Единовременные платежи

Пример 6 Фирме предстоит через 10 лет уплатить за кредит банку $100 000. Номинальная ставка 28%. Проценты начисляются раз в полгода. Определите текущую стоимость кредита и дисконт банка.

Текущая стоимость

PV=-(-100000)/(1+0,28/2)^(2·10)=$7276,17

Такую ничтожную сумму фирма получит в качестве кредита.

Дисконт банка

D=FV- PV =100000-7276,17=$92723,83

Такую величину составит доход банка

 

1.3.4 Определение срока ссуды (вклада)

 

По формуле простых процентов (4) срок финансовой сделки определяется в днях t

      t=

,                                                                                                              (12)

где T принятое число дней в году.

По формуле сложных процентов (6) срок финансовой сделки определяется в годах k

                      .                                                                                            (13)

В выражениях (12) и (13)  r - номинальная ставка;  текущая PV и будущая FV суммы берутся по абсолютной величине.

Пример  7   Сколько лет нужно копить деньги при первоначальном взносе 5000 руб., годовой процентной ставке 18% и ежеквартальных начислениях, чтобы накопить 10000 руб.?

 

k=ln(FV/PV)/ln(1+r/m)/m

 

k= ln(10000/5000)/ln(1+0,18/4)/4=3,937

4 года.

 

1.3.5 Определение размера процентной  ставки

 

Нередко возникает вопрос, под какую ставку  нужно дать кредит в сумме PV, чтобы через определенный срок получить обратно сумму FV?

По формуле простых процентов

.                                                                                                                  (14)

По формуле сложных процентов

.                                                                                                           (15)

Пример 8  Фирма дала в кредит дочерней фирме 50 000 руб. сроком на 3 года с ежегодным начислением процентов. Под какой процент нужно дать кредит, чтобы вернуть 60 000 руб.?

 

r=m·((FV/PV)^(1/(m·k))-1)

r=(6/5)^(1/3)-1=0,06266

r

6,27%

1.3.6 Номинальная и эффективная  ставки

 

Величину годовой процентной ставки r часто называют номинальной ставкой в отличие от процентной ставки за период r t/T или 1/m.

Для сравнения эффективности предложений различных банков по кредитным операциям их пересчитывают к эффективной процентной ставке , обеспечивающей ту же доходность, но при начислении процентов один раз в году. Сравнивая (6) с

,

получим                                             ,

откуда                                  =                                                                            (16)

Пример 9  Определим эффективную годовую ставку в первых трех случаях примера 4.

 

Решение.  Очевидно, что в четвертом случае, при ежегодных начислениях процентов, она составляет 12%. Для

m = 12       =(1+0,12/12)^12-1=0,1268;

m = 4         =(1+0,12/4)^4-1=0,1255;

m = 2         =(1+0,12/2)^2-1=0,1236.

Как и следовало ожидать, ежемесячное начисление обеспечивает самую большую эффективную ставку.

Замена в договоре номинальной ставки r при m - разовом начислении процентов на эффективную не изменяет финансовых обязательств участвующих сторон. Обе ставки эквивалентны в финансовом отношении. Вообще разные по величине номинальные ставки являются эквивалентными, если соответствующие им эффективные ставки имеют одну и ту же величину.

При подготовке контрактов может возникнуть необходимость в определении r по заданным значениям и m. Из (16) находим

                                                                                                        (17)

 

Типовые задачи

 

1. Ссуда в размере 100 тыс. руб. выдана с 10 января по 10 сентября включительно под ставку 22% годовых. Какую сумму заплатит должник в конце срока? Рассчитать тремя методами.
2. Выдан кредит в сумме 10 тысяч долларов с 15.02 по 15.05 под 18% годовых. Рассчитайте будущую сумму тремя способами.
3. Фирма должна выплатить по кредиту, взятому на 4 месяца под ставку 20% годовых, 180 тыс. руб. Какова была сумма кредита и каков коэффициент наращения?
4. Банк принимает срочные вклады на 3 месяца с объявленной годовой ставкой 12%, на полгода с годовой ставкой 12,5% и на год с годовой ставкой 13%. Как выгоднее положить вклад на два года?
5. Ссуда в 15000 долларов выдана на 2,5 года под ставку 25% годовых с ежеквартальным начислением процентов. Определите сумму конечного платежа и коэффициент наращения.
6. Банк предлагает кредиты на 3 года с ежеквартальным начислением процентов и на два года с ежемесячным начислением процентов. В обоих случаях годовая процентная ставка составляет 20%. Какой кредит выгоднее фирме? Сравните эффективные ставки в обоих случаях.
7. Годовая процентная ставка коммерческого банка 24%. Начисление процентов ежемесячное. На какой минимальный срок нужно поместить клиенту вклад в 30 тысяч рублей, чтобы наращенная сумма составила не менее 35 тысяч рублей?
8. Рассчитайте будущее значение вклада 1000 долларов через 5 лет в зависимости от ставки (5%, 10%, 15%, 20%. 25%, 30%)
9. Рассчитайте коэффициент наращения вклада под 15% годовых через 1, 2, 3 года при ежеквартальном и ежемесячном начислении процентов.
10. Для совершения сделки клиенту необходимо иметь через полгода 3 тыс. долларов наличными. В настоящее время у него только 2,6 тыс. долларов. Под какую минимальную номинальную ставку он должен положить деньги в коммерческий банк, чтобы иметь нужную сумму к указанному времени при ежемесячном начислении процентов?
11. Сумма наращивается по сложной процентной ставке 18% с начислением раз в квартал. Определите эффективную ставку.
12. Фирма дала дочерней фирме в долг на три года 200000 руб. с условием возврата 250000 руб. Вычислите годовую процентную ставку.
13. Выдан кредит 200000 руб. на три года. Проценты начисляются раз в квартал. Определите величину процентной ставки за период, если по договору возврат должен составить 250000 руб.
14. Клиент внес в банк 14 тыс. руб. на срок с 14 марта по 20 апреля того же года. Годовая процентная ставка 12%, проценты простые. Определите наращенную сумму при расчете по:  а) точным процентам с точным числом дней;  б) банковскому методу;  в) обыкновенным процентам с приближенным числом дней.
15. Определите наращенную сумму вклада в 300 тыс. руб. при сроке вклада 2 года. Годовая процентная ставка 14%. Начисление процентов производится:  а) один раз в год;  б) по полугодиям;  в) поквартально;  г) ежемесячно.

 

2. ПОСТОЯННЫЕ РЕГУЛЯРНЫЕ ПОТОКИ  ПЛАТЕЖЕЙ

 

2.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

 

При проведении большинства финансовых операций возникают денежные потоки - чередующиеся в течение ограниченного или неограниченного промежутка времени поступления и выплаты денежных средств. Поток состоит из отдельных элементов потока - платежей. Поступления денег считаются положительными платежами, а выплаты - отрицательными. В первой главе мы рассмотрели одноразовые поступления и выплаты и наращенные на них проценты. Денежный поток - это последовательность платежей разных направлений. Денежные потоки делятся:

• по распределению во времени - на регулярные (периодические) и нерегулярные;
• по величине элементов - на постоянные и переменные.

Периодические платежи могут осуществляться в конце периода - постнумерандо (обыкновенные) или в начале периода - пренумерандо.

Денежный поток, элементы которого Сi поступают через равные промежутки времени, называются финансовой рентой. Постоянная рента предполагает получение или выплату одинаковых сумм C в течение всего срока операции.

В этой главе будут рассматриваться только периодические постоянные потоки платежей, то есть постоянные ренты. Будем сначала полагать, что число платежей m раз в году и их момент (пренумерандо или постнумерандо) совпадают с числом и моментом начисления процентов, причем процентная ставка не меняется в течение всего срока операции.

Существует три основных вида операций.

Срочным аннуитетом называется денежный поток с равными поступлениями С в течение ограниченного промежутка времени в конце каждого периода. Например, клиент вносит в банк первоначальную сумму, а в обмен получает серию периодических выплат в течение срока действия договора. В конце срока договора ему причитается получить сумму FV. Эту ситуацию можно записать  (-PV, С, С,… С, FV)  и изобразить графически

 

 

Банковский кредит - это аннуитет наоборот. Клиент получает денежную ссуду PV, а потом выплачивает свой долг равными платежами С в течение срока погашения кредита. В конце срока операции ему остается выплатить сумму FV. Эту ситуацию можно записать (PV, -С, -С,…-С, -FV) и изобразить графически

 

Накопление периодическими взносами (формирование денежных фондов). В начале срока финансовой сделки вносится  вклад в размере PV и через равные промежутки времени к нему добавляются суммы С. К концу срока сделки с учетом начисленных процентов накопится сумма FV. Эту ситуацию можно записать  (-PV, -С, -С,…-С, FV)  и изобразить графически

 

 

Анализ потока платежей предполагает решение

а) прямой задачи, когда проводится оценка с позиции будущего, т. е. вычисляется сумма всех платежей с начисленными процентами на конец срока проведения операции;

б) обратной задачи, когда проводится оценка с позиции настоящего, т. е. определяется современная стоимость всех платежей, приведенная на момент начала операции.

 

2.2 БУДУЩАЯ СУММА ПРЕНУМЕРАНДО  И ПОСТНУМЕРАНДО БЕЗ ПЕРВОНАЧАЛЬНОЙ  СУММЫ

 

2.2.1 Рента пренумерандо

 

Пусть одинаковые платежи размером С (cost – стоимость) осуществляются пренумерандо в течение n периодов. На них нарастают проценты по номинальной (ежегодной) процентной ставке r. Сначала рассмотрим С по абсолютной величине.

В начале первого периода осуществлен взнос С. К концу периода на него нарастут проценты, и будущая сумма составит

FV1 = С·(1 + r).

В начале второго периода внесена сумма С, а к концу второго периода на нее и на FV1опять нарастут проценты

FV2=С·(1+r)+С·(1+r)2.

К концу третьего периода

FV3 = С·(1+r)+С·(1+r)2+С·(1+r)3  и  т. д.

К концу  n-ого периода будущая сумма составит

 

FVn = С· (1+r)+С· (1+r)2+ . . . +С· (1+r)n = С· (1+r) · .

 

Нетрудно видеть, что это сумма геометрической прогрессии с общим членом

 

= 1·qn -1,  где  1=С· (1+r), a  q=1+r.

 

Как известно, сумма такой геометрической прогрессии

Sn=

.

Таким образом, получаем

FVn=

.

Если взносы осуществляются m раз в году в течение k лет, то число периодов сделки n=k·m, а процентная ставка за период составляет  r/m.  В этом случае

                                     FV=

.                       (18)

 

2.2.2 Рента постнумерандо

 

Те же условия, что в разделе 2.2.1, но рента вносится в конце каждого периода – постнумерандо.

К концу первого периода сделан взнос С и FV1=С

К концу второго периода снова сделан взнос С, а на FV1  наросли проценты:

 

FV2=С+С·(1+r).

 

К концу третьего:  FV3=С+С·(1+r)+С·(1+r)2 и т. д.

Будущая сумма к концу n-ого периода

.

 

Это геометрическая прогрессия с первым членом 1=С и частным q=(1+r). Следовательно,

.

Если взносы осуществляются  m  раз в году в течение  k  лет, то n=m·k

                                             .                                                (19)

Формулы (18) и (19) можно объединить в одну.

                                                      (20)

Здесь тип=0, для взносов постумерандо,

          тип=1, для  взносов пренумерандо.

Очевидно, что при выплатах пренумерандо абсолютная величина будущей накопленной суммы больше.

Поскольку выплаты С и конечная сумма имеют, как правило, разные знаки (-С; -С;-С; FV) или (С; С;С; -FV), то их сводят в уравнение эквивалентности

                                                                    (21)

В выражениях (18) – (21) величина m – это число взносов и начислений процентов в году.

При ежемесячных взносах m=12;

при ежеквартальных взносах m=4;

при взносах раз в полгода m=2;

при ежегодных взносах m=1.

Пример 10.  Сколько денег можно накопить в банке в течение года, внося ежемесячно по300 руб. во вклад под 18% годовых? Первый случай – взносы постнумерандо (тип=0)

Второй случай –взносы пренумерандо  (тип =1)

 

Если бы мы копили эти деньги в банке из под кофе, то в конце года имели бы только

FV=300*12=3600 руб.

Таким образом, в обоих случаях за счет процентов банк нам приплачивает в конце года больше трехсот руб. Однако во втором случае (выплаты в начале каждого месяца) мы получим почти на 60 руб. больше.

 

2.3 УРАВНЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ В  ОБЩЕМ ВИДЕ

 

В первом параграфе мы вывели уравнение эквивалентности (6) между одноразовым взносом и накопленной к концу срока финансовой сделки суммой FV при условии наращивания процентов по номинальной ставке r. В этом уравнении не учитывались периодические платежи С.

В параграфе 2.2.2 выведено уравнение эквивалентности (21), связывающее периодические платежи С и накопленную сумму FV при условии, что не было первоначального взноса PV.

В повседневных финансовых операциях накопления денег, кредитования, аннуитета  фигурируют как первоначальные, так и периодические взносы.

Все эти ситуации описываются общим эквивалентным уравнением, объединяющим уравнения (6) и (21)

                                 

            (22)

Из этого уравнения можно определить одну из величин как функцию остальных:

 

1. FV=f(PV,С,r,m,k) – будущую сумму в любой момент;
2. PV=f(FV,С,r,m,k) – текущую сумму, пересчитанную к любому моменту финансовой сделки;
3. С=f(PV,FV,r,m,k) – выплаты;
4. k=f(PV,FV,С,r,m) – срок договора;
5. r=f(PV,FV,С,m,k) – норму, годовую процентную ставку.