Аппроксимация кривых разгона методом площадей

- перерегулирование, представляет собой максимальное отклонение регулируемой величины от заданного значения

Иногда  перерегулирование задается в %, .

• время регулирования tp, определяет быстродействие системы и равно 
  времени, в течение которого отклонение регулируемого параметра от 
  заданного  значения  сделается   меньше  определенной   величины  ΔY. 
  Иногда задается отклонение в пределах ± 5% Y₀.
• степень затухания переходного процесса - отношение разности двух 
  соседних амплитуд одного значения к большей из них.

Оптимальные настройки регулятора обеспечивают:

• интенсивное затухание переходного процесса;
• наименьшее отклонение процесса от заданного уровня;
• минимальную продолжительность регулирования.

Эти требования тем лучше удовлетворяются, чем меньше площадь, ограниченная кривой переходного процесса (рис. 20, б). Отсюда вытекает интегральный критерий оптимальности настройки регулятора для апериодических или слабоколебательных процессов[14].

 

(75)

 

Для колебательных процессов используется в качестве оценки

(76)

 

Известная формула преобразования Лапласа  связывает функцию времени Y(t) и ее изображение Y(p):

 

(77)

 

Отсюда следует  другое известное соотношение:

 

.

(78)

 

При скачкообразном воздействии на систему:

 

.

(79)

 

Передаточная  функция одноконтурной системы  регулирования относительно возмущения х( t) определяется выражением:

 

(80)

 

Тогда, согласно (78), (79)

 

(81)

Для   различных   типов   регуляторов,   с   учетом   выражений   для   их передаточных (58), (60), (62) можно получить:

для систем с И – регулятором

(82)

 

для систем с ПИ и ПИД регуляторами

(83)

 

где Kf и Кμ - коэффициенты передачи объекта по соответствующим каналам.

Из последних  формул следует, что для минимизации  линейного интегрального критерия следует стремиться к возможно большему значению коэффициента передач И - регулятора или к возможно большему отношению Кп/Ти для ПИ и ПИД – регуляторов

(84)

При вычислении линейного интегрального  критерия для систем с П-регулятором, прежде чем совершать предельный переход (84) следует из изображения переходной характеристики вычесть изображение ее установившегося значения Yуст/р, где

(85)

Отсюда  следует, что для минимизации  остаточной неравномерности следует установить возможно большее значение коэффициента передачи регулятора. Важным положительным свойством линейного интегрального критерия является его инвариантность относительно выбора возмущений, по каналам действия которых минимизируется критерий. Иначе говоря, выполнение условий (84) гарантирует минимизацию критерия относительно всех действующих на объект возмущений, как контролируемых, так и неконтролируемых.

На  практике для ПИ - регулятора оптимальную  точку настройки берут несколько правее точки, соответствующей максимуму Кр/Ти (рис.19). Примерно можно считать, что ω_р = 1.2ω₀, где ω_р - частота регулирования, а ω₀ - частота соответствующая максимальному значению настройки регулятора. Для ПИД - регулятора стремятся иметь максимальное отношение Кр/Ти при отношении времени предварения к времени изодрома близкое к Тд/Ти = 0.5.

Приближенные  оценки оптимальных параметров настроек регуляторов даны в [2, 19].

При использовании  квадратичного интегрального критерия (76) условие его минимизации записывается в виде [14]:

(86)

Интегральный  квадратичный критерий не инвариантен относительно возмущений, действующих по различным каналам. Поэтому может сказаться, что параметры настройки, минимизирующие этот критерий при действии одного возмущения, не будут оптимальны по отношению к другим возмущениям.

Приближенные оценки оптимальных параметров настроек регуляторов даны в [2, 21].

 

5.3. Расчет запаса  устойчивости по величине максимума  АЧХ замкнутой системы

 

Запас устойчивости системы характеризуется степенью удаления АЧХ от точки {-1, j0} и измеряется двумя параметрами: запасом устойчивости по модулю (С) и запасом устойчивости по фазе (γ) (рис.21).

Степень удаления АФХ разомкнутой системы  от точки {-1, j0} может быть определена по величине максимума АЧХ замкнутой системы [14]. Чем больший максимум имеет АЧХ замкнутой системы, тем ближе АФХ разомкнутой системы к точке {-1, j0} и, следовательно, тем меньший запас устойчивости имеет система.

На рис.22. 1 - АЧХ  системы с неколебательными переходом процессом, 2 - с колебательным переходным процессом, 3 - на границе устойчивости. Колебательность М = Аmax/А₀, или (68). Кривая, удовлетворяющая условию М = const является окружностью с радиусом , а центр находится на отрицательной вещественной полуоси на расстоянии от начала координат (рис.23).

Эти окружности удовлетворяют свойствам:

• угол наклона   между касательной, проведенной из начала координат к 
  М - окружности и отрицательной действительной полуосью равен

• перпендикуляр из точки касания Р касательной и М - окружности к 
  действительной оси пересекает ее отрицательную ветвь в точке {-1}.

На  основании этих свойств М - окружностей  для выбора параметров разомкнутой САР, обеспечивающих заданное значение максимума АЧХ замкнутой САР относительно управляющего воздействия, выполняют следующее:

• строят в комплексной плоскости АФХ разомкнутой  системы (обычно для Кр = 1).
• проводят луч ОЕ из начала координат плоскости W(jω) под углом к отрицательной действительной полуоси.
• подбирают окружность с центром на отрицательной ветви действительной оси, касающуюся одновременно АФХ разомкнутой системы и луча ОЕ.
• Проводят перпендикуляр к действительной оси из точки касания найденной окружности и луча ОЕ и определяют координату точки пересечения перпендикуляром действительной оси: {-А}.
• рассчитывают по соотношению I = 1/А, во сколько раз нужно изменить масштаб построения, чтобы выполнить условие . На практике проводят расчет из условия обеспечения величины 2,38 > М > 1,55, что 
  соответствует в системе второго порядка 0,221 < m < 0,368 (0,75 <у< 0,9).

Рассмотрим   особенности   построения   АФХ   систем   с   регуляторами различных типов.

 

5.3.1. АФХ системы с П – регулятором

 

(87)

 

Каждый вектор АФХ, не меняя своего направления, увеличивается в Кр раз (рис.24). Устойчивость ухудшается, т.к. кривая приближается к точке {-1, j0}.

Рис.24

 

5.3.2. АФХ системы с И – регулятором.

 

(88)

 

Отсюда  следует, что для построения W(jω) требуется изменить длину векторов W(jω) в Кр/ω раз и повернуть их по часовой стрелке на угол 90°. Соединяя концы этих векторов кривой, получим график W(jω) (рис. 25).

Рис.25

И - регулятор может устойчиво  регулировать только объекты с самовыравниванием. АФХ объектов без самовыравнивания с И - регулятором всегда охватывает точку {-1, j0}.

 

5.3.3. АФХ системы с ПИ –  регулятором

 

(89)

 

при Кр = 1.

 

Для получения АФХ разомкнутой  системы с ПИ - регулятором при Кр = 1 и некотором Ти следует к каждому вектору характеристики объекта добавить вектор длиной ΔА = А₀/(ωТи ), повернутый на 90° по часовой стрелке (рис. 26, а).

Критическая величина Кр.кр для выбранного Ти равна обратной величине отрезка, отсекаемого характеристикой W(jω) на отрицательной вещественной полуоси (рис. 26, а).

Производя построение для различных времен изодрома Ти по изложенной методике и определив соответствующие им Кр.кр можно в плоскости параметров настроек Кр - Ти построить границу области устойчивости и определить оптимальное значение Ти (рис. 26, б).

Рис.26

 

5.3.4. АФХ системы с ПИД - регулятором.

 

(91)

 

при Кр = 1.

 

(92)

 

АФХ разомкнутой системы  с ПИД - регулятором строятся также, как и АФХ для ПИ - регулятора. Строго говоря, необходимо строить семейство кривых при различных отношениях Тд/Ти. Однако учитывая, что оптимальным соотношением для ПИД - регулятора является Тд/Ти = 0.5, достаточно построить семейство АФХ при этом значении. Необходимо также учесть, что добавочные векторы поворачиваются на 90° по часовой стрелке до частоты ω₀, определяемой из условия . При больших частотах знак фазового сдвига меняется, т.е. добавочный вектор поворачивается против часовой стрелки. На частоте ω = ω₀ , введение дифференцирующего звена в закон регулирования приводит к уменьшению фазовых сдвигов, что повышает устойчивость системы. Необходимо также учитывать, что к АФХ системы с ПИД - регулятором можно провести две касательные окружности в области высших и низших частот.

Рис.27

 

5.3.5. Пример расчета настройки ПИ  – регулятора.

 

Определить  параметры оптимальной настройки  ПИ - регулятора температуры электропечи, обеспечивающие при запасе устойчивости М = 1.62 минимальное значение линейного интегрального критерия J.

Динамические  свойства объекта по каналу регулирующего воздействия заданы вещественной и мнимой частями АФХ (табл. 2) при Ко = 84мВ, АФХ системы с ПИ - регулятором определяется уравнением

 

(93)

или при Кр = 1

 

(94)

 

По  изложенной выше методике строим АФХ  разомкнутой системы для Кр=1 и Ти=1,1.5,2,3 мин. и выполняем все дополнительные построения (рис.28).

Рис.28

 

В результате построений получаем:

А =10.4	Ти = 3 мин
А =12.9	Ти = 2 мин
А =14.6	Ти = 1.5 мин

 

отсюда

 

Таблица 2.

ω, 1/мин	R(ω), мВ	J(ω)		ω, 1/мин	R(ω), мВ	J(ω)
0.25	42.4	-43.2		1.5	-6.6	-8.8
0.4	18.4	-32		2.0	-6.2	-5
0.75	0	-21.2		2.62	-5.1	-2.4
1.0	-4.2	-15.6		5.2	-2.08	0

 

Кроме того,

По  этим данным строим кривую в плоскости  параметров настройки регулятора (рис.28, б). Минимуму линейного интегрального критерия отвечает условие (Кр/Ти)мах. Таким образом, оптимальные настройки определяется значениями