же количеством граней именно икосаэдр имеет наибольший объем и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление водной толщи.

Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр. Его геометрические свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию. Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется.

Наука геометрия возникла из практических задач, ее предложения выражают реальные факты и находят многочисленные применения. Геометрия появляется всюду, где нужна хотя бы малейшая точность в определении формы и размеров. Формы многогранников используются в архитектурных проектах. Идет это с глубокой древности. Пирамида – это норма тектоники – внутреннего устройства каменных зданий прошлого. Силуэты каменных церквей и соборов, как правило, вписываются в форму пирамиды.

Великая пирамида была построена как  гробница Хуфу, известного грекам как  Хеопс. Он был одним из фараонов, или царей древнего Египта, а его  гробница была завершена в 2580 году до н.э. Позднее в Гизе было построено  еще две пирамиды, для сына и  внука Хуфу, а также меньшие  по размерам пирамиды для их цариц.

В III веке до н.э. был построен Александрийский маяк, чтобы корабли могли благополучно миновать рифы на пути в александрийскую бухту. Ночью им помогало в этом отражение языков пламени, а днем - столб дыма. Это был первый в мире маяк, и простоял он 1500 лет. Фаросский маяк состоял из трех мраморных башен, стоявших на основании из массивных каменных блоков. Первая башня была прямоугольной, в ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню. Верхняя башня формой напоминала цилиндр, в котором горел огонь, помогавший кораблям благополучно достигнуть бухты. На вершине башни стояла статуя Зевса Спасителя. Общая высота маяка составляла 117 метров. Силуэты этих здании вписываются в формы многогранников.

 

Глава II. Теоремы общей теории выпуклых многогранников

 

§ 5. Доказательство теоремы Эйлера

 

Эйлер (Euler) Леонард (1707-1783), математик, механик, физик  и астроном. По происхождению швейцарец. В 1726 был приглашен в Петербургскую  АН и переехал в 1727 в Россию. Был  адъюнктом (1726), а в 1731-1741 и с 1766 академиком Петербургской АН (в 1742-1766 иностранный почетный член). В 1741-1766 работал в Берлине, член Берлинской АН. Эйлер — ученый необычайной широты интересов и творческой продуктивности. Автор более 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и других, оказавших значительное влияние на развитие науки.

В 1620 году Рене Декарт показал, что сумма углов всех граней многогранника равна одновременно 360º (Р — Г) и 360º (В — 2). Из этого непосредственно следует утверждение теоремы. В 1750 году Леонард Эйлер доказал тождество для выпуклых многогранников. Теорема Эйлера заложила фундамент нового раздела математики — топологии. Более строгое доказательство дал Коши в 1811 г.

Теорема Эйлера: Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение Г+В-Р=2, где Г – число граней, В – число вершин и Р – число ребер данного многогранника.

Доказательство  теоремы, связанное с нахождением  суммы плоских углов выпуклого  многогранника:

Обозначим эту сумму, как  . Напомним, что плоскими углами многогранника являются внутренние плоские углы его граней. Например, найдем для таких многогранников:

а) тетраэдр имеет 4 грани – все треугольники. Таким образом, ;

б) куб имеет 6 граней – все квадраты. Таким  образом, ;

в) возьмем  теперь произвольную пятиугольную призму. У нее две грани – пятиугольники  и пять граней – параллелограммы. Сумма углов выпуклого пятиугольника  равна  . Сумма углов параллелограмма равна . Таким образом, .

Итак, для  нахождения мы вычисляли сначала сумму углов, принадлежащих каждой грани. Воспользуемся этим приемом и в общем случае.

Введем следующие  обозначения: , , …, - число сторон в 1, 2, 3-й и т.д. последней грани многогранника.

Тогда

Далее найдем общее число сторон всех граней многогранника. Оно равно  . Так как каждое ребро многогранника принадлежит двум граням, имеем: .

Таким образом, получаем:

      (1)

Сосчитаем теперь другим способом. Для этого будем менять форму многогранника таким образом, что бы у него не менялось число Г, В и Р. При этом может измениться каждый плоский угол в отдельности, но число останется прежним. Выберем такое преобразование многогранника: примем одну из его граней за основание, расположим его горизонтально и «растянем» для того, чтобы на него можно было спроектировать другие грани многогранника. Например, на рисунке 1а показано, к чему мы придем, в случае тетраэдра, а на рисунке 1б – в случае куба.

 

 

 

 

 

Заметим, что спроектированный многогранник представляет слившиеся две наложенные друг на друга пластины с общим  контуром, из которых верхняя разбита  на (Г-1) многоугольник, а нижняя на грани  не делится. Обозначим число сторон внешнего окаймляющего многоугольника через r. Теперь найдем спроектированного многоугольника. состоит из следующих трех сумм:

1. Сумма углов нижней грани, у которой r сторон, равна .
2. Сумма углов верхней пластины, вершинами которых являются вершины нижней грани, тоже равна .
3. Сумма «внутренних» углов верхней пластины равна , так как верхняя пластина имеет внутренних вершин и все углы группируются около них.

Итак,       (2)

Таким образом, сравнивая выражения (1) и (2), получаем: Г+В-Р=2, что и требовалось доказать.

 

§ 6. Теорема Эйлера и правильные многогранники

 

С помощью  теоремы Эйлера мы можем получить ответ на вопрос: какие правильные многогранники могут существовать?

Пусть количество ребер правильного многогранника, выходящих из одной вершины равно  m, а гранями являются правильные n-угольники. Выразим входящие в формулу Эйлера величины В и Г через Р, m, n, где n и m – целые числа и m≥3, n≥3.

Так как каждое ребро соединяет две вершины, и к каждой вершине сходятся m ребер, то 2Р=Вm. Тогда .

Так как каждое ребро многогранника содержится в двух гранях, то Гn=2Р, тогда . Подставляя полученные выражения для Г и В в формулу Эйлера Г+В-Р=2, получаем .

Поделив обе  части равенства на 2Р, получим       (1)

По смыслу ни m, ни n не могут быть меньше 3. Решим уравнение (1) при m=3 и найдем допустимые значения n.

  отсюда:    (2)

Т.к. Р>0, то из (2) следует, что n≤5. Т.е., получаем, что 3≤n≤5.

Таким образом, если в каждой вершине многогранника  сходятся 3 ребра, то теорема Эйлера разрешает существование следующих  правильных многогранников:

1. m=3, n=3, P=6, Г=4 – тетраэдр
2. m=3, n=4, P=12, Г=6 – куб
3. m=3, n=5, P=30, Г=12 – додекаэдр.

Если уравнение (1) решим при n=3, то аналогично получим: 3≤m≤5, т.е. допускается существование следующих правильных многогранников:

1. m=3, n=3, P=6, Г=4 – тетраэдр
2. m=4, n=3, P=12, Г=8 – октаэдр
3. m=5, n=3, P=30, Г=20 – икосаэдр.

Таким образом, из теоремы Эйлера вытекает невозможность  существования иных правильных многогранников, кроме тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра.

 

§ 7. Обобщённая теорема Эйлера

 

В=42 Г=5   Р=41 k=5	В=14 Г=2  Р=11 k=4
В-Р+Г=k+1
Рис. 2.

В действительности нам понадобится  соответствующая формула Эйлера не для выпуклого многогранника, а для графа, составленного лишь из части рёбер выпуклого многогранника. Рассмотрим на плоскости (или на сфере) граф, состоящий из В вершин, Р рёбер – отрезков (или дуг больших окружностей в случае сферы), соединяющих вершины этого графа. Мы предполагаем, что любые два ребра графа не пересекаются и могут иметь лишь общие вершины. Этот граф разбивает плоскость (или сферу) на некоторое число Г областей, так что от любой точки области можно пройти к любой другой точке этой же области, не пересекая рёбра графа. Сам граф может состоять из k связных компонент. Связная компонента состоит из всех рёбер и вершин графа, таких, что любые две вершины компоненты можно соединить ломаной, состоящей из рёбер этой компоненты. На рис. 23 показаны примеры графов, слева – на плоскости, справа – на сфере. Легко проверить, что в обоих случаях имеет место равенство В-Р+Г=k+1. Следующая теорема является обобщением теоремы Эйлера:

Обобщённая теорема Эйлера. Для графа, состоящего из В вершин, Р рёбер, k компонент и разбивающего плоскость (или сферу), на которой он лежит, на Г областей, выполняется равенство: В-Р+Г=k+1.

Рассмотрим пару примеров, иллюстрирующих эту теорему. Если в графе нет  ни одного ребра и имеются только В вершин, то Р=0, Г=1, k=В и В-Р+Г=k-0+1=k+1.

Рис. 3.

Другой пример. Возьмём выпуклый многогранник, например куб, и из точки, лежащей внутри его, спроецируем  вершины, рёбра и грани этого  многогранника на сферу с центром  в центре проектирования (рис. 3) соответственно в вершины, рёбра графа и области, на которые разбивается сфера рёбрами графа. Для полученного графа на сфере k=1. В этом случае обобщённая теорема есть по существу теорема Эйлера для выпуклых многогранников.

Докажем обобщённую теорему. Пусть  в графе имеется концевая вершина: так мы будем говорить о вершине, из которой выходит только одно ребро  графа. Рассмотрим две возможности: второй конец этого ребра принадлежит  ещё одному ребру или второй конец принадлежит лишь этому ребру.

Рассмотрим сначала второй случай. Удалим ребро и обе его вершины. При этом число областей Г не изменится, число вершин В уменьшится на 2, число рёбер Р и число компонент k уменьшатся на 1 каждое. Величина В-Р+Г-k не изменится. В первом случае удалим ребро и лишь одну его вершину --- концевую. При этом число областей Г опять не изменится, число вершин В и число рёбер Р уменьшатся на 1 каждое, число компонент k не изменится. В итоге величина В-Р+Г-k не изменится.

Пусть в нашем графе нет концевых вершин, т. е. из каждой вершины выходит, по крайней мере, два ребра. Тогда  из рёбер графа можно составить  замкнутый несамопересекающийся путь. Такой путь разбивает плоскость (или сферу) на две связные части. Выбросим из этого пути одно ребро. Тогда числа В и k не изменятся, число Р уменьшится на 1. Уменьшится на 1 также и число Г, так как две области, смежные по этому ребру, теперь объединятся в одну область. Поэтому при удалении ребра из замкнутого пути величина В-Р+Г-k также не изменится.

Таким образом, мы можем удалить  из графа все рёбра, при этом не изменяя величины В-Р+Г-k. А для графа, не содержащего ни одного ребра, но состоящего из В вершин, как мы видели выше, Р=0, В=k, Г=1. Следовательно, В-Р+Г=k+1. Обобщённая теорема Эйлера доказана.

 

§ 8. Некоторые задачи на применение теоремы Эйлера

 

Линия с концами в двух данных точках мы будем называть дугой, соединяющей эти точки, в том случае, если эту линию можно пройти, не побывав ни в одной из её точек дважды.

Теорема Эйлера. Пусть на плоскости задано m точек и n попарно непересекающихся дуг, каждая из которых соединяет какие-либо две данные точки и не проходит через остальные m–2 точки, и пусть эти дуги делят плоскость на l областей. Если из каждой данной точки в любую из остальных можно попасть, двигаясь по этим дугам, то