Парная регрессия и корреляция в эконометрических исследованиях. Спецификация модели

Линейный коэффициент  корреляции по содержанию отличается от коэффициента регрессии. Выступая показателем силы связи, коэффициент регрессии b, на первый взгляд может быть использован как измеритель ее тесноты. Из уравнений ŷ_x =5+ 2х и ŷ_z =9 =5+ 20z видно, что во втором случае результат у изменяется сильнее с ростом фактора на единицу — эта величина в 10 раз больше, чем в первом случае. Однако вывод о более сильном влиянии фактора z на результат у преждевремен. Величина коэффициента регрессии зависит от единиц измерения переменных, от размерности признаков. Если предположить, что х выражен в центнерах и = 20, а фактор по экономическому содержанию совпадает с фактором х, но выражен в тоннах, т. е. = 2, то понятно, что по данным обоих уравнений = 45, а разные значения коэффициентов регрессии обусловлены разными единицами измерения одного итого же фактора. Кроме того, коэффициенты регрессии — величины именованные, и потому несравнимы для разных признаков. Так, коэффициент регрессии по модели прибыли предприятия от состава выпускаемой продукции несопоставим с коэффициентом регрессии прибыли предприятия от затрат на рекламу

Сделать коэффициенты регрессии сопоставимыми по разным признакам позволяет определение аналогичного показателя в стандартизованной системе единиц, где в качестве единицы измерения признака используется его среднеквадратическое отклонение (σ). Поскольку коэффициент регрессии b имеет единицы измерения дробные (результат/фактор), то умножив его на среднеквадратическое отклонение фактора х (σ_x) и разделив на среднеквадратическое отклонение результата (σ_y), получим показатель, пригодный для сравнения интенсивности изменения результата под влиянием разных факторов. Иными словами, мы придем к формуле линейного коэффициента корреляции:

r_yx=b_y/x* σ_x/ σ_y

Его величина выступает в качестве стандартизованного коэффициента регрессии и характеризует среднее в сигмах (σ_y) изменение результата с изменением фактора на одну σ_x. Если связь прибыли с затратами на рекламу характеризуется коэффициентом корреляции r_yx = 0,7, то это Означает? что с ростом затрат на рекламу на одну сигму прибыль увеличивается в среднем на 0.7 сигмы.

Линейный коэффициент корреляции как измеритель тесноты линейной связи признаков логически связан не только с коэффициентом регрессии b, но и с коэффициентом эластичности, который является показателем силы связи выраженным в процентах. При линейной связи признаков х и у средний коэффициент эластичности в целом по совокупности определяется как т. е. его формула по построению близка к формуле линейного коэффициента корреляции ,

Как и линейный коэффициент корреляции, коэффициент эластичности сравним по разным признакам. Если Э_y/x = 0,8%, а Э_y/z= 0,2%, то можно заключить, что фактор х в большей мере влияет на результат у, чем фактор z, ибо с ростом х на 1% у возрастает на 0,8%, а с ростом z на 1% — только на 02%.

Несмотря на схожесть этих показателей, измерителем тесноты связи выступает линейный коэффициент корреляции (r_yx), а коэффициент регрессии (b_y/x) и коэффициент эластичности (Э_н/ч) — показатели силы связи: коэффициент регрессии является абсолютной мерой, ибо имеет единицы измерения, присущие изучаемым признакам у и х, а коэффициент эластичности — относительным показателем силы связи, потому что  выражен в процентах.

Пусть уравнение регрессии  составило: ŷ_x =—10 + 3х. При этом известно, что =20, тогда = 50. Коэффициент эластичности составит: Э_y/x= 3* 20/50 = 1,2%, т. е. с ростом на 1% возрастает в среднем на 1,2%. Предположим что σ_x = 2 , а σ_y = 8 тогда r_yx= 0.75, т.е. связь признаков достаточно тесная. Если же σ_y, примет значение 12, что соответствует более сильной колеблемости результата, тогда значение r_y/x окажется равным лишь 0,5 при том же значении коэффициента эластичности. Таким образом, при одной и той же величине коэффициента эластичности может быть разный коэффициент корреляции в зависимости от соотношения колеблемости х и у. Чем в большей мере колеблемость результата зависит от вариации фактора, т. е. чем ближе величина b σ_x к значению σ_y, тем теснее связь между признаками.

Для пояснения понятия  тесноты связи рассмотрим рис. 4.

Несмотря на всю важность измерителя тесноты связи в эконометрике больший практический интерес приобретает коэффициент детерминации r²_yx, ибо он дает относительную меру влияния фактора на результат, фиксируя одновременно и роль ошибок, т. е. случайных составляющих в формировании моделируемой переменной. Чем ближе коэффициент детерминации к 1, тем в большей степени уравнение регрессии пригодно для прогнозирования.

         Рис. а – полная корреляция: r_yx = 1; б – сильная корреляция: r_yx≈ 0,8 : 0,9; в – слабая корреляция: r_yx≈ 0,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2.

Зависимость объема производства у (тыс.ед.) от численности занятых х (чел.) по 15 заводам концерна характеризуется следующим образом:

 

Уравнение регрессии

Доля остаточной дисперсии  в общей дисперсии                                       20%

Задание.

Определите:

а) индекс корреляции;

б) значимость уравнения регрессии;

в) коэффициент эластичности, предполагая, что численность занятых  составляет 30 человек.

Прокомментируйте полученные результаты.

       А) Индекс корреляции:

= так как доля остаточной дисперсии, в общем, составляет 20% , т.е. δ²_ост/ δy²=0.2 =

       Б)  Значимость уравнения регрессии  проверим при помощи индекса  детерминации (К²) на основании F- критерия Фишера:

F_набл = R²/1-R² * (n-m-1)/m = 0.8/1-0.8 * (15-2-1)/2 = 24

При уровне значимости L=0,05 и x₁=2; К₂ = 15-2-1= 12 степенью свободы по таблице F – распределения Фишера находим F критерий (0,05; 2; 12)=3,88

F_набл>F_крит и иногда о равенстве нулю коэффициента корреляции отвергается

Уравнение систематически значимо.

       В)  Коэффициент эластичности находим по формуле Э = f^׳ `(x)* x/y

f``(x) = (30-0.4x+0.04x²) = 0.4+0.0yx

Э = (x(0.08x-0.4))/(30-0.4x-0.04x²)

Коэффициент эластичности при x = 30 равен;

Э (30) = ((30*(0,08*30-0,4))/(30-0,4*30+0,04*30² = 60/54 = 10/9 ≈ 1,11

 

 

Задание 3.

Изучается динамика потребления рыбы и морепродуктов в Калининградском регионе. С этой целью были собраны данные об объемах среднедушевого потребления рыбы и морепродуктов yt (кг) за 7 месяцев. Предварительная обработка данных путем логарифмирования привела к получению следующих результатов:

Месяц	1	2	3	4	5	6	7
	2,10	2,11	2,13	2,17	2,22	2,28	2,31

Задание:

1. Постройте уравнение экспоненциального тренда.
2. Дайте интерпретацию его параметров.

Уравнение экспонентного  тренда:

y = e^at+b

Найдем методом наименьших квадратов:

    lny = at+b система нормальных уравнений имеет вид:

Σlny_i = 7b+aΣt_i

Σt_ilny_i = bΣt_i + aΣt_i²

ti	lnyi	t2	tilnyi
1	2.1	1	2.10
2	2.11	4	4.22
3	2.13	9	6.39
4	2.17	16	8.68
5	2.22	25	11.10
6	2.28	36	13.68
7	2.31	49	16.17
28	15.32	140	62.34

Составим расчетную  таблицу:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  7b+28a = 15.32

28b+1400 = 62.34

Решаем методом Гаусса (исключаем неизвестные)

 7    28       15,32      14  2,1886

 28  140    62,34   28 140 62,34     

 

  14         2,2386    14    2,1886

0  28    1,06     01    0,0379

  

  10     2,0372   b ≈ 2.04 

01     0,0379   a ≈ 0.04

y = e ^0.04t+2.04 – искомое уравнение экспоненциального тренда морепродукта

       Потребление  в регионе устойчиво растет. Параметр b = 2,04 в данном исследовании говорит о том, что в начале исследования (к началу 1-го месяца) среднедушевое потребление а = 0,04 говорит о том, что ежемесячно потребление морепродуктов на душу населения растет в среднем на е^0,04 = 1,04 кг.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 4

1. Как называется метод оценивания параметров линейной регрессии, минимизирующий сумму квадратов отклонений наблюдений зависимой переменной от искомой линейной функции:

а) метод наименьших квадратов;

б) метод суммы квадратов  отклонений;

в) метод F-критерия Фишера.

     2.  Коэффициент  детерминации – это:

               а) среднее относительное отклонение  расчетных значений от фактических;

               б) квадрат  коэффициента или  индекса корреляции;

               в) уравнение связи двух переменных.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованных источников.

1. Практикум по эконометрике. учеб пособие / И.И. Елисеевой. С.В. Курышева Н.М. под ред. И.И. Елисеевой.- 2-е изд. перераб. И доп.- М.: Финансы и статистика, 2006.- 334 с.

2. Эконометрика в вопросах и ответах: учеб. пособие. – М:. ТК Велби, изд-во Проспект, 2006. – 208с.

3. Эконометрика. Учебник. под ред. чл.-кор. РАН И.И. Елисеевой.- 2-е изд. перераб. и доп. М.: Финансы и статистика, 2006.- 344 с.

4. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики.- М.: ЮНИТИ, 2002.- 1022 с.

5. Доугерти К. Введение в эконометрику.– М.: ИНФРА-М, 2001.

6.Катышев П.К., Пересецкий А.А. Сборник задач к начальному курку эконометрики- М.: дело, 2002.

7. Кулинич Е.И. Эконометрия.- М: Финансы и статистика, 2003. – 304 с.

8. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс.– М.: Дело, 2000.- 400 с.

9. Практикум по эконометрике. Под ред. чл.-кор. РАН И.И. Елисеевой.- М.: Финансы и статистика, 2001.- 192 с.

10. Эконометрика. Учебник. Под ред. чл.-кор. РАН И.И. Елисеевой.- М.: Финансы и статистика, 2004.- 344 с