Контрольная работа по "Економетрия"

Помилка апроксимації.

Оцінимо якість рівняння тренда за допомогою помилки абсолютної апроксимації.

 

Помилка апроксимації в  межах 5%-7% свідчить про хороше підборі  рівняння тренда до вихідних даних.

 

Оскільки помилка менше 7%, то дане рівняння можна використовувати  як тренда.

Однофакторний дисперсійний аналіз.

Середні значення:

 

 

 

Дисперсія:

 

 

Середньоквадратичне відхилення:

 

 

Коефіцієнт еластичності являє собою показник сили зв'язку фактора t з результатом у, який показує, на скільки відсотків зміниться значення у при зміні значення фактора на 1%.

 

E = b = $ar

Коефіцієнт еластичності менше 1. Отже, при зміні t на 1%, Y зміниться  менш ніж на 1%. Іншими словами - вплив t на Y не істотно.

Емпіричне кореляційне  відношення обчислюється для всіх форм зв'язку і служить для вимірювання тісноти залежності. Змінюється в межах  [0;1].

, де

 

На відміну від лінійного коефіцієнта кореляції він характеризує тісноту нелінійної зв'язку і не характеризує її напрямок. Змінюється в межах [0;1].

Зв'язки між ознаками можуть бути слабкими і сильними (тісними). Їх критерії оцінюються за шкалою Чеддока:

0.1 < η < 0.3: слабкий;

0.3 < η < 0.5: помірний;

0.5 < η < 0.7: помітний;

0.7 < η < 0.9: високий;

0.9 < η < 1: дуже високий;

Отримана величина свідчить про те, що зміна часового періоду t істотно впливає на y.

Індекс детермінації:

 

 

тобто в 100% випадків впливає  на зміну даних. Іншими словами - точність підбору рівняння тренда - висока.

 

ln(t)	ln(y)	t 2	y 2	t•y	y(t)	(y-y cp) 2	(y-y(t))2	(t-t p) 2	(y-y(t)) : y
0	7.75	0	60.05	0	7.75	0.0002	0	1.48	0.0001
0.69	7.76	0.48	60.15	5.38	7.76	0	0	0.28	0.0002
1.1	7.76	1.21	60.28	8.53	7.76	0	0	0.0142	0.0002
1.39	7.77	1.92	60.36	10.77	7.77	0	0	0.0284	0.0003
1.61	7.76	2.59	60.25	12.49	7.77	0	0	0.15	0.001
1.79	7.77	3.21	60.45	13.93	7.77	0.0001	0	0.33	0.0003
1.95	7.78	3.79	60.49	15.13	7.77	0.0001	0	0.53	0.0003
8.53	54.35	13.2	422.03	66.23	54.35	0.0004	0	2.81	0.0025

 

2. Аналіз точності  визначення оцінок параметрів  рівняння тренду.

 

де m = 1 - кількість факторів, що впливають в моделі тренда.

Аналіз точності визначення оцінок параметрів рівняння тренду:

 

 

 

 

S _b = 0

Довірчі інтервали для  залежної змінної:

 

По таблиці Стьюдента знаходимо Tтабл:

T_табл (n-m-1;α/2) = (5;0.025) = 2.571

Розрахуємо межі інтервалу, в якому буде зосереджено 95% можливих значень Y при необмежено великому числі  спостережень і t = 1.

(7.75 1^0.01 - 2.571*0 ; 7.75 1^0.01 + 2.571*0)

(2316.62;2316.62)

Інтервальний  прогноз.

Визначимо середньоквадратичне  помилку прогнозованого показника.

 

m = 1 - кількість факторів, що впливають в рівнянні тренда.

 

де L - період попередження; у_n+L - точковий прогноз за моделлю на (n + L)-й момент часу; n - кількість спостережень в тимчасовому ряді; Sy - стандартна помилка прогнозованого показника;  T_табл - табличне значення критерію Стьюдента для рівня значущості α і для числа ступенів свободи, рівного n-2.

Точковий прогноз, t = 8: y(8) = 7.75*8^0.01  = 2384.08

K₁ = 0

2384.08 - 0 = 2384.08 ; 2384.08 + 0 = 2384.08

Iнтервальний прогноз:

t = 8: (2384.08;2384.08)

Точковий прогноз, t = 9: y(9) = 7.75*9^0.01  = 2387.96

K₂ = 0

2387.96 - 0 = 2387.96 ; 2387.96 + 0 = 2387.96

Iнтервальний прогноз:

t = 9: (2387.96;2387.96)

3. Перевірка  гіпотез щодо коефіцієнтів лінійного  рівняння тренду.

1) t-статистика. Критерій  Стьюдента.

; 

Статистична значимість коефіцієнта b підтверджується.

; 

Статистична значимість коефіцієнта a підтверджується.

Довірчий інтервал для коефіцієнтів рівняння тренда.

Визначимо довірчі інтервали коефіцієнтів тренда, які з надійність 95% будуть наступними:

(b - t_набл S_b; b + t_набл S_b)

(0.0138 - 2.571•0; 0.0138 + 2.571•0)

(0.0135;0.0141)

(a - t _набл S _a; a + t _набл S _a)

(7.75 - 2.571•0; 7.75 + 2.571•0)

(7.7476;7.7481)

2) F-статистика. Критерій Фішера.

 

 

Fkp = 6.61

де m - кількість чинників в рівнянні тренду (m=1).

Оскільки F < Fkp, то коефіцієнт детермінації (і в цілому рівняння тренда) статистично не значущий.

2. Коефіцієнт  автокореляції.

 

Якщо коефіцієнт автокореляції r_ei < 0.5, то є підстави стверджувати, що автокореляція відсутня.

3. Критерій  Дарбіна-Уотсона.

Цей критерій є найбільш відомим для виявлення автокореляції.

При статистичному аналізі  рівняння регресії на початковому етапі  часто перевіряють здійснимість однієї передумови: умови статистичної незалежності відхилень між собою.

y	y(x)	ei = y-y(x)	e2	(ei - ei-1)2
7.75	7.75	0.001	0	0
7.76	7.76	-0.0017	0	0
7.76	7.76	0.0013	0	0
7.77	7.77	0.0024	0	0
7.76	7.77	-0.0079	0.0001	0.0001
7.77	7.77	0.0023	0	0.0001
7.78	7.77	0.0026	0	0
			0.0001	0.0002

 

Для аналізу корелірованності відхилень використовують статистику Дарбіна-Уотсона:

 

 

Критичні значення d₁ i d₂ визначаються на основі спеціальних таблиць для необхідного рівня значущості α, числа спостережень n = 7 та кількості пояснюють змінних m=1.

Автокореляція відсутня, якщо виконується така умова:

d₁ < DW и d₂ < DW < 4 - d₂.

Не звертаючись до таблиць, можна користуватися приблизними  правилом і вважати, що автокореляція  залишків відсутня, якщо 1.5 < DW < 2.5. Оскільки 1.5 < 2.64 > 2.5, то автокореляція залишків відсутня.

Для більш надійного  виведення доцільно звертатися до табличних  значень.

По таблиці Дарбіна-Уотсона  для n=7 i k=1 (рівень значимості 5%) знаходимо: d₁ = 1.08; d₂ = 1.36.

Оскільки 1.08 < 2.64 i 1.36 < 2.64 < 4 - 1.36, то автокореляція залишків присутня.

Перевірка наявності  гетероскедастичності за допомогою тесту рангової кореляції Спірмена.

Привласнимо ранги ознакою e_i і фактору X. Знайдемо суму різниці квадратів d².

За формулою обчислимо коефіцієнт рангової кореляції Спірмена.

 

X	ei	ранг X, dx	ранг ei, dy	(dx - dy)2
0	-0.001	1	5	16
0.69	0.0017	2	6	16
1.1	-0.0013	3	4	1
1.39	-0.0024	4	2	4
1.61	0.0079	5	7	4
1.79	-0.0023	6	3	9
1.95	-0.0026	7	1	36
				86

 

 

Зв'язок між ознакою e_i і фактором X  помірний і зворотній.

Значимість коефіцієнта  рангової кореляції Спірмена:

 

По таблиці Стьюдента  знаходимо t_табл:

t_табл (n-m-1;α/2) = (5;0.05/2) = 2.571

не значущий Tнабл < tтабл, то приймаємо гіпотезу про рівність 0 коефіцієнт рангової кореляції. Іншими словами, коефіцієнт рангової кореляції статистично - не значущий.

Інтервальна оцінка для коефіцієнта кореляції (довірчий інтервал).

 

Довірчий інтервал для  коефіцієнта рангової кореляції.

r(-1.2286;0.1572)

Перевіримо гіпотезу H₀: гетероскедастичності відсутня.

Оскільки 2.571 > 1.42, то гіпотеза про відсутність гетероскедастичності приймається.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список використаної літератури

 

1. Бородич С. А. Эконометрика: Учеб. пособие. — Минск: Новое знание, 2001. – 408 с.
2. Грубер Й. Економетрія: Вступ до множинної регресії та економетрії: У 2 т. — К.: Нічлава, 1998–1999.
3. Корольов О. А. Економетрія: Навч. посіб. — К.: Європейський ун-т, 2002. — 660 с.
4. Лук’яненко І. Г., Краснікова Л. І. Економетрика: Підручник. — К., Т-во “Знання”, КОО, 1998. — 494 с.
5. Наконечний С. І., Терещенко Т .О., Романюк Т. П. Економетрія: Навч. посіб. — К.: КНЕУ, 1997. — 352 с.
6. Айвазян С.А., Иванова С.С. Эконометрика. Краткий курс: учеб. пособие / С.А. Айвазян, С.С. Иванова. – М.: Маркет ДС, 2007. – 104 с.
7. Бородич С.А. Вводный курс эконометрики: Учебное пособие. – Мн.: БГУ, 2000. – 354 с.
8. Бывшев В.А. Эконометрика: учеб. пособие / В.А. Бывшев. – М.: Финансы и статистика, 2008. – 480 с.
9. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. -3-е изд., перераб. и доп. – М.: Дело, 2000.- 400 с.
10. Методы математической статистики в обработке экономической информации: учеб. пособие / Т.Т. Цымбаленко, А.Н. Баудаков, О.С. Цымбаленко и др.; под ред. проф. Т.Т. Цымбаленко. – М.: Финансы и статистика; Ставрополь: АРГУС, 2007. – 200 с.
11. Палий И.А. Прикладная статистика: Учебное пособие. – М.: Издательско–торговая корпорация "Дашков и К", 2008. – 224 с.
12. Порядина О.В. Эконометрическое моделирование линейных уравнений регрессии: Учебное пособие. – Йошкар–Ола: МарГТУ, 2005. – 92 с.
13. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – 2–е изд., перераб. и доп.  – М.: Финансы и статистика, 2007. – 344 с.
14. Прикладная статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов: В 2 т. 2–у изд., испр. – Т. 2: Айвазян С.А. Основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ–ДАНА, 2001. – 432 с.
15. Симчера В.М. Методы многомерного анализа статистических данных: учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2008. – 400 с.
16. Чураков Е.П. Прогнозирование эконометрических временных рядов: учеб. пособие / Е.П. Чураков. – М.: Финансы и статистика, 2008. – 208 с.
17. Эконометрика: учеб. / под ред. д–ра экон. наук, проф. В.С. Мхитаряна. – М.: Проспект, 2008. – 384 с.
18. Эконометрика: учеб. / под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Проспект, 2009. – 288 с.
19. Эконометрика: Учебник/И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Т.В. Костеева и др., Под ред. И.И. Елисеевой. – 2–е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 576 с.