Экономико-математическое моделирование

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство  по образованию ГОУ ВПО

Всероссийский заочный финансово – экономический  институт

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

 по ЭММ и ПМ

Вариант 8

 

 

 

 

 

 

Выполнила: студентка 3 курса

специальность «Менеджмент организации»

Береснева Наталья  Александровна

личное дело № 08ММБ01918.

 

Проверил: Шатров А.В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г. Киров, 2011

Задача  №1

Имеется два  вида корма I и II, содержащие питательные  вещества (витамины) S1 S2 и S3. Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице

Питательное вещество (витамин)	Необходимый минимум  питательных веществ	Число единиц питательных  веществ в 1 кг корма
		I	II
S1	9	3	1
S2	8	1	2
S3	12	1	6

Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 ден. ед.

Необходимо  составить дневной рацион, имеющий  минимальную стоимость, в котором  содержание питательных веществ  каждого вида было бы не менее установленного предела.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

 

Решить графическим  методом следующую ЗЛП:

Построим экономико-математическую модель задачи:

Пусть - количество корма 1 вида

  - количество корма 1 вида;

Тогда общая  стоимость: 

Ограничения по необходимому минимуму питательных  веществ:

S1      

S2        

S3       

1. Построим ОДР задачи:

Прямые ограничения означают, что область решений будет лежать в первой четверти Декартовой системы координат.

Функциональные  ограничения (неравенства) определяют область, являющуюся пересечением полуплоскостей с граничными прямыми:

I.  3x₁ + x₂=9

II.  x₁ +2x₂=8

III. x₁ +6x₂=12

Пересечение указанных  полуплоскостей в первой четверти представляет собой заштрихованная общая область для всех ограничений задачи ОДР.

2. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину V (4;6) c началом координат О (0,0).
3. Построим некоторую линию уровня 4x₁ +6x₂ = а. Пусть, например,   а = 0.

4. Определим координаты точек max и min:

min: 3x₁ + x₂=9

 x₁ + 2x₂=8     х₁ = 8 - 2х₂

3*( 8 - 2х₂ ) + х₂ = 9

24 - 6х₂  + х₂ = 9

15 = 5 х₂

х₂ = 3

х₁ = 8 - 2 х₂ = 8 – 2*3 = 2

ЦФ (2 ; 3) = 4*2 + 6*3 = 26

max  - > ∞

Ответ:     min f(x) =26, x₁=2 x₂=3

            max f(x) =+∞

Дневной рацион должен состоять из 2 кг корма 1 типа и 3 кг корма 2 типа, при этом затраты  будут минимальными и составят 26 ден. ед.

 

Задача №2

На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

Тип сырья	Нормы расхода  сырья на ед. продукции			Запасы сырья
		1вид	II вид		III вид
I	1	2	1	430
II	3	0	2	460
III	1	4	0	420
Цена изделия	3	2	5

 

Требуется:

1)  сформулировать  прямую оптимизационную задачу  на максимум выручки от реализации  готовой продукции, получить оптимальный  план выпуска продукции;

2) сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности;

3) Пояснить нулевые  значения переменных в оптимальном  плане;

4) на основе  свойств двойственных оценок  и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменится выручка от реализации продукции  и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 5 ед., а II - уменьшить на 5 ед.;
• определить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 7 у.е., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3 единицы

Решение

Составим ЭММ  исходной задачи:

Решим эту задачу с помощью компьютерной информационной технологии в рабочем листе Excel

 

В результате получено следующее решение задачи: оптимальный  план выпуска продукции ( 0; 100; 230 ); при этом ЦФ = 1350

2.  Используем  правило преобразования исходной  задачи к двойственному виду:

430у₁ + 460у₂ + 420у₃ →min

у₁ + 3у₂ + у₃ ≥ 3;

2у₁ + 4у₃ ≥ 2;

 у₁ + 2y₂  ≥ 5;

у₁, у₂, у₃ ≥ 0.           

Посмотрим какие  из ресурсов в исходной задаче не являются дефицитными. Для этого проверим  выполнение ограничения в исходной задаче, подставив туда значения оптимального плана

0*1 + 2*100 + 230 < 430

3*0 + 2*230 < 460

0 + 4*100 < 420

430 < 430     у_i > 0

460 < 460     у_i > 0

400  < 420    у_i = 0

Согласно второй теореме о дополняющей нежесткости  в двойственной задаче превращаются в строгое равенство те ограничения, которым соответствуют x_j > 0;

Х₂;  Х₃ > 0

Поэтому для  составления системы уравнений  выбираем ограничения в двойственной задаче с этими же номерами: ( у₂; у₃ ). Получаем систему уравнений:

2у₁ + 4у₃ ≥ 2;

У₁ + 2у₂ ≥ 5.

 

2у₁ + 4у₃ = 2;

У₁ + 2у₂ = 5.

Решив данную систему  получаем оптимальный план двойственной задачи:

У₁          у₂           у₃

1            2             0

Рассчитаем значение ЦФ двойственной задачи:

( 430у₁ + 460у₂ + 420у₃ ) = 430*1 + 460*2 +0 = 1350

Таким образом  значение ЦФ в исходной и двойственной задачах равны, соблюдается первая теорема двойственности, задача решена верно.

3. Нулевые значения  в оптимальном плане означают:

Х₁ = 0 -  выпуск изделия 1 нерентабелен. При принудительном выпуске единицы этой продукции ЦФ , то есть выручка предприятия уменьшится на нормированную стоимость в денежных единицах. Не выгодному ресурсу соответствует ограничение с тем же номером, то есть у него затраты больше чем цена.

 

4.а) Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане.

 Двойственные  оценки показывают на сколько  изменяется ЦФ, то есть выручка  предприятия, если запас ресурса  увеличить на единицу.

Увеличение  запасов сырья I типа, на 1 привело бы к росту максимальной суммы выручки на денежную единицу (у₁ = ), а увеличение сырьевых ресурсов II типа на 1 привело бы к росту максимальной суммы выручки на денежные единицы. Тогда как увеличение сырьевых ресурсов III типа не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и сумму выручки. Поэтому, так как цена третьего сырья у₃=0, то сырье третьего типа не дефицитно. Дефицитное сырье первого и второго типа, так как в оптимальном плане исходной задачи используется полностью. Сырье второго типа более дефицитно (у₂ =2), чем сырье первого типа (у₁ =1).

б) Определим, как изменится общая стоимость продукции если запасы сырья I вида увеличить на 5 единиц, а запасы сырья II  вида уменьшить на 5 единиц.

 Составим  систему уравнений из тех ограничений исходной задачи, для которых у_i > 0 то есть из строгих равенств. По прежнему будем считать что решение проводится в границах устойчивости двойственных оценок. Предполагаемые изменения запасов ресурсов находятся в пределах допустимого увеличения и допустимого уменьшения

Структура оптимального плана не изменится Х₁ = 0

Составим систему  уравнений с учетом изменившихся запасов ресурсов.

       х₁ + 2х₂ + х₃ = 430 + 5

       3х₁ + 2х₃ = 460 – 5          х₁ = 0

       2х₂ + х₃ = 435

        2х₃ = 455

     Х₃ = 227,5

      2х₂ = 435 – 227,5 = 207,5

      Х₂ = 103,75

Таким образом  новый план выпуска продукции  имеет вид:

х₁ =0; х₂ = 103,75; х₃ = 227,5

Выпуск изделия 2 увеличится на 3,75; выпуск изделия 3 уменьшится 2,5

Новое значение ЦФ: ( 3х₁ + 2х₂ + 5х₃ ) =

= 3*0 + 2*103,75 + 5*227,5 = 207,5 + 1137,5 = 1345

1350 – 1345 = 5

таким образом, выручка от реализации готовой продукции  уменьшится на 5 ден.ед.

в) оценим целесообразность включения в план изделия Г вида ценой 7 у.е., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3 кг.

Затраты на изготовление единицы четвертого изделия

   <   ( 2*1 + 4*2 + 3*0 ) – 7 = 2 + 8 + 0 – 7 = 3

3 > 0, т.е. затраты на производство четвертого изделия больше его цены, следовательно, включать его в план производства нецелесообразно, так как затраты на его производство не окупаются.

 

 

 

Задача 3

 

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице

Номер варианта	Номер наблюдения (t=1,2,...,9)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
8	8	13	15	19	25	27	33	35	40

 

Требуется: 

1) Проверить  наличие аномальных наблюдений. 

2) Построить линейную модель  =а + bt , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда). 

3) Оценить адекватность  построенных моделей, используя  свойства независимости остаточной  компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

4) Оценить точность  моделей на основе использования  средней относительной ошибки  аппроксимации.

5) По двум  построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели  (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

6) Фактические  значения показателя, результаты  моделирования и прогнозирования  представить графически.

 Вычисления  провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Решение.

1. Проверим наличие аномальных наблюдений.

Для выявления  аномальных уровней временных рядов используется метод Ирвина:

Метод Ирвина, например предполагает использование следующей формулы:

 

, где  среднеквадратическое  отклонение рассчитываем, используя  следующие формулы:

, .

Расчетные значения l₂, l₃ и т.д.  сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина l_a и если оказываются больше табличных, то соответствующие значение у_t уровня ряда считается аномальным. Значения критерия Ирвина для уровня значимости a = 1,5, то есть с 5%-ой ошибкой приведены в таблице:

n	2	3	10	20	30	50	100
la	2,8	2,3	1,5	1,3	1,2	1,1	1,0

 

Вычисления  по указанным формулам указаны в  таблице:

В данном случаи среднеквадратическое значение уровня ряда =