Актуарные расчеты в пенсионное страхование

Пенсии пренумерандо

Обычно в практике страхования пенсии выплачиваются в начале периода (года, квартала, месяца и т.п.).

а) Для пожизненных пенсий пренумерандо получим следующие варианты формул нетто-ставок:

немедленная пенсия:	,	(2.1.9)
отложенная на k лет:	.	(2.1.10)

б) Для срочных пенсий пренумерандо:

немедленная пенсия:	,	(2.1.11)
отложенная на k лет:	.	(2.1.12)

Аналогично определяются нетто-премии для пенсий с выплатой т раз в году.

в) Для пожизненных пенсий пренумерандо с выплатой т раз в году:

немедленная пенсия:	,	(2.1.13)
отложенная на k лет:		(2.1.14)

г) Для срочных пенсий пренумерандо с выплатой т раз в году:

немедленная пенсия:	,	(2.1.15)
отложенная на k лет:	.	(2.1.16)

 

2.2 Рассрочка взносов

Страховая система призвана стабилизировать финансовое состояние клиента. В практике страхования премии часто выплачиваются в виде ряда последовательных платежей – в рассрочку, так как единовременный взнос достаточно велик. Наиболее часто используются следующие схемы уплаты взносов:

а) уплата взносов вплоть до наступления момента выплаты пенсии;

б) уплата взносов прекращается до начала выплаты пенсии.

(Осуществлять взносы  и получать пенсию одновременно  застрахованный не может).

Такие последовательности платежей (взносов) также представляют собой страховые аннуитеты. Поэтому к расчету ежегодных сумм нетто-премий можно подойти с тех же методических позиций, что и при оценке стоимости пенсий.

В силу принципа эквивалентности обязательств можно записать:

,

Ах – современная стоимость пенсии (стоимость пенсионного аннуитета) на единицу страховой суммы,

t – период отсрочки взносов (число лет, в течение которых будут осуществляться взносы). Тогда тариф нетто-премии в расчете на единицу страховой суммы определяется, как отношение аннуитета, определяющего поток выплат, и аннуитета, определяющего поток взносов:

.

Стоимость аннуитета играет здесь роль коэффициента рассрочки. Например, если один аннуитет (взносы) является немедленным ограниченным (срочным), а второй (пенсии) – пожизненным отсроченным, причем оба предусматривают ежегодные платежи пренумерандо, то получим следующее равенство:

.

Здесь Ах= представлено в виде пожизненного страхового аннуитета отсроченного на k лет. Полученные формулы для расчета современных стоимостей аннуитетов позволяют записать компактные выражения для расчета годовых ставок нетто-премий.

 

Пенсии постнумерандо

Стороны могут договориться, что взносы выплачиваются не в начале, а в конце годовых периодов (постнумерандо), а выплаты пенсий осуществляются в начале периода (пренумерандо). В этой ситуации формула расчета годовых взносов конструируется, исходя из равенства:

.

а) Пожизненные пенсии:

Отсрочка на k лет:

.

(2.2.1)

б) Срочные пенсии:

Отсрочка на k лет:

.

(2.2.2)

в) Для пожизненных пенсий постнумерандо с выплатой и взносами т раз в году:

Отсрочка на k лет:

.

(2.2.3)

На практике часто взносы и выплаты пенсии осуществляются ежемесячно, т.е. m=12. Возможна ситуация, когда частота взносов и выплат не совпадают. Тогда при расчетах тарифных ставок в формулах вместо m в числителе используют символ m1 (периодичность выплат), а в знаменателе – m2 (периодичность взносов). В данной работе рассмотрена ситуация, когда взносы осуществляются раз в полгода (m2=2), а выплаты – поквартально (m1=4).

г) Для срочных пенсий постнумерандо с выплатой и взносами т раз в году, тогда:

Отсрочка на k лет:

.

(2.2.4)

 

Пенсии пренумерандо

Рассмотрим наиболее часто используемую на практике схему, когда взносы и пенсии выплачиваются в начале каждого года (взносы и выплаты пренумерандо).

а) Пожизненные пенсии пренумерандо:

Отложенные на k лет:

.

(2.2.5)

В этом случае взносы выплачиваются с возраста х лет до х+t лет (t – период рассрочки, обычно t ≤ k), а выплаты пенсии – с х+k до смерти. Очевидно, что чем больше продолжительность рассрочки, тем меньше годовая сумма премии.

Если пенсия выплачивается сразу после окончания периода уплаты рассроченных взносов, т.е. t=k, то:

.

б) Срочные пенсии пренумерандо:

Отсрочка на k лет:

.

(2.2.6)

В отличие от пожизненной пенсии, выплаты пенсий начинаются с возраста х+k лет до х+k+n лет.

в) Конструирование формул для расчета годовой нетто-премии с т-разовой ее выплатой производится на основании равенства: .

Для пожизненных пенсий пренумерандо с выплатой и взносами т раз в году (на практике ежемесячные взносы и затем ежемесячные выплаты наиболее распространены) получим:

Отсрочка на k лет:

.

(2.2.7)

г) Для срочных пенсий пренумерандо с выплатой и взносами т раз в году:

Отсрочка на k лет:

.

(2.2.8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 3. Актуарные расчеты в  пенсионном страховании для населения Красноярского края 2012 года

Для практического исследования размеров нетто-премий при пенсионном страховании были использованы данные таблиц смертности по Красноярскому краю за 2010 год.

Также при расчетах коммутационных функций в качестве процентной ставки были использованы ставка рефинансирования Центрального Банка Российской Федерации и ставка процента, которую гарантирует населению Пенсионный Фонд России в качестве минимальной ставки наращения пенсионных накоплений граждан России. В настоящее время указанные ставки составляют 8,25% и 6% соответственно.

 

3.1 Нетто-ставка при помощи  ставки рефинансирования

При определении справедливого тарифа на пенсионное страхование большое влияние оказывают гендерные различия. Так, например, женщины живут в среднем больше, чем мужчины. В связи с этим при расчетах использовались таблицы смертности для мужчин и женщин отдельно.

Возрастные границы, в рамках которых осуществляется пенсионное страхование страховыми компаниями, были определены из инструкций по пенсионному страхованию одной из крупнейших страховых компаний Российской Федерации – ОАО «Росгосстрах», которые декламируют возраст потенциальных участников данного вида страхования от 16 до 40 лет, независимо от пола.

Для начала были рассмотрены размеры страховых премий при процентной ставке, равной ставке рефинансирования ЦБ РФ – 8,25 %, с установленным размером пенсии 12000 рублей в год при единовременном взносе, с рассрочкой на пять или десять лет для мужчин представлен на рисунке 1, для женщин – на рисунке 2, а размеры взносов для основных возрастов – в таблицах 1 и 2 соответственно.

 

Рис. 1. Размер нетто-премий для мужчин при размере пенсии 12000 руб. в год и ставке 8,25%

Рис. 2. Размер нетто-премий для женщин при размере пенсии 12000 руб. в год и ставке 8,25%

 

Таблица 1. Размер нетто-премий для мужчин при размере пенсии 12000 руб. в год и ставке 8,25%, руб.

Возраст	Единовременная нетто-премия с R = 12000 руб.	Рассрочка на 5 лет R = 12000 руб.	Рассрочка на 10 лет R = 12000 руб.
16	2514,48	581,77	345,71
17	2710,62	627,70	373,09
18	2924,47	677,42	402,74
19	3156,20	731,20	434,82
20	3407,17	789,30	469,53
21	3677,54	851,98	507,09
22	3968,40	919,79	547,81
23	4285,08	993,24	592,04
24	4625,92	1072,75	640,06
25	4993,02	1158,96	692,21
26	5393,88	1252,63	748,94
27	5827,75	1354,56	810,67
28	6299,45	1465,72	877,89
29	6810,54	1586,86	951,07
30	7366,10	1718,77	1030,76
31	7979,44	1862,54	1117,57
32	8650,22	2019,00	1212,23
33	9375,34	2188,98	1315,22
34	10155,94	2373,80	1427,37
35	11007,54	2575,03	1549,80
36	11945,20	2794,07	1683,61
37	12962,83	3033,66	1829,86
38	14065,86	3294,96	1989,80
39	15256,73	3580,04	2164,90
40	16555,44	3892,60	2357,00

 

Таблица 2. Размер нетто-премий для женщин при размере пенсии 12000 руб. в год и ставке 8,25%, руб.

Возраст	Единовременная нетто-премия с R = 12000 руб.	Рассрочка на 5 лет R = 12000 руб.	Рассрочка на 10 лет R = 12000 руб.
16	6 526,01	1 508,37	894,45
17	7 034,91	1 626,17	964,38
18	7 582,50	1 753,24	1 039,82
19	8 177,85	1 890,40	1 121,26
20	8 816,64	2 038,21	1 209,08
21	9 505,05	2 197,62	1 303,85
22	10 248,24	2 369,71	1 406,21
23	11 049,78	2 555,35	1 516,72
24	11 915,96	2 755,82	1 636,06
25	12 848,33	2 972,23	1 764,98
26	13 857,35	3 205,94	1 904,27
27	14 943,33	3 458,55	2 054,81
28	16 120,51	3 731,60	2 217,53
29	17 390,99	4 026,50	2 393,33
30	18 760,29	4 345,34	2 583,40
31	20 250,50	4 690,12	2 789,05
32	21 851,96	5 062,69	3 011,46
33	23 581,83	5 465,39	3 252,04
34	25 459,45	5 900,65	3 512,35
35	27 482,70	6 371,25	3 793,85
36	29 681,58	6 880,85	4 098,48
37	32 042,61	7 432,69	4 428,21
38	34 591,56	8 030,21	4 785,37
39	37 368,71	8 677,79	5 172,31
40	40 383,85	9 378,28	5 591,35