Аппроксимация кривых разгона методом площадей

 

Это выражение  трансцендентно, поэтому прямо определить Т₂ нельзя. Оно может быть найдено как абсцисса точки пересечения двух функций:

 

	(33)
	(34)

В более сложных  случаях, когда объект описывается  уравнением выше второго порядка, используют один из перечисленных выше методов определения передаточных функций по кривой разгона.

Достаточно  прост и позволяет получить удобные для последующих расчетов выражения, метод последовательного логарифмирования [21].

 

3.2.4. Определение  передаточной функции методом  последовательного логарифмирования

 

В  общем  случае  исследуемый  объект  описывается  линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами:

.

(35)

 

Если   корни   характеристического   уравнения   имеют   действительные отрицательные значения, то его решение

 

(36)

 

Для определения коэффициентов Нк и Тк применим метод последовательного логарифмирования, который заключается в последовательном приближении функции h(t) решением уравнения первого порядка, т.е. функции

 

.

Если  такая аппроксимация не удовлетворяет  на каком-то отрезке времени, то рассматривается вторая составляющая

.

Итак, полагаем, что

,

или

.

(37)

Прологарифмируем  это выражение

.

(38)

Вычисляем . Логарифмируем и строим график в десятичных логарифмах функции In | hi(t) | в зависимости от t

 

.

(39)

 

Проводим асимптоту  к полученной кривой (рис.15). На оси  ординат она отсекает отрезок, равный lgH₁ - при t = 0. Отсюда определим H₁.

Величина 1/T₁  равна тангенсу наклона асимптоты к оси абсцисс

 

(40)

где t₁ – точка пересечения с осью времени.

 

Рис.15

Если  проведенная асимптота не совпадает  со всеми значениями lg|h₁(t)|, повышаем порядок дифференциального уравнения

(41)

 

Логарифмируем h₂(t) и строим график lg|h₂(t)|. Аналогично определяем Н₂ и T₂. Процесс прекращается, когда h_n(t) = 0. При правильно определенных параметрах должны выполняться условия:

 

,
.	(42)

 

Продифференцируем уравнение переходной функции.

 

.

(43)

 

Преобразуем функцию по Лапласу

 

(44)

Отсюда,

 

(45)

 

Если объект обладает запаздыванием, то коэффициенты Нк, Тк определяются по переходной функции, из которой выделено чистое запаздывание.

.

(46)

 

При расчете удобно пользоваться таблицей по форме:

 

t(c)
h(t)
h1(t)
lg|h1(t)|
H1e-t/T
h2(t)
lg|h2(t)|

 

3.2.5. Определение  передаточной функции объекта  методом площадей

 

Одним из наиболее удобных методов расчета  передаточных функций по кривой разгона с использованием ЭВМ является метод "площадей".

Рассмотрим функцию  h(t), которая получена из экспериментальной 
переходной функции объекта исключением чистого запаздывания и нормировки. Пусть h(0) = h'(0) = 0.

Обычно выражение  для передаточной функции ищут в виде одной из трех математических моделей:

	(47)
	(48)
	(49)

Выражение , обратное передаточной функции модели, можно разложить в ряд по степени р

 

(50)

 

Очевидно, что для модели (47) a₁ = S₁, a₂ = S₂, а₃ = S₃; для модели (48) a₁ = S₁, a₂ = S₂; для модели (49) коэффициенты b_i, a_i, i = 1,2,3... связаны с коэффициентами S_i системой уравнений

 

(51)

 

Коэффициенты  S_i связаны с переходной функцией h(t) соотношениями:

,
,
,	(52)
.

 

Моментом i - го порядка функции (1 - h(t)) называется несобственный интеграл

 

.

(53)

 

Тогда формулы  для S можно переписать:

 

,
,
,	(54)
.

 

Таким образом, определив по графику h(t) значение моментов M_i методом численного интегрирования и вычислив величины S_i, можно найти значения коэффициентов передаточной функции.

Выбор вида передаточной функции производится из следующих соображений: если коэффициенты S₁, S₂, S₃ положительны, то задаются моделью (47) или (48). Если хотя бы один из них отрицателен - моделью (49).

Ниже  приведен пример программы расчета  значений коэффициентов S_i, i = 1...4, составленной на алгоритмическом языке Бейсик [9]. В программе N - число координат передаточной функции; X -шаг Δt во времени; P(I) - значение ординат функции h(t). Вычисление моментов M_i, i = 0....3 производятся по дискретным значениям переходной функции по формулам трапеций.

 

010 READ N,X

020 DIM P[30]

030 DIM Z[30]

040 LET M0 = M1 = M2 = M3 = M4 = 0

050 FOR I = I TO N

060 READ P[I]

070 LET Z [I] = (1 - P[I]) ∙ X

080 LET M1 = M0 + Z[I]

090 LET T = (I-1)∙X

100 LET M1 =M1 + Z[I]∙T

110 LET M2 = M2 + Z[I] ∙ Т – 2

120 LETM3 = M3 + Z[I]∙T-3

130. NEXT I

140 LET S1 = M0-Z[I]/2

150 LET S2 = S1 - 2 - M1

160 LET S3 = S2 ∙ M0 - S1 ∙ M1 + M2 / 2

170 LET S4 = S3∙M0 - S2∙M1 + S1∙M2/2 - M3/6

180 PRINT " S1 = ", S1," S2 = ", S2

185 GOTO 190

190 PRINT " S3 = ", S3," S4 = ",S4

200 DATA 23,1

210 DATA 0,2.00000E - 02, .12, .24, .35, .45, .55, .62, .69, .76, .79

220 DATA .83, .87, .89, .92, .94, .95, .96, .97, .98, .99, .99, 1

230 END

 

READY

Перед обращением к программе из экспериментальной  кривой 
разгона необходимо определить время чистого запаздывания τ, затем 
провести дискретизацию по времени Δt и нормировку путем деления 
всех ординат на величину Y(N). Шаг квантования выбирается таким, 
чтобы между соседними отсчетами переходная формула была близка к 
прямой. Число отсчетов N обычно 25…30.

В заключение проверяется точность аппроксимации. Обычно принимают, что модель адекватна объекту, если разность между ординатами нормированных передаточных функций модели и объекта не превышает 0.05…0.07.

 

 

 

4. Выбор регулятора

 

4.1. Выбор типа регулирования

 

Тип регулирования выбирается с учетом свойств объекта и заданных параметров переходного процесса. К параметрам переходного процесса могут предъявляться различные требования. В одних случаях оптимальным является процесс с минимальным значением динамической ошибки, в других - с минимальным значением времени регулирования и т.д. Обычно выбирают один из трех типовых переходных процессов: граничный апериодический, с 20% перерегулированием, с минимальной квадратичной площадью отклонения.

Граничный апериодический процесс характеризуется отсутствием  перерегулирования, минимальным общим временем регулирования и наименьшим воздействием регулятора на объект (что вызывает наибольшее отклонение регулируемой величины от заданного значения). Такой переходный процесс используется в качестве оптимального при значительном влиянии регулирующего воздействия на другие технологические величины объекта, чтобы свести их отклонение к минимуму.

Процесс с 20% перерегулированием характерен большей величиной воздействия регулятора и меньшим отклонением, при этом время регулирования несколько возрастает. Этот процесс выбирают в качестве оптимального, когда допустимо небольшое перерегулирование.

Процесс с минимальной квадратичной площадью отклонения обладает значительным перерегулированием (до 40%), большим временем регулирования и наименьшей величиной динамической ошибки.

Ориентировочно  характер действия регулятора определяется   по отношению запаздывания   τ   к постоянной времени объекта Т.

При выбирается позиционное регулирование.

При выбирается непрерывное регулирование, либо импульсное.

При применяют многоконтурные системы регулирования и принимают меры по компенсации влияния запаздывания.

Более подробно вопрос выбора типа регулятора рассмотрен в [21], где приведены необходимые алгоритмы и таблицы.

 

4.2. Выбор закона регулирования

 

В зависимости  от типа уравнения связывающего величину отклонения регулирующей величины ε(t) и перемещение регулирующего органа Y(t) различают следующие законы регулирования.

Интегральный, или И - закон регулирования. Он описывается уравнением

 

,

(55)

 

где Ки – коэффициент  пропорциональности, численно равный скорости перемещения регулирующего органа на единицу измерения регулируемой величины.

Передаточная  функция И – регулятора

 

.

(56)

 

Регуляторы, у которых регулирующее воздействие  пропорционально интегралу отклонения регулируемого параметра, называют астатическими. И - регуляторы могут устойчиво регулировать работу лишь объектов с самовыравниванием.

Пропорциональный, или П - закон регулирования. Описывается уравнением

,

(57)

 

где Кп - коэффициент усиления регулятора, равен перемещению регулятора при отклонении регулируемой величины на единицу измерения.

Передаточная  функция П – регулятора

 

.

(58)