Теория многогранников

Теорема (существования) Минковского (1896): существует выпуклый многогранник с любыми площадями граней и любыми направлениями внешних нормалей к ним, лишь бы сумма векторов, имеющих направления нормалей и длины, равные площадям соответствующих граней, была равна нулю и эти векторы не лежали бы все в одной плоскости. Эти условия необходимы.

Теорема (единственности) Минковского (1896): выпуклый многогранник вполне определяется площадями своих граней и направлениями внешних нормалей к ним; и углубляющая её теорема (единственности) А. Д. Александрова: два выпуклых многогранника с попарно параллельными гранями не равны друг другу только в том случае, если для одной из пар параллельных граней с одинаково направленными внешними нормалями одна из этих граней может быть при помощи параллельного переноса вложена в другую.

Теорема Штейница (1917): существует выпуклый многогранник с любой наперёд заданной сеткой. При этом сеткой выпуклого многогранника называют сетку, составленную его ребрами. Два многогранника принадлежат к одному и тому же типу, если топологически тождественны сетки их рёбер, т. е. если один из них отличается от другого лишь длиной своих рёбер и величиной углов между ними. Сетку рёбер выпуклого многогранника можно спроектировать на плоскость из внешней точки, весьма близкой к внутренней точке какой-либо его грани. Сама эта грань проектируется тогда в виде внешнего выпуклого многоугольника, а все остальные — в виде малых выпуклых многоугольников, которые его заполняют, не налегая друг на друга, и смежны друг с другом целыми сторонами. Тип сетки рёбер многогранника при таком проектировании не меняется.

 

§ 4. Определение правильного многогранника

 

История правильных многогранников уходит в  глубокую древность. Правильными многогранниками  были заинтересованы Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях: первоосновам бытия - огню, земле, воздуху, воде придавалась форма соответственно тетраэдра, куба, октаэдра, икосаэдра, а вся Вселенная имела форму додекаэдра. Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться платоновыми телами.

Правильным  многогранником  называется  выпуклый   многогранник,   грани которого – равные правильные многоугольники,  а  двугранные  углы  при  всех вершинах равны между собой. Доказано, что в  каждой  из  вершин  правильного многогранника сходится одно и то же число  граней  и  одно  и  то  же  число ребер. Правильный многогранник или платоново тело — это выпуклый многогранник с максимально возможной симметрией.

Многогранник называется правильным, если:

1) Он выпуклый;

2) Все его грани являются равными правильными многоугольниками;

3) В каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.

Существует всего пять правильных многогранников:

 

Изображение	Тип правильного многогранника	Число сторон у грани	Число рёбер, примыкающих к вершине	Общее число вершин	Общее число рёбер	Общее число граней
	Тетраэдр	3	3	4	6	4
	Гексаэдр или Куб	4	3	8	12	6
	Октаэдр	3	4	6	12	8
	Додекаэдр	5	3	20	30	12
	Икосаэдр	3	5	12	30	20

Название каждого многогранника  происходит от греческого названия количества его граней и слова "грань". Тетраэдр имеет 4 грани, в переводе с греческого "тетра" - четыре, "эдрон" - грань. гексаэдр (куб) имеет 6 граней, "гекса" - шесть; октаэдр - восьмигранник, "окто" - восемь; додекаэдр - двенадцатигранник, "додека" - двенадцать; икосаэдр имеет 20 граней, "икоси" - двадцать.

Правильным многогранником называется многогранник, у которого все грани  правильные равные многоугольники, и  все двугранные углы равны. Но есть и такие многогранники, у которых  все многогранные углы равны, а грани - правильные, но разноименные правильные многоугольники. Многогранники такого типа называются равноугольно-полуправильными  многогранниками. Впервые многогранники  такое типа открыл Архимед. Им подробно описаны 13 многогранников, которые  позже в честь великого ученого  были названы телами Архимеда. Это  усеченный тетраэдр, усеченный оксаэдр, усеченный икосаэдр, усеченный куб, усеченный додекаэдр, кубооктаэдр, икосододекаэдр, усеченный кубооктаэдр  усеченный икосододекаэдр, ромбокубооктаэдр, ромбоикосододекаэдр, "плосконосый" (курносый) куб, "плосконосый" (курносый) додекаэдр.

Кроме полуправильных многогранников из правильных многогранников - Платоновых тел, можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре, они называются также телами Кеплера-Пуансо. Кеплер открыл малый додекаэдр, названный  им колючим или ежом, и большой додекаэдр. Пуансо открыл два других правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр.

Комбинаторные свойства:

- Эйлером была выведена формула, связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника простым соотношением: В + Г = Р + 2.

- Отношение количества вершин правильного многогранника к количеству рёбер одной его грани равно отношению количества граней этого же многогранника к количеству рёбер, выходящих из одной его вершины. У тетраэдра это отношение равно 4:3, у гексаэдра и октаэдра — 2:1, а у додекаэдра и икосаэдра — 4:1.

- Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли {p, q}, где:

p — число сторон каждой грани;

q — число рёбер, сходящихся в каждой вершине.

Символы Шлефли для правильных многогранников приведены в следующей таблице:

Многогранник		Вершины	Рёбра	Грани	Символ Шлефли
тетраэдр		4	6	4	{3, 3}
куб		8	12	6	{4, 3}
октаэдр		6	12	8	{3, 4}
додекаэдр		20	30	12	{5, 3}
икосаэдр		12	30	20	{3, 5}

 

- Другой комбинаторной характеристикой многогранника, которую можно выразить через числа p и q, является общее количество вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г). Поскольку любое ребро соединяет две вершины и лежит между двумя гранями, выполняются соотношения:

Из этих соотношений  и формулы Эйлера можно получить следующие выражения для В, Р  и Г:

Геометрические свойства:

Радиусы, площади и объёмы

С каждым правильным многогранником связаны  три концентрические сферы:

• Описанная сфера, проходящая через вершины многогранника;
• Срединная сфера, касающаяся каждого его ребра в середине;
• Вписанная сфера, касающаяся каждой его грани в её центре.

Радиусы описанной (R) и вписанной (r) сфер задаются формулами:

  

где θ - двугранный угол между смежными гранями многогранника.

Радиус срединной  сферы задаётся формулой:   где h принимает значения 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно. Отношения описанных радиусов к вписанным радиусам симметрично относительно p и q:

Площадь поверхности S правильного многогранника {p, q} вычисляется, как площадь правильного p-угольника, умноженная на число граней Г:

Объём правильного многогранника вычисляется, как умноженный на число граней объём правильной пирамиды, основанием которой служит правильный p-угольник, а высотой — радиус вписанной сферы r:

Приведённая таблица содержит список различных радиусов, площадей поверхностей и объёмов правильных многогранников. Значение длины ребра a в таблице  приравнены к 2.

Многогранник  (a = 2)	Радиус вписанной сферы (r)	Радиус срединной сферы (ρ)	Радиус описанной сферы (R)	Площадь поверхности (S)	Объём (V)
тетраэдр
куб
октаэдр
додекаэдр		φ2
икосаэдр			ξφ

Константы φ и ξ задаются выражениями

§ 5. Многогранники в повседневной жизни

Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. "Правильных многогранников вызывающе мало, - написал  когда-то Л. Кэролл, - но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных  наук".

Правильные многогранники –  самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьмянистый сернокислый натрий – вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьмянистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник – икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.

Алмаз (октаэдр)

Шеелит (пирамида)

Хрусталь (призма)

Поваренная соль (куб)

Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может  быть совершенно круглым, как считалось  ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр.

Важное место занимали правильные многогранники в системе гармоничного устройства мира И. Кеплера. Все та же вера в гармонию, красоту и математически  закономерное устройство мироздания привела  И. Кеплера к мысли о том, что  поскольку существует пять правильных многогранников, то им соответствуют  только шесть планет. По его мнению, сферы планет связаны между собой  вписанными в них платоновыми  телами. Поскольку для каждого  правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором будет находиться Солнце.

Проделав огромную вычислительную работу, в 1596 г. И. Кеплер в книге "Тайна  мироздания" опубликовал результаты своего открытия. В сферу орбиты Сатурна он вписывает куб, в куб - сферу Юпитера, в сферу Юпитера - тетраэдр, и так далее последовательно  вписываются друг в друга сфера  Марса - додекаэдр, сфера Земли - икосаэдр, сфера Венеры - октаэдр, сфера Меркурия. Тайна мироздания кажется открытой.