Аппроксимация кривых разгона методом площадей

Получим:

(9)

 

Разделив  все на F₀Q₀ , получим:

 

,

(10)

где  - постоянная времен и объекта,

- коэффициенты усиления по  каналам,

Используя прямое преобразование Лапласа, запишем  уравнение в операторной форме:

 

(11)

 

Передаточные  функции по каналам:

 

 

Уравнению (3) соответствует структурная схема:

 

Рис.7

 

Пример 2.[18] Составить дифференциальное уравнение системы, образованной двумя баками (рис.8), приняв в качестве входной величины изменение расхода жидкости на притоке Q₁, а выходной - изменение уровня h₂ во втором по ходу жидкости баке.

Рис.8

 

Площади поперечного  сечения баков S₁ и S₂.

Допустим,  что при  малых отклонениях  от исходного состояния равновесия расход Q₂ между баками пропорционален разности уровней h₁ и h₂, а расход О₃ не зависит от уровня h₂. Из условия материального баланса для баков получим:

(12)

 

Учитывая, что  получим

(13)

Продифференцируем по времени второе уравнение, учитывая, что Q₃ = const

 

(14)

 

Определив из (13)

 

и подставив  в (14), получим:

 

или

 

.

(15)

 

Пример  З. Теплообменник смешения (рис. 9).

Рис.9

 

В теплообменнике регулируется температура паров  продукта изменением количества холодной жидкости, подаваемой в теплообменник.

Обозначим:

Qs – количество тепла, поступающего в теплообменник с парами, ккал/мин;

Qx – количество тепла, поступающего в теплообменник с холодной жидкостью, ккал/мин;

Qa – количество тепла, уходящего из теплообменника с парами, ккал/мин;

Θ –  температура паров на выходе из теплообменника в °С;

Gп – весовое количество паров, проходящих через теплообменник в кг/мин;

G – весовое количество паров, содержащихся в теплообменнике в кг.

В стационарном состоянии приток и расход тепла  равны и температура остается постоянной. В случае изменения какого - либо количества тепла или одновременно всех количеств температура будет изменяться

 

,

(16)

 

где А - тепловая емкость объекта в  ккал /°С.

Положим, количество паров Gп, поступающих в теплообменник, и их температура остаются постоянными, т.е. Qs = 0, изменяется лишь количество тепла Qx, поступающего в теплообменник с холодной жидкостью. Тогда

 

.

(17)

 

Количество  тепла, уходящего из теплообменника с парами, пропорционально количеству и их температуре, т.е.

 

,

где С – удельная теплоемкость в ккал/кг∙°С,

      ΔΘ – отклонение температуры.

Тогда

.

(18)

 

Умножим и разделим члены левой  части уравнения на заданное значение температуры Θн, и все уравнение разделим на номинальное значение теплоты qхн.

,

(19)

или

где  – постоянная времени, в минутах,

 – степень самовыравнивания,

 

Пример 4. Резервуар для газа.

В аппарат V м подается газ под давлением Рн (Па) (рис.10). Из аппарата газ выходит в количестве Fp (кг/с) под давлением Р (Па). На линиях притока и расхода устанавливают вентили, площади переходных сечений которых равны Апр и Ар, м². Выходной величиной аппарата являются изменения давления Р, а входными переменными - изменение площадей А1, А2, и давления Рн.

Рис.10

Передаточные    функции    по    каналам    Z→Y,    Xпр→Y,    Xp→Y получаются в виде:

 

(20)

 

где 

R – газовая постоянная,

Тг – абсолютная температура газа.

 

Пример 5. Теплообменник.

Жидкий  продукт нагревается насыщенным паром (расход - Fп, кг/с) до температуры Тж, °С. Расход продукта через теплообменник равен Fж, его температура на входе Т'ж, удельная теплоемкость Сж, Дж/(кг∙град). Выходной величиной теплообменника является изменение Тж, входные величины - изменение расхода пара Fп, расход жидкого продукта Рж, и его температура Тж. (рис. 11).

Рис.11

 

Передаточные  функции теплообменника находятся  в виде:

по  каналу X →Y

 

.

(21)

 

по  каналу X₁ → Y

.

(22)

по  каналу Z → Y

(23)

где

Wж – масса жидкости в теплообменнике, кг,

Wcт – масса теплопроводящих стенок, кг,

А –  суммарная поверхность стенок, м ²,

Сст – теплоемкость стенок.

Выходная величина теплообменника в операторной форме

 

(24)

 

Уравнения динамики объектов химических производств  могут быть составлены с достаточной точностью лишь для сравнительно ограниченного числа входных и выходных величин. С усложнением взаимосвязи входных и выходных величин и при большом числе возмущений трудность математического описания объектов значительно возрастает. Это приводит к необходимости принятия ряда допущений, что снижает адекватность получаемого описания реальному объекту.

В инженерной практике свойства промышленных объектов (химические реакторы, ректификационные колонны, абсорберы и т.п.) обычно выявляют экспериментальным путем. Методы экспериментального определения динамических характеристик достаточно достоверны и доступны для эксплуатационных работников промышленных предприятий.

 

3.2. Определение передаточных функций  по кривой разгона

 

3.2.1. Снятие кривой разгона

 

Разгонная характеристика (кривая разгона) представляет собой график изменения регулируемой величины во времени в результате скачкообразного возмущения, приложенного к объекту. Наибольший практический интерес представляет исследование динамических свойств при возмущениях со стороны регулирующего воздействия.

Снимают кривую разгона следующим образом.

Объект  приводят в равновесное состояние, при котором все входные и выходные величины постоянны. Затем быстрым перемещением регулирующего органа (клапана, заслонки, регулятора мощности и т.д.) вносят скачкообразное возмущение. После этого записывают периодически результаты измерения выходной величины до тех пор, пока выходная величина не примет нового установившегося значения или пока не установится постоянная скорость ее изменения. По точкам отсчета строят кривую в координатах: выходная величина - время, которая и является кривой разгона. Для снятия кривой разгона удобно использовать самопишущие регистрирующие приборы с ленточной картограммой.

Различные возможные виды кривых разгона изображены на рис.12.

Рис.12

 

а) - без точки перегиба и с ненулевой начальной скоростью;

б) - с точкой перегиба и нулевой начальной скоростью;

в) - с чистым запаздыванием;

г) - для объектов без самовыравнивания.

Аналитическое выражение для кривой разгона  соответствует переходной функции, которая определяется известным преобразованием Лапласа

 

(25)

 

где W(p) - передаточная функция объекта.

Вид кривой разгона, таким образом, полностью  определяется видом передаточной функции объекта. И наоборот, если имеется экспериментально снятая кривая разгона, по ней можно определить выражение для передаточной функции.

В настоящее  время используют следующие методы определения функции по кривой разгона:

• метод площадей;
• метод дополнительных членов;
• метод последовательного логарифмирования;
• аппроксимация дифференциальными уравнениями;
• аппроксимация суммой элементарных звеньев;
• графический метод.

 

3.2.2. Определение передаточной функции  одноемкостных объектов

 

Одноемкостные объекты описываются дифференциальным уравнением первого порядка:

(26)

 

Передаточная  функция такого объекта:

 

(27)

 

В этом случае передаточная функция полностью  определена, если известны коэффициент усиления К и постоянная времени Т. Решение уравнения (26) представляет собой экспоненту и имеет вид:

 

(28)

 

Таким образом, если экспериментально полученная кривая разгона хорошо аппроксимируется экспонентой, то непосредственно по этой кривой можно получить параметры k и Т (рис.13).

Рис.13

 

Для описания астатического объекта  достаточно знать время запаздывания и установившуюся скорость изменения выходной величины К (рис.12г). Передаточная функция объекта без самовыравнивания

 

(29)

 

3.2.3. Определение передаточной функции двухемкостного объекта

 

Для кривой разгона (рис. 12б) объект относится  к многоемкостным и описывается дифференциальным уравнениям высшего порядка. В первом приближении можно попытаться описать данную кривую дифференциальным уравнением второго порядка

 

(30)

 

Здесь задача сводится к определению постоянных времени T₁ и Т₂. Решением уравнения будет

(31)

 

Для определения значений T₁ и Т₂ проводят касательную к кривой разгона в точке перегиба А (рис.14).

Рис.14

Величина под касательной ВС равна сумме постоянных времени

 

Величину Т₂ можно определить из выражения:

 

(32)