Теория многогранников

Глава I. Теория многогранников

§ 1. Историческая справка

Правильные  многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно  найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Первые  упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей  эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них –  пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат  со стороной 233 м и высота которой  достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что  пирамида Хеопса – немой трактат  по геометрии.

История правильных многогранников уходит в  глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры, в Древней Греции создаются философские школы. Большое  значение в этих школах приобретают  рассуждения, с помощью которых  удалось получать новые геометрические свойства. Одной из первых и самых  известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики – это правильный невыпуклый или  звездчатый пятиугольник. Пентаграмме  присваивалось способность защищать человека от злых духов.

Пифагорейцы полагали, что материя состоит  из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование  пяти правильных многогранников они  относили к строению материи и  Вселенной. Согласно этому мнению, атомы  основных элементов должны иметь  форму различных тел:

• Вселенная - додекаэдр
• Земля - куб
• Огонь - тетраэдр
• Вода - икосаэдр
• Воздух - октаэдр

Тетраэдр  символизировал огонь, т.к. его вершина  устремлена вверх; икосаэдр - воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр - воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным.

Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники  стали называться платоновыми телами. Платон писал о них в своём  трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». Аристотель добавил пятый элемент — эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.

Открытие тринадцати полуправильных выпуклых многогранников приписывается  Архимеду, который впервые перечислил их в недошедшей до нас работе. Ссылки на эту работу имеются в трудах математика Паппа.

Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал. Предложения 13—17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке. Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников. Андреас Шпейзер отстаивал точку зрения, что построение пяти правильных многогранников является главной целью дедуктивной системы геометрии в том виде, как та была создана греками и канонизирована в «Началах» Евклида^[1]. Большое количество информации XIII книги «Начал», возможно, взято из трудов Теэтета.

В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. В «Тайне мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо).

§ 2. Определение многогранников

Многогранник или полиэдр — поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающих некоторое геометрическое тело, которое также иногда называется многогранником. Следовательно, многогранником называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников.

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет  до нашей эры в Египте и Вавилоне. Но теория многогранников является и  современным разделом математики. Она  тесно связана с топологией, теорией  графов, имеет большое значение как  для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например, в алгебре, теории чисел, прикладной математики - линейном программировании, теории оптимального управления.

Многогранники имеют красивые формы, например, правильные, полуправильные и звездчатые многогранники. Они  обладают богатой историей, которая  связана с именами таких ученых, как Пифагор, Евклид, Архимед. Многогранники  выделяются необычными свойствами, самое  яркое из которых формулируется  в теореме Эйлера о числе граней, вершин и ребер выпуклого многогранника: для любого выпуклого многогранника  справедливо соотношение Г+В-Р=2, где Г-число граней, В-число вершин, Р-число ребер данного многогранника. Теорему Эйлера историки математики называют первой теоремой топологии - крупного раздела современной математики.

С древнейших времен наши представления  о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес  человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей.

Многогранник – это тело или  поверхность? Одни считают, что многогранник – это поверхность, состоящая  из плоских граней. Другие утверждают, что многогранник – это трехмерное тело, ограниченное плоскими многоугольниками. Правы и те, и другие – все  зависит от контекста. Для столяра, сколачивающего ящик из шести фанерных прямоугольников, параллелепипед – это поверхность. А для каменщика, возводящего кирпичную стену, параллелепипед – это, наверное, тело. В этой работе многогранник будет рассматриваться в основном как поверхность.

Многогранником называется множество  плоских выпуклых многоугольников  – граней, расположенных в пространстве так, что

1) Каждая сторона любого многоугольника  является стороной в точности  еще одного многоугольника из  множества плоских выпуклых многоугольников (эта сторона, общая для двух многоугольников, называется ребром);

2) от каждого многоугольника из множества плоских выпуклых многоугольников к любому другому можно пройти по цепочке многоугольников, в которой каждые два последовательных многоугольника являются смежными по общей стороне;

3) если два многоугольника имеют  общую вершину, то такую цепочку  можно составить из многоугольников,  сходящихся в этой вершине. 

Многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а их вершины — вершинами многогранника. Грани многогранника являются многоугольниками, понимаемыми как части плоскости, ограниченные ломаными. С этой точки зрения многогранник есть поверхность, составленная из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое также называется многогранником; отсюда возникает третья точка зрения на многогранник как на геометрические тела, причём допускается также существование у этих тел «дырок», т. е. — что эти тела не односвязаны.

Основываясь на определении многогранника, можно указать четыре правильных невыпуклых многогранника (т. н. тела Пуансо), впервые найденных французским математиком Л. Пуансо в 1809. Доказательство несуществования других невыпуклых правильных многогранников дал французский математик О. Коши в 1811. В этих многогранниках либо грани пересекают друг друга, либо сами грани — самопересекающиеся многоугольники. Для изучения вопросов, связанных с площадями поверхностей и объёмами таких многогранников, удобно определять многогранник как поверхность, состоящую из плоских граней.

Если у многогранника можно так ориентировать грани, чтобы каждое ребро в тех двух гранях, которые смежны по этому ребру, имело бы обратные направления, то его называют ориентируемым, в противном случае — неориентируемым. Для ориентируемого многогранника (даже если он самопересекающийся и его грани — самопересекающиеся многоугольники) можно ввести понятия площади поверхности и величины объёма. Площадью ориентируемого многогранника называют просто сумму площадей его граней. Для определения объёма надо заметить, что совокупность внутренних кусков граней многогранника разрезает пространство на определённое число связных кусков, из которых один по отношению к многограннику бесконечный (внешний), а остальные конечные (внутренние). Если из внешней по отношению к многограннику точки провести отрезок в какую-либо внутреннюю точку внутреннего куска, то сумму «коэффициентов» тех внутренних кусков граней многогранника, которые пересечёт этот отрезок, называют коэффициентом рассматриваемого внутреннего куска многогранника (она не зависит от выбора внешней точки О). Такой коэффициент есть целое положительное, отрицательное число или нуль. Сумму обычных объёмов всех внутренних кусков многогранника, умноженных на эти их коэффициенты, называют объёмом многогранника.

Можно рассматривать и n-мерные многогранники. Некоторые из указанных определений и теорем имеют n-мерное обобщение. В частности, найдены все выпуклые правильные многогранники; при n = 4 их оказалось 6, а при всех больших n всего три: обобщение тетраэдра, куба и октаэдра.  

§ 3. Определение выпуклого многогранника

Многогранник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой его грани; тогда грани его тоже выпуклы. Выпуклый многогранник разрезает пространство на две части — внешнюю и внутреннюю. Внутренняя его часть есть выпуклое тело. Обратно, если поверхность выпуклого тела многогранная, то соответствующий многогранник — выпуклый.

Важнейшие теоремы общей теории выпуклых многогранников (рассматриваемых как поверхности) следующие:

Теорема Эйлера (1758): число вершин минус число рёбер плюс число граней выпуклого многогранника равно двум: в – р + г = 2. (эйлерова характеристика многогранника)

Теорема Коши (1812) (в современной форме): если два выпуклых многогранника изометричны друг другу (т. е. один многогранник может быть взаимно однозначно отображён на другой многогранник с сохранением длин лежащих на нём линий), то второй многогранник может быть получен из первого движением его как жёсткого целого (или движением и зеркальным отражением). Отсюда, в частности, следует, что если грани выпуклого многогранника жестки, то он сам жёсток, хотя бы его грани были скреплены друг с другом по ребрам шарнирно. Это предполагал верным ещё Евклид и знает всякий, клеивший картонные модели многогранника, но доказал Коши только через 2000 лет после Евклида.

Теорема А. Д. Александрова (1939): если взять конечное число плоских выпуклых многоугольников (сделанных, например, из бумаги) и указать, какую сторону какого из них с какой стороной какого другого мы будем склеивать (склеиваемые стороны, конечно, должны быть одинаковой длины), т. е. если рассмотреть развёртку (выкройку) многогранника, то для того, чтобы так склеенную замкнутую поверхность можно было, соответственно расправив (т. е. изогнув, если нужно, но не растягивая, не сжимая, не разрывая и больше не склеивая), превратить в поверхность выпуклого многогранника, необходимо и достаточно, чтобы: а) удовлетворялось условие Эйлера в — р + г = 2 и б) чтобы сумма плоских углов, сходящихся при склеивании в одной вершине, для любой вершины была меньше 360°. Эта теорема есть теорема существования, т. е. она показывает, с какими развёртками существуют выпуклые многогранники, а теорема Коши есть для неё теорема единственности, т. е. она показывает, что существует только один (с точностью до движения и отражения) выпуклый многогранник с такой развёрткой.