Экономико математическое моделирование

Федеральное государственное образовательное  бюджетное учреждение

высшего профессионального образования

«Финансовый университет при Правительстве  Российской Федерации»

(Финансовый университет)

                  Челябинский филиал Финансового университета

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ   РАБОТА  № 1

 

по дисциплине Экономико – математические методы и модели

 

на тему вариант №8

 

 

 

 

 

 

Студент           _____________________ ______

                                                                       (фамилия, имя, отчество)

 

факультет ______ГМУ__________________ курс ____3_________  группа _____327_____

зач. книжка № __________________________

 

Преподаватель ___________________________

     (звание, степень, фамилия, имя, отчество)

 

 

 

 

Челябинск – 2013

 

Задание 1

Решить задачу графическим методом

ВР – 8

Финансовый консультант  от «Вили-Макен» консультирует клиента  по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства в  два наименования акций крупных  предприятий в составе группы «Хансон», многонационального конгломерата компаний, представленных в горнодобывающей, химической отраслях, а также табачной промышленности. Анализируются акции «Хансон-Иквити» и «Фар-Ист». Цены на акции следующие:

- «Хансон-Иквити» –  6 ден. ед. за акцию; - «Фар-Иств  – 4 ден. ед. за акцию.

Всего в наличии имеются 30 000 ден. ед., направленные на инвестиции в эти акции. Клиент уточнил, что  он хочет приобрести максимум 6000 акций  обоих наименований, при этом акций  одного из наименований должно быть не более 5000 штук. И, наконец, по оценкам «Вили-Максн», прибыль от инвестиции в эти дм акции в следующем году составит:

- «Хансон-Иквити» –  1,20 ден. ед.; - «Фар-Ист» – 1,00 ден.  ед.

Задача консультанта состоит в том, чтобы выдать клиенту  рекомендации по оптимизации прибыли  от инвестиции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

X₁ - количество акции «Хансон-Иквити»

X₂ – количество акций «Фар-Ист»

 

F_(x)= 1,2 x₁ + x₂ ® max

 

          6 x₁+4x₂ £ 30000

          x₁+x₂  £ 6000

          x₁ £ 5000

          x₂ £ 5000

 

         x₁, x₂ ³ 0

 

Поиск оптимального значения целевой функции

 

Построение ОДР (области  допустимых решений) системы ограничений

 

          6 x₁+4x₂ = 30000

          x₁+x₂  =6000

          x₁ = 5000

          x₂ =5000

 

x₁, x₂ ³ 0, следовательно ОДР находится в 1-м квандранте координатной плоскости (1), (2).

 

Определение полуплоскости  решения 1-го неравенства 6 x₁+4x₂ = 30000 (3)

 

X1	0	5000
X2	7500	0

 

2-е неравенство  x₁+x₂  =6000 (4)

 

X1	0	6000
X2	6000	0

 

3-е неравенство   x₁ = 5000 (5)

Прямая параллельная  оси Y

 

4-е неравенство x₂ =5000 (6)

Прямая параллельная оси X

 

Определение направления  возрастания целевой функции F_(x)

 

Построение вектора-градиента

 

F_(x)= 1,2 x₁ + x₂

 

ABCDO – ОДР (область допустимых решений)

 

Вектор-градиент

Начало – (.)  О (0;0)

Конец – (.) q (1,2; 1)

 

Построение линии уровня – перпендикулярно вектору-градиенту

 

F_(x)= const = a

1,2 x₁ + x₂= a

a=0

1,2 x₁ + x₂= 0

 

X₁=

 

X1	0	-1
X2	0	1,2

 

Линия уровня проходит через  (.) (0;0) и (.) (-1; 1,2)

 

Определение граничной  точки, в которой целевая функция  принимает максимальное значение.

Перемещение нулевого уровня по направлению вектора-градиента, до достижения точки,  через которую  линия покидает ОДР

 

(.) C (x₁; x₂)

 

         6 x₁+4x₂ = 30000

          x₁+x₂  =6000

 

         D = ½ ½= 6-4=2

        D_x1= ½ ½=30000-24000=6000

 

         D_x2= ½½=36000-3000=6000

 

        x₁=    = = 3000

 

        

        x₂=    = = 3000

 

(.) С (3000;3000)

 

F_(x)= 1,2 x₁ + x₂

 

F_(x)= 1,2 *3000 + 1*3000= 6600

 

Вывод: максимальная прибыль составит 6600 ден. ед. при приобретении акций  «Хансон-Иквити» в количестве 3000 шт. и «Фар-Ист» в количестве 3000 шт.

 

 

 

 

Задание 2

Фирма рекламирует свою продукцию с использованием четырех  средств: телевизора, радио, газет и рекламных плакатов. Маркетинговые исследования показали, что эти средства приводят к увеличению прибыли соответственно на 10, 5, 7 и 4 доллара в расчете на 1 доллар, затраченный на рекламу. Распределение рекламного бюджета по различным видам рекламы подчинено следующим ограничениям: 
 
а) Полный бюджет составляет 500000 долларов; 
 
б) Следует расходовать не более 40% бюджета на телевидение и не более 20% бюджета на рекламные щиты; 
 
в) Вследствие привлекательности для молодежной части населения различных музыкальных каналов на радио по этой позиции следует расходовать по крайней мере половину того, что планируется на телевидение.

 
Сформулировать и решить задачу распределения средств по различным  источникам как задачу линейного программирования и решить ее.

 

 

Решение:

 

 

Математическая модель

X₁ - количество средств, затраченных на телевидение

X₂- количество средств, затраченных на рекламные плакаты

X₃- количество средств, затраченных на радио

X₄- количество средств, затраченных на газеты

 

Соответственно ожидаемая прибыль (целевая функция) от рекламы составит:

F_(x)=  10x₁ + 4x₂ + 5x₃ +7 x₄ ® max

Система ограничений

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ £ 500000

x₁ £ 200000

 x₂ £ 100000

 x₃ ³ 100000

 x₄ £ 100000

x₁ ,x₂ , x₃ , x₄ ³ 0

Решение получено с помощью  пакета «Поиск решения»  программы  EXCEL

x₁ ,x₂ , x₃ , x₄ – изменяемые ячейки

 

X1	200000
X2	0
X3	200000
X4	100000
Целевая функция	=10*B1+4*B2+5*B3+7*B4
ограничения
=B1+B2+B3+B4	500000
=B1	200000
=B2	100000
=B3	100000
=B4	100000
=B1	0
=B2	0
=B3	0
=B4	0

 

 

 

Результат расчетов:

x₁ = 200000

x₂ = 0

x₃ = 200000

x₄ = 100000

F_(x)=  10x₁ + 4x₂ + 5x₃ +7 x₄ = 10* 200000 + 4*0 + 5*200000 + 7*100000 = 3700000

Вывод: максимальная прибыль от рекламы составит  3700000  долларов, при распределении бюджета следующим образом: телевизор – 200000 долларов, радио 200000 долларов, газет 100000 и рекламных плакатов – 0 долларов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 3

Имеется динамика прибыли  торгового предприятия (табл. 1).

Дата	100 INR к 1 RUR
07.11.2012	57,6805
08.11.2012	57,7765
09.11.2012	57,7984
10.11.2012	57,8655
13.11.2012	57,4068
14.11.2012	57,6347
15.11.2012	57,8321
16.11.2012	57,7003
17.11.2012	57,7959
20.11.2012	57,6143
21.11.2012	57,1595
22.11.2012	56,8463
24.11.2012	56,2009
27.11.2012	55,7865
28.11.2012	55,6343
29.11.2012	57,0919
30.11.2012	56,2975
01.12.2012	56,5184
04.12.2012	56,4513

 

 Необходимо провести следующие исследования при помощи аналитического пакета "VSTAT":

1. Определить наличие аномальных уровней
2. Используя метод автоматического расчета построить все возможные модели;
3. На основании одной лучшей модели исследовать:

-  адекватность (RS_н=3,18 RS_в=4,5; d_н=1,18 d_в=1,4);

- точность;

- построить прогноз на два шага вперед с доверительной вероятностью 95% ( t_табл=1,383);

- Результаты отобразить на графике

 

Решение:

1. В результате  проведенного  анализа с помощью пакета статистических  программ "VSTAT" наличие аномальных уравнений не обнаружено.

2. Построение моделей:

а) Кривые роста представлены в таблице 2:

 

Таблица 2 – Кривые роста

Функция	Критерий	Эластичность
Y(t)=+58.159-0.105*t	0,22	-0,02
Y(t)=+58.036-0.070*t -0.002*t*t	0,23	-0,02
Y(t)=+56.834+1.477/t	0,47	0,00
Y(t)=1./(+0.017+0.000*t)	0,22	0,02
Y(t)=1./(+0.018-0.001*exp(-t))	0,54	0,00
Y(t)= +58.166*exp(-0.002*t)	0,22	-0,02
Y(t)= +58.412-0.629*ln(t)	0,32	-0,01
Y(t)= (+58.041)*(+0.999)**t*(+1.000)**(t*t)	0,23	0,00
Y(t)= (+58.166)*(+0.998)**t	0,22	-0,02
Y(t)=0+0/ln(t)	-1,00	0,00
Y(t)= (+58.425)*t**(-0.011)	0,32	-0,01
Y(t)= +57.343-0.217*t+0.644*sqr(t)	0,22	-0,02
Y(t)= t/(-0.002+0.018*t)	3,51	-0,01
Y(t)= +56.830*exp(+0.026/t)	0,47	0,00
Y(t)= +57.766-0.005*t**2	0,23	-0,02
Y(t)= +56.574+1.785*t**1-0.867*t**2+0.183*t**3-0.018*t**4+0.001*t**5-0.000*t**6	0,11	-0,05
Выбрана функция Y(t)= +56.574+1.785*t**1-0.867*t**2+0.183*t**3-0.018*t**4+0.001*t**5-0.000*t**6

 

б) В качестве базы моделей  пакет статистических программ "VSTAT" предлагает модели, представленные в таблице 2.

 

 

Таблица 3 – Характеристики базы моделей

Характеристики  базы моделей
Модель	Адекватность	Точность	Качество
Y(t)= +56.574+1.785*t**1-0.867*t**2+0.183*t**3-0.018*t**4+0.001*t**5-0.000*t**6	24,26	86,99	71,31
Метод Брауна(+0.625)	41,65	54,59	51,35
Метод Хольта(+0.749, +0.000)	61,00	61,39	61,29
АР(0, 1)	41,14	58,60	54,23
АРИСС(0, 1,1)	62,28	61,43	61,64
ОЛИМП(0, 1)	45,45	0,00	11,36
Лучшая модель Y(t)= +56.574+1.785*t**1-0.867*t**2+0.183*t**3-0.018*t**4+0.001*t**5-0.000*t**6

 

Докажем адекватность лучшей модели.

Модель адекватна, если выполняется все 4 свойства остаточной компоненты одновременно. Отчет аналитического пакета содержит две таблицы, характеризующие  остаточную компоненту: таблица 4 и таблица 5.

Модель считается адекватной, если выполняется четыре свойства остаточной компоненты одновременно.

1. Математическое ожидание остаточной компоненты должно быть равно нулю.

Свойство выполняется (см. табл. 5 строка 1)

2. Уровни остаточной компоненты должны быть случайны:

Фактические поворотные точки определены таблицей 4. В данной задаче 9 поворотных точек.

Фактическое число поворотных точек сравнивают с расчетным  числом поворотных точек Р_расч.

Р_расч.= 7.

Вывод:  фактическое число поворотных точек больше расчетного, следовательно, свойство выполняется.

 

Таблица 4 – Таблица остатков

Таблица остатков
номер	Факт	Расчет	Ошибка  абс.	Поворотные  точки
1	57,68	57,66	0,02
2	57,78	57,87	-0,09	1
3	57,80	57,77	0,03	0
4	57,87	57,64	0,22	1
5	57,41	57,61	-0,21	1
6	57,63	57,68	-0,04	0
7	57,83	57,77	0,06	1
8	57,70	57,81	-0,11	1
9	57,80	57,74	0,06	0
10	57,61	57,51	0,11	1
11	57,16	57,15	0,01	1
12	56,85	56,72	0,13	1
13	56,20	56,31	-0,11	0
14	55,79	56,04	-0,25	0
15	55,63	55,99	-0,35	1
16	57,09	56,19	0,90	1
17	56,30	56,55	-0,25	0
18	56,52	56,78	-0,26	1
19	56,45	56,33	0,12