Единовременные платежи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

 

 

1.ЕДИНОВРЕМЕННЫЕ ПЛАТЕЖИ

 

1.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

 

В основе всех финансовых расчетов лежит принцип временной ценности денег. Деньги - это мера стоимости товаров и услуг. Покупательная способность денег падает по мере роста инфляции. Это означает, что денежные суммы, полученные сегодня (обозначим их PV-present value- настоящее, текущее значение), больше, ценнее тех же сумм, полученных в будущем. Для того чтобы деньги сохраняли или даже наращивали свою ценность, нужно обеспечить вложение денег, приносящее определенный доход. Принято обозначать доход буквой I (interest), на финансовом и бытовом жаргоне его называют процентом.

Существует много способов вложения (инвестиции) денег.

Можно открыть счет в сберегательном банке, но процент должен превышать темп инфляции. Можно одолжить деньги в виде кредита с целью получения в будущем, так называемой, наращенной суммы FV (future value - будущее значение). А можно инвестировать денежные средства в производство.

Простейшей финансовой операцией является однократное предоставление или получение суммы PV с условием возврата через время t наращенной (будущей) суммы FV. Сумму, которую получает дебитор (например, мы с Вами или фирма), будем считать положительной, а ту, которую отдает кредитор (опять же мы с Вами или банк) - отрицательной.

Схема операции

 

 

 

 

 

с точки зрения дебитора: он берет сумму PV с тем, чтобы через время t вернуть ее с процентами.

с точки зрения кредитора: он отдает сумму PV с тем, чтобы через время t получить ее с процентами.

 

Эффективность такой операции характеризуется темпом прироста денежных средств, отношением r (rate-отношение) дохода I к базовой величине PV, взятыми по абсолютной величине.

.                                                                                                             (1)

Темп роста капитала r за время t выражают десятичной дробью или в процентах и называют процентной ставкой, нормой доходности или скоростью оборота денежных средств за это время.

Поскольку PV и FV имеют противоположные знаки, то настоящее и будущее значения связаны соотношением (назовем его уравнением эквивалентности)

 

FV+ PV (1+ r)=0,                                                                                                                 (2)

 

где r - процентная ставка за время t.

Величину К, показывающую, во сколько раз будущая сумма возросла по абсолютному значению по отношению к текущей

К= FV/ PV=(1+ r),                                                                                                                 (3)

называют коэффициентом наращения капитала.

В расчетах, как правило, за r принимают годовую процентную ставку, ее называют номинальной ставкой.

Существуют две схемы наращения капитала:

• схема простых процентов;
• схема сложных процентов.

 

1.2 ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ

 

Схема простых процентов предполагает неизменность суммы, на которую происходит начисление процентов. Простые проценты используются в краткосрочных финансовых операциях (со сроком менее периода начисления процентов) или когда проценты периодически выплачиваются и не присоединяются к основному капиталу.

Рассмотрим два вида вклада: постой и срочный.

1) По простому вкладу (деньги по такому вкладу можно снять в любой момент) за t дней будет начислено

 

                   FV+ PV (1+ r)=0                                                                                                        (4)

где Т - число дней в году. Коэффициент наращения при этом

К=(1+ r).

В зависимости от определения Т и t применяют следующие методики.

1. Точные проценты. В России, США, Великобритании и во многих других странах принято считать Т =365 в обычном году и Т =366 - в високосном, а t -число дней между датой выдачи (получения) ссуды и датой ее погашения. Дата выдачи и дата погашения считаются за один день.
2. Банковский метод. В этом методе t определяется как точное число дней, а число дней в году принимается за 360. Метод дает преимущества банкам особенно при выдаче кредита на срок более 360 дней и широко используется коммерческими банками.
3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней. В некоторых странах, например во Франции, Бельгии, Швейцарии принимают Т =360, а t -приближенным, так как считается, что в месяце 30 дней.

 

Пример 1  Фирма взяла ссуду в банке на расширение производства в размере 1 млн. руб. под 18% годовых с 20.01 по 05.10 включительно. Какую сумму она должна вернуть в конце срока при начислении процентов один раз в год? Определите коэффициент наращения.

Решение. Пусть год не високосный Т=365. Точное число дней между указанными датами  
t =258, а приближенное - t=255.

  1. Из (4) по точному методу  получим

FV= -1 000 000(1+

0,18)= -1 127 233 руб.

Итак, в конце срока фирме придется отдать (FV отрицательно) на 127 233 руб. больше, чем она брала.

Коэффициент наращения в этом случае

К=(1+

0,18)=1,1273

  2. По банковскому методу

FV= -1 000 000(1+

0,18)= -1 129 000 руб.

К=(1+

0,18)=1,129

  3. По обыкновенному методу  с приближенным числом дней

FV= -1 000 000(1+

0,18)= -1 127 500 руб.

К=(1+

0,18)=1,1275

 

Как видно из примера, при банковском методе расчета банку удастся больше "поживиться" за счет фирмы.

2) По срочному вкладу (деньги кладутся в банк на определенный срок: полгода, год или другой) проценты начисляются через определенные периоды. Обозначим  
m -число периодов в году.

m =12 - при ежемесячном начислении процентов;

m =4 - при ежеквартальном начислении;

m =2 - при начислении раз в полугодие;

m =1 - при начислении раз в год.

В этом случае процентная ставка за один период составит величину , и уравнение эквивалентности запишется в виде:

 

FV + PV (1+ )=0                                                                                                                (5)

Коэффициент наращения

К=(1+

).

Пример 2  Пенсионер положил 3000 руб. на срочный пенсионный вклад на полгода под 14% годовых. Какая сумма у него накопится в конце срока, и какой процент он сможет снять? Каков коэффициент наращения?

Решение. Поскольку пенсионер отдал свои деньги банку, то первоначальная сумма отрицательна; m =2, так как начисления - раз в полгода.

FV = -(-3000)(1+0,14/2)=3210 руб.

I= FV- PV=210 руб.

К=1+0,14/2=1,07

По формулам (2)-(.5) можно решить обратную задачу: какую первоначальную сумму PV нужно дать в долг или положить в банк, чтобы по истечении срока получить сумму FV при заданной годовой процентной ставке  r:

.

Пример 3  Через 180 дней после подписания договора фирма обязуется уплатить 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма кредита?

Решение. В конце срока фирма должна вернуть деньги, следовательно, будущая сумма - отрицательная величина, а первоначальная - положительная. Из (5)

 

1.3 СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ

 

1.3.1 Формула сложных процентов

 

Схема сложных процентов предполагает их капитализацию, таким образом, базовая сумма, с которой происходят начисления, постоянно растет. Сложные проценты применяются в среднесрочных и долгосрочных финансовых операциях, то есть срок операции составляет несколько периодов начисления процентов.

Пусть Вы положили в банк срочный вклад в сумме PV на k лет под годовую процентную ставку r. Число периодов начисления процентов в году m .Тогда в соответствии с формулой (4) к концу первого периода, т.е. после первого начисления процентов, у Вас окажется сумма FV, определяемая соотношением

FV + PV (1+ )=0.

Если Вы не забрали причитающиеся Вам проценты, то к началу нового периода первоначальная сумма составит уже PV(1+r/m), а к концу второго периода на нее снова нарастут проценты и Ваша сумма вклада будет определяться из соотношения

и так далее.

К концу года Ваш вклад будет равен

.

Сумма, накопленная Вами в банке через k лет при годовой ставке r и начислениях процентов m раз в году, составит:

 

                                     (6)

 

 

Эквивалентное уравнение (6) называют формулой сложных процентов.

Из уравнений (4) - (6) можно определить одну из величин:

FV - будущую сумму;

PV - текущую сумму;

r - номинальную процентную ставку;

t или k - срок сделки в днях или годах,

выразив их через остальные известные величины.

 

1.3.2 Определение будущей суммы

 

Пример 4     От продажи родительского дома у Вас оказалось 50 тыс. руб. Вы знаете, что в течение 5 лет Вам эти деньги не понадобятся, и Вы решили открыть счет в банке. Годовая ставка банка 12%. Банк предлагает следующие виды вкладов:

1. с ежемесячным начислением процентов;
2. с ежеквартальным начислением процентов;
3. депозит на 6 месяцев;
4. депозит на 12 месяцев.

Какой из вкладов принесет больший доход через 5 лет?

 

Решение.  Воспользуемся формулой (6). В нашем примере PV= -50 000,  r =0,12,  k =5.

В первом случае m =12 и

90834,83 руб.

Во втором - m =4 и

90305,56 руб.

В третьем случае - m =2 и

89542,38 руб.

В последнем варианте - m =1 и

88117,08 руб.

 

Как видно из примера, чем меньше период начисления процентов при той же годовой процентной ставке, тем выгоднее вклад.

 

1.3.3 Определение текущей стоимости. Дисконтирование

 

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной наращению процентов: по заданной будущей сумме FV, которую следует уплатить или получить через некоторое время, необходимо рассчитать современную, текущую сумму PV полученной ссуды или вклада в банк. Такая ситуация может возникнуть: при разработке контракта, при определении текущей стоимости векселя

По формуле простых процентов (4)

PV = - ,                                                                                                                            (7)

где t - срок финансовой сделки в днях, T - число дней в году, r - годовая процентная ставка. Знак минус указывает на то, что в финансовых операциях настоящая и будущая суммы всегда имеют противоположные знаки.

Расчет PV по FV необходим и тогда, когда проценты с суммы  удерживаются вперед, непосредственно при выдаче кредита, ссуды. В этих случаях говорят, что сумма FV дисконтируется, или учитывается, сам процесс начисления процентов и их удержания называют учетом, а удержанные проценты - дисконтом, или скидкой D.

D=FV-PV,          (8) 
где FV и PV берутся в (8) по абсолютной величине.

Отношение   v=PV/FV   называют дисконтным или дисконтирующим множителем. По формуле простых процентов

v=1/(1+ ×r).                                                                                                                             (9)

По формуле сложных процентов (6) текущая сумма вклада или текущая стоимость векселя записывается в виде

,                                                                                                              (10)

где m - число раз начисления процентов в году, k - срок дисконтирования.

Дисконтирующий множитель

v= .                                                                                                                     (11)

 

Пример 5. Клиент должен получить в конце года 10000 руб. На какой вклад ему выгоднее положить деньги: простой или срочный с ежемесячным начислением процентов. Годовая процентная ставка в обоих случаях 16%

 

Дисконтирующий множитель по простым процентам v=1/(1+r t/T)=1/(1+0,16)=0,862069,

PV= - FV·v =10000·0,862= - 8620,69 руб.

Дисконтирующий множитель по сложным процентам

v=1/(1+r/m)^(m k)=1/(1+0,16/12)^12=0,853045

PV=-FV v=10000·0,853045= - 8530,45 руб.

 

Совершенно очевидно, что срочный вклад выгоднее клиенту, так как в начале года по нему нужно вложить на 90 руб. меньше, чем по простому вкладу.