Распределение инвестиций между предприятиями

• наличие "неформальных" критериев, т.е. тех, которые невозможно измерить количественно (например, согласованность проекта с общей стратегией предприятия, его социальный, либо экологический характер и т.д.), в связи с чем проекты могут иметь различный приоритет;
• уровень риска проектов;
• другие факторы.

В связи с необходимостью учета уровня риска при формировании инвестиционного портфеля появилось стохастическое динамическое программирование, которое имеет дело с вероятностными величинами. Оно нашло применение в различных областях, среди которых одной из наиболее широко исследуемых является управление рисковыми финансовыми инвестициями.

Принцип оптимальности и уравнения Беллмана

Принцип оптимальности. Каково бы ни было состояние s системы в результате какого-либо числа шагов, на ближайшем шаге нужно выбирать управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к оптимальному выигрышу на всех оставшихся шагах, включая данный. Основное требование, при котором принцип верен – процесс управления должен быть без обратной связи, т.е. управление на данном шаге не должно оказывать влияния на предшествующие шаги.

Таким образом, решение  на каждом шаге оказывается наилучшим с точки зрения управления в целом.

Уравнения Беллмана.

Нахождение оптимального решения управляемого процесса можно  произвести на основе рекуррентных соотношений Беллмана. Пусть - показатель эффективности k – ого шага при всевозможных управлениях . Выделяют обратную и прямую схемы Беллмана.

Схема нахождения оптимального решения по обратной схеме.

На каждом шаге любого состояния системы s_k-1 решение нужно выбирать "с оглядкой", так как этот выбор влияет на последующее состояние s_k и дальнейший процесс управления, зависящий от s_k. Это следует из принципа оптимальности.

Но есть один шаг, последний, который можно для любого состояния планировать локально оптимально, исходя только из соображений этого шага.

Рассмотрим n-й шаг:  s_n-1 - состояние системы к началу n-го шага, - конечное состояние, - управление на n-м шаге, - целевая функция (выигрыш) n-го шага.

Показатель эффективности n – ого шага

Агрегированный показатель эффективности (n-1) – ого шага  .

Агрегированный показатель эффективности  первого шага .

В результате будут найдены  следующие последовательности значений:

Схема нахождения оптимального решения по прямой схеме.

Показатель эффективности  первого шага

Агрегированный показатель эффективности второго шага  .

Агрегированный показатель эффективности  k – ого шага .

Агрегированный показатель эффективности  всего процесса управления (n-ого шага)

Таким образом, в результате решения последовательно определяются следующие значения и :

Общая схема применения метода ДП

Построение модели ДП и применение метода ДП решения сводится к следующим моментам:

1. Выбирают способ деления процесса управления на шаги.
2. Определяют параметры состояния s_k и переменные управления на каждом шаге.
3. Записывают уравнения состояний.
4. Вводят целевые функции k-го шага и суммарную целевую функцию.
5. Вводят в рассмотрение условные максимумы (минимумы) и условное оптимальное управление на k-м шаге: (в случае использования обратной схемы Беллмана);
6. Записывают основные для вычислительной схемы ДП уравнения Беллмана для и .
7. Решают последовательно уравнения Беллмана (условная оптимизация) и получают две последовательности функций: и .
8. После выполнения условной оптимизации получают оптимальное решение для конкретного начального состояния s₀:

1. и по цепочке

б) оптимальное управление: .

 

6. Решение задачи динамического программирования

Прибыли предприятий  при различных объемах выделенных финансовых средств, представлены в следующей таблице:

Таблица №21.Прибыль предприятий в зависимости от объема выделенных средств.

Таблица значений эффективности в зависимости от вложенных средств
Q	Z1	Z2	Z3	Z4
0	0,00р.	0,00р.	0,00р.	0,00р.
1	200 532,67р.	200 532,67р.	220 325,99р.	220 325,99р.
2	401 065,33р.	401 065,33р.	440 447,20р.	440 447,20р.
3	601 597,99р.	601 597,99р.	660 481,58р.	660 481,58р.
4	802 130,66р.	802 130,66р.	880 115,63р.	880 115,63р.
5	1 002 624,03р.	1 002 624,03р.	1 099 723,47р.	1 099 764,68р.
6	1 202 623,64р.	1 202 623,64р.	1 319 331,31р.	1 319 398,73р.
7	1 402 433,23р.	1 402 433,23р.	1 524 518,61р.	1 539 006,57р.
8	1 602 222,93р.	1 602 222,93р.	1 758 547,00р.	1 758 614,41р.

 

Для нахождения дополнительной прибыли нужно посчитать разность между прибылью предприятий при  выделенных средствах и прибылью при нулевом финансировании.

Таблица №22.Дополнительный  доход предприятия в зависимости от объема выделенных средств.

Дополнительный  доход
Q	F1	F2	F3	F4
0	0,00р.	0,00р.	0,00р.	0,00р.
1	200 532,67р.	154 205,61р.	220 325,99р.	219 614,63р.
2	401 065,33р.	305 040,55р.	440 447,20р.	439 283,10р.
3	601 597,99р.	375 139,81р.	660 481,58р.	658 856,50р.
4	802 130,66р.	445 099,69р.	880 115,63р.	877 985,45р.
5	1 002 624,03р.	496 341,93р.	1 099 723,47р.	1 096 102,26р.
6	1 202 623,64р.	545 457,50р.	1 319 331,31р.	1 308 412,45р.
7	1 402 433,23р.	591 095,09р.	1 524 518,61р.	1 519 925,16р.
8	1 602 222,93р.	636 732,67р.	1 758 547,00р.	1 731 437,88р.

 

Найдем показатели эффективности  деятельности предприятий в зависимости  от объема выделенных средств, с помощью  обратной схемы Беллмана:

Показатель эффективности Z₁ равен дополнительному доходу предприятия: Z₁(Q)=max{f₁(X)}, т.е.:

Z₁^*(0) = 0

Z₁^*(1000000) = 200532,67

Z₁^*(2000000) = 401065,33

Z₁^*(3000000) = 601597,99

Z₁^*(4000000) = 802130,66

Z₁^*(5000000) = 1002624,03

Z₁^*(6000000) = 1202623,64

Z₁^*(7000000) = 1402433,23

Z₁^*(8000000) = 1602222,93

Показатель эффективности Z₂  является объединением показателей эффективности двух предприятий, т.е.:

Z₂^*(0) = 0

Z₂^*(1000000) = max{0,00+200532,67;  154205,61+0,00}  =  200532,67

Z₂^*(2000000) = max{0,00+401065,33; 154205,61+200532,67; 305040,55+0,00} = 401065,33

Z₂^*(3000000) = max{0,00+601597,99; 154205,61+401065,33; 305040,55+200532,67; 375139,81+0,00} = 601597,99

Z₂^*(4000000) = max{0,00+802130,66; 154205,61+601597,99; 305040,55+401065,33; 375139,81+200532,67; 445099,69+0,00} = 802130,66

Z₂^*(5000000) = max{0,00+1002624,03; 154205,61+802130,66; 305040,55+601597,99; 375139,81+401065,33; 445099,69+200532,67; 496941,93+0,00} = 1002624,03

Z₂^*(6000000) = max{0,00+1202623,64; 154205,61+1002624,03; 305040,55+802130,66; 375139,81+601597,99; 445099,69+401065,33; 496941,93+200532,67; 545457,50+0,00} = 1202623,64

 

Z₂^*(7000000) = max{0,00+1402433,23; 154205,61+1202623,64; 305040,55+1002624,03; 375139,81+802130,66; 445099,69+601597,99; 496941,93+401065,33; 545457,50+200532,67; 591095,09+0,00} = 1402433,23

Z₂^*(8000000) = max{0,00+1602222,93; 154205,61+1402433,23; 305040,55+1202623,64; 375139,81+1002624,03; 445099,69+802130,66; 496941,93+601597,99; 545457,50+401065,33; 591095,09+200532,67; 635732,67+0,00} = 1602222,93

Показатель эффективности Z₃ является объединением показателей эффективности двух предприятий, т.е.:

Z₃^*(0) = 0

Z₃^*(1000000) = max{0,00+200532,67; 220325,99+0,00} = 220325,99

Z₃^*(2000000) = max{0,00+401065,33; 220325,99+200532,67; 440447,20+0,00} = 440447,20

Z₃^*(3000000) = max{0,00+601597,99; 220325,99+401065,33; 440447,20+200532,67; 660481,58+0,00} = 660481,58

Z₃^*(4000000) = max{0,00+802130,66; 220325,99+601597,99; 440447,20+401065,33; 660481,58+200532,67; 880115,63+0,00} = 880115,63

Z₃^*(5000000) = max{0,00+1002624,03; 220325,99+802130,66; 440447,20+601597,99; 660481,58+401065,33; 880115,63+200532,67; 1099723,47+0,00} = 1099723,47

Z₃^*(6000000) = max{0,00+1202623,64; 220325,99+1002624,03; 440447,20+802130,66; 660481,58+601597,99; 880115,63+401065,33; 1099723,47+200532,67; 1319331,31+0,00} = 1319331,31

Z₃^*(7000000) = max{0,00+1402433,23; 220325,99+1202623,64; 440447,20+1002624,03; 660481,58+802130,66; 880115,63+601597,99; 1099723,47+401065,33; 1319331,31+200532,67; 1524518,61+0,00} = 1524518,61

Z₃^*(8000000) = max{0,00+1602222,93; 220325,99+1402433,23; 440447,20+1202623,64; 660481,58+1002624,03; 880115,63+802130,66; 1099723,47+601597,99; 1319331,31+401065,33; 1524518,61+200532,67; 1758547,00+0,00} = 1758547,00

Показатель эффективности Z₄ является объединением показателей эффективности двух предприятий, т.е.:

Z₄^*(0) = 0

Z₄^*(1000000) = max{0,00+220325,99; 219614,63+0,00} = 220325,99

Z₄^*(2000000) = max{0,00+440447,20; 219614,63+220325,99; 439283,10+0,00} = 440447,20

Z₄^*(3000000) = max{0,00+660481,58; 219614,63+440447,20; 439283,10+220325,99; 658856,50+0,00} = 660481,58

Z₄^*(4000000) = max{0,00+880115,63; 219614,63+660481,58; 439283,10+440447,20; 658856,50+220325,99; 877985,45+0,00} = 880115,63

Z₄^*(5000000) = max{0,00+1099723,47; 219614,63+880115,63; 439283,10+660481,58; 658856,50+440447,20; 877985,45+220325,99; 1096102,26+0,00} = 1099764,68

Z₃^*(6000000) = max{0,00+1319331,31; 219614,63+1099723,47; 439283,10+880115,63; 658856,50+660481,58; 877985,45+440447,20; 1096102,26+220325,99; 1308412,45+0,00} = 1319398,73

Z₄^*(7000000) = max{0,00+1524518,61; 219614,63+1319331,31; 439283,10+1099723,47; 658856,50+880115,63; 877985,45+660481,58; 1096102,26+440447,20; 1308412,45+220325,99; 1519925,16+0,00} = 1539006,57

Z₄^*(8000000) = max{0,00+1758547,00; 219614,63+1524518,61; 439283,10+1319331,31; 658856,50+1099723,47; 877985,45+880115,63; 1096102,26+660481,58; 1308412,45+440447,20; 1519925,16+220325,99; 1731437,88+0,00} = 1758614,41

Найденные объединенные показатели эффективности деятельности предприятий в зависимости от объема выделенных средств представлены в следующей таблице:

Таблица №23.Прибыль предприятий в зависимости от объема выделенных средств.

Таблица значений эффективности в зависимости  от вложенных средств
Q	ООО «Менеджер-PRO»	ОАО «Вамин Татарстан»	ЗАО «Славянка»	ООО «Сладкоежка»
0	0,00р.	0,00р.	0,00р.	0,00р.
1	200 532,67р.	200 532,67р.	220 325,99р.	220 325,99р.
2	401 065,33р.	401 065,33р.	440 447,20р.	440 447,20р.
3	601 597,99р.	601 597,99р.	660 481,58р.	660 481,58р.
4	802 130,66р.	802 130,66р.	880 115,63р.	880 115,63р.
5	1 002 624,03р.	1 002 624,03р.	1 099 723,47р.	1 099 764,68р.
6	1 202 623,64р.	1 202 623,64р.	1 319 331,31р.	1 319 398,73р.
7	1 402 433,23р.	1 402 433,23р.	1 524 518,61р.	1 539 006,57р.
8	1 602 222,93р.	1 602 222,93р.	1 758 547,00р.	1 758 614,41р.

Максимальная прибыль среди всех предприятий в зависимости от объема выделенных средств равно: Z_max = 1758614,41 рублей.

В результате прохождения  всех шагов от первого к последнему шагу определяется оптимальное значение целевой функции. Чтобы найти оптимальную стратегию управления, т.е. найти значение, необходимо снова пройти всю последовательность шагов от последнего к первому.