Контрольная работа по "Економетрия"

(b - t_крит S_b; b + t_крит S_b)

(1.2393 - 1.86 • 0.8909; 1.2393 + 1.86 • 0.8909)

(-0.4178;2.8963)

З імовірністю 95% можна  стверджувати, що значення даного параметра  будуть лежати в знайденому інтервалі.

(a - t_крит S_a; a + t_крит S_a)

(7.9001 - 1.86 • 14.7547; 7.9001 + 1.86 • 14.7547)

(-19.5436;35.3438)

З імовірністю 95% можна стверджувати, що значення даного параметра будуть лежати в знайденому інтервалі.

2) F-статистики. Критерій  Фішера.

Перевірка значущості моделі регресії проводиться з використанням F-критерію Фішера, розрахункове значення якого знаходиться як відношення дисперсії вихідного ряду спостережень показника, що вивчається і незміщеної оцінки дисперсії залишкової послідовності для даної моделі.

Якщо розрахункове значення з k1=(m) i k2=(n-m-1) ступенями свободи більше табличного при заданому рівні значимості, то модель вважається значущою.

 

де m – число факторів в моделі.

Оцінка статистичної значущості парної лінійної регресії проводиться за наступним алгоритмом:

1. Висувається нульова гіпотеза про те, що рівняння в цілому статистично незначимо: H₀: R²=0 на рівні значущості α.

2. Далі визначають  фактичне значення F-критерію:

 

 

де m=1 для парної регресії.

3. Табличне значення визначається за таблицями розподілу Фішера для заданого рівня значущості, беручи до уваги, що число ступенів свободи для загальної суми квадратів (більшої дисперсії) дорівнює 1 і число ступенів свободи залишкової суми квадратів (меншою дисперсії) при лінійній регресії одно n-2.

4. Якщо фактичне значення F-критерію менше табличного, то  говорять, що немає підстави відхиляти  нульову гіпотезу.

В іншому випадку, нульова  гіпотеза відхиляється і з імовірністю (1-α) приймається альтернативна гіпотеза про статистичну значимість рівняння в цілому.

Табличне значення критерію зі ступенями свободи k1=1 i k2=8, Fkp = 5.32

Оскільки фактичне значення F < Fkp, то коефіцієнт детермінації статистично  незнач (Знайдена оцінка рівняння регресії статистично не надійна).

 

Перевірка на наявність автокореляції залишків.

Важливою передумовою  побудови якісної регресійної моделі по МНК є незалежність значень  випадкових відхилень від значень  відхилень у всіх інших спостереженнях. Це гарантує відсутність корельованості між будь-якими відхиленнями і, зокрема, між сусідніми відхиленнями.

Автокореляція (послідовна кореляція) визначається як кореляція між спостережуваними показниками, впорядкованими під часу (часові ряди) або у просторі (перехресні ряди). Автокорреляция залишків (відхилень) зазвичай зустрічається в регресійному аналізі при використанні даних тимчасових рядів і дуже рідко при використанні перехресних даних.

Критерій Дарбіна-Уотсона. Цей критерій є найбільш відомим для виявлення автокореляції.

При статистичному аналізі  рівняння регресії на початковому етапі  часто перевіряють здійснимість однієї передумови: умови статистичної незалежності відхилень між собою. При цьому перевіряється некорелірованні сусідніх величин e_i.

y	y(x)	ei = y-y(x)	e2	(ei - ei-1)2
32	24.01	7.99	63.83	0
32	21.53	10.47	109.58	6.14
12	26.49	-14.49	209.93	622.85
20	26.49	-6.49	42.11	64
22	27.73	-5.73	32.81	0.5787
25	27.73	-2.73	7.44	9
27	28.97	-1.97	3.87	0.5787
32	31.45	0.554	0.3069	6.36
39	32.69	6.31	39.88	33.19
40	33.92	6.08	36.91	0.0572
0	0	0	546.67	742.75

 

Для аналізу корельованості відхилень використовують статистику Дарбіна-Уотсона:

 

 

Критичні значення d₁ i d₂ визначаються на основі спеціальних таблиць для необхідного рівня значущості α, числа спостережень n = 10 і кількості пояснюють змінних m=1.

Автокореляція відсутня, якщо виконується така умова:

d₁ < DW i d₂ < DW < 4 - d₂.

Не звертаючись до таблиць, можна користуватися приблизними правилом і вважати, що автокореляція залишків відсутня, якщо 1.5 < DW < 2.5. Для більш надійного виведення доцільно звертатися до табличним значенням.

 

 

Задача № 2

Оцінка параметрів багатофакторної лінійної регресії

 

Оцінити параметри моделі лінійної багатофакторної регресії. Побудувати кореляційну матрицю. Зробити висновки про зв'язок між факторами і результативним показником. Оцінити адекватність моделі.

Вхідні дані задачі.

у	х1	х2
9	11	5
10	12	5
14	12	4
15	12	5
12	15	6
19	15	3
13	19	7
11	20	5
14	19	7
15	22	9

 

Рішення

 

1. Оцінений  рівняння регресії.

Визначимо вектор оцінок коефіцієнтів регресії. Згідно з методом  найменших квадратів, вектор виходить з виразу:

s = (X^TX)^-1X^TY

Матриця X:

1	11	5
1	12	5
1	12	4
1	12	5
1	15	6
1	15	3
1	19	7
1	20	5
1	19	7
1	22	9

 

Матриця Y:

9
10
14
15
12
19
13
11
14
15

 

Матриця X^T:

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
11	12	12	12	15	15	19	20	19	22
5	5	4	5	6	3	7	5	7	9

 

Множимо матриці, (X^TX):

 

У матриці,  (X^TX) число 10, що лежить на перетині 1-го рядка і 1-го стовпця, отримано як сума творів елементів 1-го рядка матриці X^T і 1-го стовпця матриці X.

Множимо матриці,  (X^TY):

 

Знаходимо зворотну матрицю (X^TX)^-1:

1.87	-0.0886	-0.0684
-0.0886	0.0134	-0.0217
-0.0684	-0.0217	0.0731

 

Вектор оцінок коефіцієнтів регресії дорівнює:

s = (X^TX)^-1X^TY =

 

Рівняння регресії (оцінка рівняння регресії)

Y = 11.553 + 0.4153X₁-0.8703X₂

 

2. Матриця парних  коефіцієнтів кореляції.

Число спостережень n = 10. Число незалежних змінних в моделі одно 2, а число регресорів з урахуванням одиничного вектора дорівнює кількості невідомих коефіцієнтів. З урахуванням ознаки Y, розмірність матриці стає рівним 4. Матриця (10 х 4). Матриця Х^T Х визначається безпосереднім множенням або за такими попередньо обчисленими сумами.

Матриця складена з Y і X:

1	9	11	5
1	10	12	5
1	14	12	4
1	15	12	5
1	12	15	6
1	19	15	3
1	13	19	7
1	11	20	5
1	14	19	7
1	15	22	9

 

Матриця A^TA:

10	132	157	56
132	1818	2095	734
157	2095	2609	922
56	734	922	340

 

Отримана матриця має  наступне відповідність:

∑n	∑y	∑x1	∑x2
∑y	∑y2	∑x1 y	∑x2 y
∑x1	∑yx1	∑x1 2	∑x2 x1
∑x2	∑yx2	∑x1 x2	∑x2 2

 

Знайдемо парні коефіцієнти  кореляції.

1) Для y и x₁ :

Рівняння має вигляд y = ax + b

Середні значення: