Многофакторный дисперсионный анализ

Многофакторный дисперсионный  анализ

 

Кафедра: «Медицинской биофизики, информатики и математической статистики»

• Многофакторный дисперсионный анализ
• Общая схема двухфакторного эксперимента
• Таблица – Показатели качества изделий
• Двухфакторная дисперсионная модель
• Групповые средние находятся по формулам
• Базовая таблица дисперсионного анализа
• С точки зрения техники вычислений для нахождения сумм квадратов Q_¹, Q_², Q_³, Q_⁴, Q целесообразнее использовать формулы
• Заключение
• Список использованных источников

 

• Следует сразу же отметить, что принципиальной разницы между многофакторным и однофакторным дисперсионным анализом нет. Многофакторный анализ не меняет общую логику дисперсионного анализа, а лишь несколько усложняет ее, поскольку, кроме учета влияния на зависимую переменную каждого из факторов по отдельности, следует оценивать и их совместное действие. Таким образом, то новое, что вносит в анализ данных многофакторный дисперсионный анализ, касается в основном возможности оценить межфакторное взаимодействие. Тем не менее, по-прежнему остается возможность оценивать влияние каждого фактора в отдельности. В этом смысле процедура многофакторного дисперсионного ана­лиза (в варианте ее компьютерного использования) несом­ненно более экономична, поскольку всего за один запуск решает сразу две задачи: оценивается влияние каждого из факторов и их взаимодействие.

Прочие неучитываемые (случайные) факторы

 

Фактор B:

3 уровня

 

Зависимая переменная x_ⁱ

 

Взаимодействие факторов A и B

 

Фактор А:

2 уровня

• Данные, подвергаемые многофакторному дисперсионному анализу, часто обозначают в соответствии с количеством факторов и их уровней.
• Предположив, что в рассматриваемой задаче о качестве различных m партий изделия изготавливались на разных t станках и требуется выяснить, имеются  ли существенные раз­личия в качестве изделий по  каждому фактору:
• А - партия изделий;
• B - станок.
• В результате получается переход к задаче двухфакторного дисперсионного анализа.
• Все данные представлены в таблице 1.2, в кото­рой по строкам - уровни A_ⁱ фактора А, по столбцам — уровни B_^j фактора В, а в соответствующих ячейках, табли­цы находятся значения показателя качества изделий x_^ijk (i=1,2,...,m; j=1,2,...,l; k=1,2,...,n).

B_¹

 

B_²

 

…

 

B_^j

 

…

 

B_^l

 

A_¹

 

x_^11l,…,x_^11k

 

x_^12l,…,x_^12k

 

…

 

x_^1jl,…,x_^1jk

 

…

 

x_^1ll,…,x_^1lk

 

A_²

 

x_^21l,…,x_^21k

 

x_^22l,…,x_^22k

 

…

 

x_^2jl,…,x_^2jk

 

…

 

x_^2ll,…,x_^2lk

 

…

 

…

 

…

 

…

 

…

 

…

 

…

 

A_ⁱ

 

x_^i1l,…,x_^i1k

 

x_^i2l,…,x_^i2k

 

…

 

x_^ijl,…,x_^ijk

 

…

 

x_^jll,…,x_^jlk

 

…

 

…

 

…

 

…

 

…

 

…

 

…

 

A_^m

 

x_^m1l,…,x_^m1k

 

x_^m2l,…,x_^m2k

 

…

 

x_^mjl,…,x_^mjk

 

…

 

x_^mll,…,x_^mlk

• Двухфакторная дисперсионная модель имеет вид:
•  
• x_^ijk=μ+F_ⁱ+G_^j+I_^ij+ε_^ijk,     
•  
• где  x_^ijk - значение наблюдения в ячейке ij с номером k;
• μ   -  общая средняя;
• F_ⁱ - эффект, обусловленный влиянием i-го уровня фактора А;
• G_^j - эффект, обусловленный влиянием j-го уровня фактора В;
• I_^ij - эффект, обусловленный взаимодействием двух факто­ров, т.е. отклонение от средней по наблюдениям в ячейке ij от суммы первых трех слагаемых в модели;
• ε_^ijk - возмущение, обусловленное вариацией переменной внутри отдельной ячейки.
• Предполагается, что ε_^ijk имеет нормальный закон распределения N(0; с²), а все математические ожидания F_^*, G_^*, I_^i*, I_^*j равны нулю.

 

по строке:

 

 

в ячейке:

 

 

по столбцу:

 

 

общая средняя:

 

 

Групповые средние находятся по формулам:

Компоненты дисперсии

 

Сумма квадратов

 

Число степеней свободы

 

Средние квадраты

 

Межгрупповая (фактор А)

 

m-1

 

Межгрупповая (фактор B)

 

l-1

 

Взаимодействие

 

(m-1)(l-1)

 

Остаточная

 

mln - ml

 

Общая

 

mln - 1

• Проверка нулевых гипотез H_^A, H_^B, H_^AB об отсутствии влияния на рассматриваемую переменную факторов А, B и их взаимодействия AB осуществляется сравнением отношений , , (для модели I с фиксированными уровнями факторов) или отношений , , (для случайной модели II) с соответствующими табличными значениями F – критерия Фишера – Снедекора. Для смешанной модели III проверка гипотез относительно факторов с фиксированными уровнями производится также как и в модели II, а факторов со случайными уровнями – как в модели I.
• Если n=1, т.е. при одном наблюдении в ячейке, то не все нулевые гипотезы могут быть проверены так как выпадает компонента Q_³ из общей суммы квадратов отклонений, а с ней и средний квадрат , так как в этом случае не может быть речи о взаимодействии факторов.

С точки зрения техники вычислений  для нахождения сумм квадратов Q_¹, Q_², Q_³, Q_⁴, Q целесообразнее использовать формулы:

 

Q³ = Q – Q¹ – Q² – Q⁴.

• Отклонение от основных предпосылок дисперсионного анализа — нормальности распределения исследуемой переменной и равенства дисперсий в ячейках (если оно не чрезмерное) — не сказывается существенно на результатах дисперсионного анализа при равном числе наблюдений в ячейках, но может быть очень чувствительно при неравном их числе. Кроме того, при нерав­ном числе наблюдений в ячейках резко возрастает сложность аппарата дисперсионного анализа. Поэтому рекомендуется пла­нировать схему с равным числом наблюдений в ячейках, а если встречаются недостающие данные, то возмещать их средними значениями других наблюдений в ячейках. При этом, однако, искусственно введенные недостающие данные не следует учиты­вать при подсчете числа степеней свободы.

• Современные приложения дисперсионного анализа охватывают широкий круг задач экономики, биологии и техники и трактуются обычно в терминах статистической теории выявления систематических различий между результатами непосредственных измерений, выполненных при тех или иных меняющихся условиях.
• Благодаря автоматизации дисперсионного анализа исследователь может проводить различные статистические исследования с применение ЭВМ, затрачивая при этом меньше времени и усилий на расчеты данных. В настоящее время существует множество пакетов прикладных программ, в которых реализован аппарат дисперсионного анализа. Наиболее распространенными являются такие программные продукты как:
• - MS Excel;
• - Statistica;
• - Stadia;
• - SPSS.
• В современных статистических программных продуктах реализованы большинство статистических методов. С развитием алгоритмических языков программирования стало возможным создавать дополнительные блоки по обработке статистических данных.
• Дисперсионный анализ является мощным совре­менным статистическим методом обработки и анализа экс­периментальных данных в психологии, биологии, медици­не и других науках. Он очень тесно связан с конкретной ме­тодологией планирования и проведения экспериментальных исследований.
• Дисперсионный анализ применяется во всех областях научных исследований, где необходимо проанализировать влияние различных факторов на исследуемую переменную.

 

• 1   Кремер Н.Ш. Теория вероятности и математическая статистика. М.: Юнити – Дана, 2002.-343с.
• 2 Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2003.-523с.
• 3 www.sutd.ru
• 4 www.conf.mitme.ru
• 5 www.pedklin.ru
• 6 www.webcenter.ru
• 7 www.infections.ru
• 8 www.encycl.yandex.ru
• 9 www.infosport.ru
• 10 www.medtrust.ru
• 11 www.flax.net.ru
• 12 www.jdc.org.il
• 13 www.big.spb.ru
• 14 www.bizcom.ru
• 15 Гусев А.Н. Дисперсионный анализ в экспериментальной психологии. – М.: Учебно-методический коллектор «Психология», 2000.-136с.
• 16 www.gpss.ru
• 17 www.econometrics.exponenta.ru
• 18 www.optimizer.by.ru
• 19 www2.econ.msu.ru