Фізичні величини та їхнє вимірювання

1. Фізичні величини та їхнє вимірювання

Властивості об’єктів матеріального  світу характеризують відповідними фізичними величинами.

Фізична величина – це властивість, яка якісно загальна для багатьох фізичних об’єктів, але кількісно індивідуальна для кожного об’єкта.

Значенням фізичної величини називають оцінку фізичної величини за допомогою певного числа прийнятих для неї одиниць.

Одиниця фізичної величини – це фізична величина, якій за означенням надано числове значення, що дорівнює одиниці. Необхідно розрізняти істинне і дійсне значення фізичної величини.

Істинне значення фізичної величини – це таке значення величини, яке ідеально відображало б кількісно і якісно відповідну властивість об’єкта.

Дійсне значення фізичної величини – це значення величини, що визначене експериментальним шляхом і настільки наближається до істинного, що за умов конкретного експерименту може бути використане замість нього.

Вимірюванням називають знаходження значень фізичної величини дослідним шляхом із використанням спеціальних технічних засобів. Отже, вимірювання фізичної величини – це експериментальний процес, під час якого шляхом порівняння визначають, у скільки разів фізична величина відмінна від однорідної їй величини, що прийнята за одиницю. Вимірювання складається зі спостережень і математичного опрацювання отриманих результатів.

Спостереження під час вимірювання – це експериментальна операція, у результаті якої отримують одне із групи значень величин, що підлягають сумісному опрацюванню для отримання остаточного результату вимірювання. Залежно від способу отримання результатів вимірювання їх поділяють на прямі, посередні, сукупні й сумісні.

Прямі вимірювання – це такі, за яких шукане значення фізичної величини визначають безпосередньо з дослідних даних.

Посередні – це вимірювання, за яких шукане значення величини визначають на підставі відомої залежності між цією величиною і величинами, що підлягають прямим вимірюванням.

Сукупні – це одночасні вимірювання декількох однойменних значень величин, за яких шукане значення величини визначають за допомогою розв’язування системи рівнянь, отриманих внаслідок прямих вимірювань різних сполучень цих величин.

Сумісні – це вимірювання двох або декількох однойменних значень величин, що їх виконують одночасно для визначення залежностей між ними.

Результати вимірювань є продуктом нашого пізнання як наближена  оцінка значень величин, визначених шляхом спостережень. Вони залежать не тільки від самих величин, а й  від методів вимірювання, технічних  засобів вимірювань та властивостей органів відчуття спостерігача, який виконує вимірювання. Через недосконалість засобів вимірювання, а також унаслідок численних збурень, які можливі під час вимірювань, виміряне значення фізичної величини зазвичай відрізняється від його істинного значення , тобто має похибку.

Похибка вимірювання – це відхилення результату вимірювання від істинного значення вимірюваної величини. Похибку , виражену в одиницях вимірюваної величини, називають абсолютною, а виражену в частинах або відсотках від значення вимірюваної фізичної величини - відносною. Похибки вимірювань можуть бути зумовлені різними причинами. За характером зміни їх поділяють на систематичні, випадкові та промахи.

Систематичні похибки зумовлені дією незмінних за значенням і напрямом чинників. Вони можуть бути сталими або ж змінюватись за відомими законами. Систематичні похибки визначають шляхом використання для вимірювання фізичної величини кількох взаємно незалежних методів, які ґрунтуються на різних фізичних явищах, а також шляхом перевірки приладу за зразковим приладом  вищої точності. Систематичні похибки можна зменшити удосконаленням вимірювальних приладів, а також підвищуючи уважність експериментатора в процесі вимірювання.

Випадкові похибки – це похибки, які з’являються випадково (без будь-якої очевидної закономірності) під час повторних вимірювань тієї самої величини. Вони з’являються нерегулярно і з різною інтенсивністю. Випадкові похибки виникають унаслідок одночасної дії багатьох відомих та невідомих, залежних і незалежних причин. Вони можуть бути зумовлені як об’єктивними, так і суб’єктивними причинами: дією навколишнього середовища (наприклад, освітленням приладів, зміною температури в процесі вимірювання, змінами напруги в електричній мережі, повітряними течіями), недосконалістю наших органів чуття. Випадкові похибки не є сталими за абсолютним значенням та за знаком і тому їх не можна усунути введенням спеціальних сталих поправок. Випадкові похибки вимірювання підлягають статистичним закономірностям і тому їхнє значення можна оцінити.

Промахи (грубі похибки) – це похибки вимірювань, які сильно перевищують очікувану похибку за даних умов експерименту. Вони зумовлені неуважністю експериментатора, який неправильно зробив відлік або неправильно його записав. Під час підсумкової оцінки результатів вимірювання такі помилкові дані треба відкинути та виконати вимірювання вдруге.

У процесі вимірювання  всі зазначені вище види похибок  з’являються одночасно, тому загальна похибка вимірювань може бути виражена їх сумою.

2. Опрацювання  результатів прямих вимірювань

Завдання прямого вимірювання  полягає у визначенні середнього значення шуканої величини з урахуванням поправки на систематичну похибку, а також в обчисленні випадкової похибки , похибки приладу D_прX і заокруглення D_зX. Розраховані значення цих похибок дають змогу обчислити сумарну похибку прямого вимірювання DX яка, відповідно, визначає ширину надійного інтервалу .

Надійний  інтервал – це такий інтервал значень, у якому із заданою надійною імовірністю P міститься істинне значення вимірюваної фізичної величини. Отже, кінцевий результат прямого вимірювання повинен бути поданим у вигляді:

.

Розглянемо детальніше, як на практиці розраховують значення надійного інтервалу. Нехай внаслідок і-го спостереження величини отримано значення X_i. Якщо таких спостережень було n, то всю сукупність значень X_i  називають вибіркою об’єму n. Під дійсним значенням вимірюваної величини у цьому випадку розуміють середнє арифметичне значення вибірки

.

Випадковим відхиленням  результату і-го спостереження від середнього буде

.

Знаючи випадкові відхилення кількох спостережень, легко обчислити  вибіркове середнє квадратичне  відхилення результату спостереження (оцінка середнього квадратичного відхилення )

Кінцевою метою опрацювання  деяких вимірювань є отримання найвірогіднішого результату вимірювання (середнє вибіркове) і оцінка його похибки. Похибку результату вимірювання характеризує величина, яку називають вибірковим середнім квадратичним відхиленням середнього арифметичного або оцінкою середнього квадратичного відхилення середнього арифметичного (середня квадратична похибка вимірювання)

Ця величина характеризує розподіл середніх значень  , отриманих у різних вибірках.

Для визначення меж надійного інтервалу за малих значень n ( ) використовують закон розподілу випадкових похибок, запропонований Стьюдентом. З цією метою спочатку потрібно визначити і , а потім, вибравши потрібну надійну ймовірність P і користуючись табл. 1, визначити коефіцієнт Стьюдента t_pn. За цих умов випадкову похибку результату прямого вимірювання обчислюють за формулою

.

Таблиця 1

Коефіцієнти Стьюдента t_pn.

n	Надійна імовірність P
1	0,5	0,8	0,9	0,95	0,975	0,99	0,999
2	1,00	3,1	6,31	12,71	31,82	63,66	636,62
3	0,82	1,9	2,92	4,30	6,97	9,93	31,6
4	0,77	1,6	2,35	3,18	4,54	5,84	12,92
5	0,74	1,5	2,13	2,78	3,75	4,60	8,61
6	0,73	1,5	2,02	2,57	3,37	4,03	6,87
7	0,72	1,4	1,94	2,45	3,14	3,71	5,96
8	0,71	1,4	1,90	2,37	3,00	3,50	5,41
9	0,71	1,4	1,86	2,31	2,90	3,36	5,04
10	0,70	1,4	1,83	2,26	2,82	3,25	4,78

Похибка приладу. Похибку приладу визначають під час його випробування або перевірки, яку виконують метрологічні служби. Ця похибка безпосередньо пов’язана із класом точності приладу k, який зазначають у його паспорті або на шкалі. Класом точності вимірювального приладу називають виражене у відсотках відношення граничної похибки приладу Q_гр до максимального значення X_m, яке цей прилад може виміряти:

.

Граничною похибкою приладу Q_гр називають максимально допустиму похибку, яку дає прилад під час вимірювань за нормальних умов. Її обчислюють за класом точності приладу

.

У випадках, коли клас точності приладу  невідомий, приймають, що гранична похибка  дорівнює половині ціни поділки шкали  приладу:

Q_гр = 0,5 ціни поділки.

Оцінюючи випадкову похибку  приладу, потрібно враховувати, що вона випадковим чином розподілена у межах інтервалу значень, межі якого визначає гранична похибка приладу. Тому для заданої надійної імовірності P похибку приладу обчислюють як

,

де t_p – коефіцієнт, який визначають за надійною імовірністю P (див. табл. 2).

Таблиця 2

Надійна імовірність P для надійного  інтервалу, вираженого в частках  середнього квадратичного відхилення

tp	P	tp	P	tp	P
0,1	0,07966	1,6	0,89040	2,8	0,99489
0,5	0,38292	2,0	0,95450	3,0	0,99730
0,7	0,51607	2,2	0,97219	3,5	0,0,99953
1,0	0,68269	2,4	0,98360	4,0	0,99994
1,3	0,80640	2,6	0,99068	4,5	0,99999

Похибка заокруглення. Під час опрацювання результатів експерименту часто доводиться вдаватись до заокруглень числових значень, отриманих у процесі обчислень та вимірювань. Операція заокруглення робить свій внесок у сумарну похибку, який необхідно враховувати.

У таких випадках, коли відліки  показів приладу заокруглюють до цілих значень або часток поділок (лінійка, мікрометр, електровимірювальний прилад тощо), а також під час  користування ноніусом або цифровими приладами виникає випадкова похибка заокруглення, яка має звичайний рівномірний розподіл. За цих умов, якщо немає систематичних похибок, то максимальна похибка не перевищує h/2, де h – це інтервал заокруглення. Інтервал заокруглення h може дорівнювати ціні поділки приладу, якщо відлік беруть з точністю до цілих поділок, або половині ціни поділки, якщо відліки заокруглюють до половини ціни поділки.

Похибкою заокруглення називають  величину, яку обчислюють за формулою

,

де Р – задана надійна імовірність.

Отже, під час виконання лабораторних робіт потрібно враховувати три  типи похибок: випадкову  , похибку приладу і похибку заокруглення . Сумарну похибку досліду визначають “квадратичним сумуванням”:

.

Для оцінки точності вимірювань уводять  поняття відносної похибки  :

,

яку, зазвичай, виражають у відсотках.

Під час обчислення сумарної похибки можна нехтувати будь-якою із її складових, якщо її значення утричі менше від будь-якої іншої похибки. Це правило іноді називають “правилом трьох сигм”.

У випадках, коли під час  вимірювання виконують тільки одне спостереження (наприклад, вимірювання температури, зважування та ін.), випадкова похибка вимірювання не виникає, тому сумарну похибку оцінюють лише похибками приладу та заокруглення.

.

Одноразовим спостереженням обмежуються  і тоді, коли три-чотири попередні спостереження доводять, що повторні спостереження дають один і той же результат. Це трапляється тоді, коли випадкова похибка є меншою, ніж поріг чутливості приладу.

Похибки непрямих вимірювань розраховують у кожному конкретному експерименті згідно загальноприйнятих правил. У цьому навчальному посібнику формули для обчислення похибок наведені у кожній лабораторній роботі. Під час їхнього обчислення треба пам’ятати, що у відповідних формулах фігурують середні значення величин, отриманих під час прямих вимірювань.

Обчислення  з наближеними числами. Правила заокруглення

Під час математичного  опрацювання результатів експерименту доводиться виконувати ряд математичних операцій над конкретними числами, користуючись, як правило, калькулятором. Тут виникає закономірне запитання, як правильно заокруглити результат обчислення, беручи до уваги, що вихідні дані – це результати прямих вимірювань, що мають певну точність, тобто є наближеними числами. Наприклад, вам потрібно обчислити середнє значення виміряного експериментально три рази часу руху тіла: t₁ = 5,13c; t₂ = 5,12c; t₃ = 5,12c (точність вимірювань 0,01с). Скориставшись калькулятором, ви отримаєте 5,123333333333. Цілком зрозуміло, що цей результат не можна подати з такою точністю, оскільки вона значно перевищує точність вимірювання вихідних даних. Як же заокруглити отриманий результат? Щоб дати відповідь на це запитання, введемо деякі поняття і вкажемо правила заокруглення, яких слід дотримуватись під час обчислень.