Аппроксимация кривых разгона методом площадей

 

П - регуляторы называют статическими. Они  могут устойчиво регулировать работу практически всех объектов. Их отличает простота реализации. Однако они обладают статической ошибкой, величина которой зависит от нагрузки объекта.

Пропорционально - интегральный, или ПИ - закон регулирования описывается уравнением:

 

,

(59)

 

где Ти – время  изодрома.

Регулирующее  воздействие пропорционально отклонению и интегралу отклонения регулируемой величины.

Передаточная функция ПИ – регулятора

.

(60)

 

ПИ – регулятор  называют изодромным. ПИ - регуляторы отличаются простотой конструкции, позволяют устойчиво и без статической ошибки регулировать работу большинства промышленных объектов, вследствие чего получили наибольшее применение в практике.

Пропорционально - интегральный закон с введением  производной, или ПИД - закон регулирования. Описывается уравнением:

 

,

(61)

 

где Тд – время предварения.

Передаточная  функция

 

.

(62)

 

ПИД регуляторы называют регуляторами с предварением.

Введение  в закон регулирования производной  позволяет повысить устойчивость системы регулирования, уменьшить время регулирования, улучшить другие ее качественные показатели.

 

4.3. Реализация законов регулирования

 

Сформировать  необходимый закон регулирования  можно двумя способами. Первый способ состоит в том, что необходимая передаточная функция получается в результате суммирования передаточных функций усилительных, интегрирующих и дифференцирующих звеньев. При втором способе необходимая передаточная функция получается охватом звеньев регулятора звеном обратной связи с определенной передаточной функцией. Рассмотрим эти способы на примере реализации ПИД - закона регулирования.

Из  выражения для передаточной функции  для ПИД - закона (62) следует, что ее можно получить как сумму передаточных функций трех звеньев: усилительного, интегрирующего и дифференцирующего (рис.16).

 

Рис.16

При реализации других законов регулирования (П, ПИ, И) нужно использовать соответствующие комбинации звеньев.

Основными элементами регулятора, с помощью  которых формируется закон регулирования, являются измерительные устройств усилители, исполнительные механизмы и звенья обратной связи.

Допустим  регулятор состоит из усилителя и сервомотора.

Рис.17

 

Усилитель - безынерционное звено  с передаточной функцией Wy = К. Сервомотор - интегрирующее звено с передаточной функцией Wcm = 1/(Тср), где Тс - время перестановки регулирующего органа из одного крайнего положения в другое. Чтобы реализовать ПИД - закон регулирования, включим обратную связь. Рассмотрим два способа: обратной связью охвачен усилитель (рис.17, а) и обратной связью охвачены усилитель и сервомотор (рис. 17, б).

Как известно, передаточная функция звена, охваченного обратной связью, при К >> 1 равна . Поэтому, в первом случае передаточная функция регулятора

.

(63)

Для ПИД закона:

.

(64)

Отсюда

или .

(64)

 

Таким образом, в обратную связь нужно  включить колебательное звено с коэффициентом усиления , временем изодрома Ти и временем предварения .

Во  втором случае:

 

Это выражение можно привести к следующему:

 

(65)

 

где , .

Т.е. в обратную связь нужно включить последовательно  соединенные апериодическое и реальное дифференцирующее звенья.

Таким же образом можно сформировать и  любые другие законы регулирования.

При использовании промышленных регуляторов  на основе микропроцессорной техники (Ремиконт, Ломиконт и др.) необходимый закон регулирования устанавливается программно.

 

 

 

5. Оптимальная настройка регуляторов

 

5.1. Критерии оптимальной настройки  регулятор

 

Система автоматического регулирования  должна удовлетворять двум основным требованиям [14]:

1. Система должна обладать достаточным запасом устойчивости.
2. В пределах запаса устойчивости не менее заданного, качество регулирования должно быть наилучшим в сформулированном смысле.

В соответствии с этим расчет оптимальной настройки  регулятора состоит из определения в пространстве параметров настроек области, в которой система обладает необходимым запасом устойчивости и нахождения в этой области точки, обеспечивающей наилучшее качество регулирования.

Запас устойчивости системы может быть оценен величиной  m (степень колебательности) или величиной М (показатель колебательности), которые характеризуют затухание колебательной составляющей переходного процесса и связаны однозначной зависимостью со степенью затухания Ψ:

(66)

 

где A₁ и А₃ – первая и третья амплитуды колебания.

Устойчивость  системы автоматического регулирования  полностью определяется расположением корней характеристического уравнения. Расположение же корней на комплексной плоскости можно характеризовать двумя величинами: расстоянием α наименьшего корня от мнимой оси и углом β, в который вписываются наиболее удаленные от вещественной оси комплексные корни (рис.18).

Рис.18

Величина  α характеризует степень устойчивости. Чем больше α, тем быстрее затухает процесс. Величина β (или γ) характеризует колебательность системы. Чем больше β, тем больше система склонна к колебаниям. Величина m определяется как

 

.

(67)

Величина  М определяется расстоянием максимума  АЧХ замкнутой системы от критической точки (-1; j0) и определяется по формуле:

 

(68)

где ω_с – частота среза,

  ωрез – частота, на которой  АЧХ замкнутой САР максимальна.

В табл. 1 приведены некоторые соответствующие  значения параметров Ψ, m и М для САР, описываемых дифференциальными уравнениями не выше второго порядка.

Таблица 1.

Ψ	0.65	0.7	0.75	0.8	0.85	0.9	0.95
m	0.167	0.192	0.221	0.262	0.318	0.366	0.398
М	3.09	2.7	2.38	2.09	1.8	1.55	1.29

 

Учитывая сказанное  выше, для обеспечения заданного  времени затухания процесса регулирования и заданной колебательности необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения были расположены внутри заштрихованной области.

Существуют  два основных способа расчета  оптимальных настроек регулятора, в зависимости от того, какой параметр запаса устойчивости задан: m или М. Если задана степень колебательности т, то расчет ведется методом расширенных амплитудно - частотных характеристик. Если задан показатель колебательности М, то расчет ведется по максимуму АЧХ замкнутой системы.

 

5.2. Расчет запаса  устойчивости методом расширенных  амплитудно - частотных характеристик

 

Расчет  системы на заданную степень колебательности производится по расширенным АФХ. [1, 17]. Расширенные АФХ W(m, jω) получаются подстановкой в выражение для передаточной функции W(p) .

Согласно обобщенному  критерию Найквиста - Михайлова, переходный процесс в системе не будет содержать составляющих со степенью затухания менее заданной, если обеспечивается условие:

 

(69)

 

где Wо(m, jω) и Wp(m, jω) - расширенные АФХ объекта и регулятора.

Это уравнение является исходным при  расчете границы запаса устойчивости в пространстве параметров настройки регулятора.

 

5.2.1. П, И, ПИ - законы регулирования

 

Для ПИ - регулятора расширенная АФХ имеет вид

 

(70)

 

Подставив это выражение в (69), разделив мнимую и вещественную части и решив относительно параметров Кр/Ти, Кр, получим в общем виде:

 

	(71)
	(72)

 

где Ао (m, ω) - расширенная АЧХ объекта,

 Fo (m, ω) - расширенная ФЧХ объекта.

Затем строим кривую в плоскости параметров Кр/Ти, Кр.

Рис.19

 

Область ограниченная этой кривой и прямыми  Кр = 0, Кр/Ти = 0, является областью заданного запаса устойчивости. При m = 0 кривая ограничивает область устойчивости системы.

П и  И - регуляторы являются частным случаем  ПИ - регулятора. Для П - регулятора это точка 2, ω = ω₂. Для И - регулятора - точка 1, ω = ω₁ (рис. 19).

 

5.2.2. ПИД - закон регулирования

 

Расширенная АФХ для ПИД - регулятора имеет вид:

 

(73)

 

Уравнение для параметров настройки запишутся  в виде:

 

	(74)

 

Состояние системы с ПИД - регулятором определяется тремя варьируемыми переменными: Кр, Кр/Ти, Кд∙Тд и граница заданного запаса устойчивости в общем случае изображается поверхностью в 3-х мерном пространстве. В практических расчетах строят семейство кривых равного затухания в координатах { Кр/Ти, Кр } при различных Кд∙Тд. Для каждого случая определяют оптимальные параметры и выбирают наилучшие в результате анализа качества полученных переходных процессов.

 

5.2.3. Расчет оптимальной настройки

 

После того как определена область заданного  запаса устойчивости, нужно определить в этой области параметры регулятора, которые обеспечат наилучшие качественные показатели, т.е. оптимальные настроечные параметры.

Качество процессов  автоматического регулирования  оценивается переходными процессами при ступенчатом воздействии на входе. По переходным функциям (рис.20) можно получить основные показатели качества регулирования.

Рис.20

 

К основным параметрам качества относятся:

- статическая ошибка Yст, как остаточное отклонение регулируемого 
от заданного значения Y₀.