Статистические методы изучения уровня и динамики себестоимости продукции

 

Вывод: Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности предприятий показывает, что распределение предприятий по себестоимости единицы продукции не является равномерным: преобладают предприятия по себестоимости единицы продукции от 115 тысяч рублей до 125 тысяч рублей (это 2 группы по 7 предприятий, доля каждого из которых составляет 23,3%); 13,4% предприятий имеют затраты на себестоимость единицы продукции более 125 тыс. руб., 86,6% предприятий имеют затраты на себестоимость единицы продукции менее 125 тыс. руб.

1.2. Нахождение моды и медианы полученного интервального ряда распределения графическим методом и  путем расчетов

Мода и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими (наряду со средней арифметической) центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку.

Мода  Мо для дискретного ряда – это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности¹. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считается центральное значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту). Более точно моду можно определить графическим методом по гистограмме ряда (рис.1).

             

Рис. 1. Определение моды графическим путём 

¹ Если в дискретном ряду все варианты встречаются одинаково часто, то в этом случае мода отсутствует. Могут быть распределения, где не один, а два (или более) варианта имеют наибольшие частоты. Тогда ряд имеет две (или более) моды, распределение является бимодальным (или многомодальным),что указывает на качественную неоднородность совокупности по изучаемому признаку.

 

Конкретное значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:

           (3)

где   х_Мo – нижняя граница модального интервала,

h –величина модального интервала,

f_Mo – частота модального интервала,

f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Согласно таблице 4 модальным интервалом построенного ряда является две группы предприятий с интервалом 115 – 125 тысяч рублей, так как он имеет наибольшую частоту (f_V = 14).

Расчёт моды:

Вывод: Для рассматриваемой совокупности предприятий наиболее распространённая себестоимость единицы продукции характеризуются средней величиной 117,22 тыс. руб.

Медиана Ме – это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.

Медиану можно определить графическим методом по кумулятивной кривой (рис. 2). Кумулята строится по накопленным  частотам (табл. 5, графа 2 и 5).

 

 

 

 

Рис. 2. Определение медианы  графическим методом

Конкретное значение медианы для интервального ряда рассчитывается по формуле:

,                 (4)

где    х_Ме– нижняя граница медианного интервала,

h – величина медианного интервала,

– сумма всех частот,

f_Ме – частота медианного интервала,

S_Mе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Для расчета медианы  необходимо, прежде всего, определить медианный интервал, для чего используются накопленные частоты (или частости) из табл. 5 (графа 5). Так как медиана делит численность ряда пополам, она будет располагаться в том интервале, где накопленная частота впервые равна полусумме всех частот или превышает ее  (т.е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).

Медианным интервалом является интервал    115 – 125 тыс. руб., так  как именно в этом интервале накопленная  частота S_j = 26 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности ( = ).

 

Расчет значения медианы по формуле (4):

 

 

Вывод: В рассматриваемой совокупности предприятий  большая часть предприятий имеют среднюю величину себестоимости единицы продукции не более 116,07 тысяч рублей, а меньшая часть – не менее 116,07 тысяч рублей.

 

3. Расчет характеристик  ряда распределения

Для расчета характеристик  ряда распределения  , σ, σ², V_σ на основе табл. 5 строится вспомогательная табл. 6 ( – середина j-го интервала).

 

Таблица 6

Расчётная таблица для  нахождения характеристик ряда распределения

Группы предприятий по себестоимости единицы продукции, тыс. руб.	Середина интервала,	Число предприятий
1	2	3	4	5	6	7
105 – 110	107,5	6	645	- 9,5	90,25	541,5
110 - 115	112,5	6	675	- 4,5	20,25	121,5
115 - 120	117,5	7	822,5	0,5	0,25	1,75
120 - 125	122,5	7	857,5	5,5	30,25	211,75
125 – 130	127,5	4	510	10,5	110,25	441
Итого		30	3510			1317,5

 

 

Расчет средней арифметической взвешенной:

   (5)                         

Расчет дисперсии:

                                  (6)                                  

Расчет среднего квадратического  отклонения:

                                   

Расчет коэффициента вариации:

                   (7)                 

 

Вывод: Анализ полученных значений показателей и говорит о том, что средняя величина себестоимости единицы продукции составляет 117 тысяч рублей, отклонение от этой величины в ту или иную сторону составляет в среднем 6,627 тысяч рублей (или 5,7%), наиболее характерная себестоимость единицы продукции находится в пределах от 110,373 тыс. руб. до 123,627 тыс. руб. (диапазон ). 

Значение V_σ = 5,7% не превышает 33%, следовательно, вариация себестоимости единицы продукции в исследуемой совокупности предприятия незначительна и совокупность по данному признаку однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно ( = 117 тыс. руб., Мо = тыс.руб., Ме = тыс.руб.), что подтверждает вывод об однородности совокупности предприятия. Таким образом, найденное среднее значение себестоимости единицы продукции (117 тыс.руб.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности предприятия.

4.Вычисление  средней арифметической по исходным  данным

Для расчета применяется  формула средней арифметической простой:

 тыс. руб.

Причина расхождения  средних величин, рассчитанных по формулам (8) и (5), заключается в том, что  по формуле (8) средняя определяется по фактическим  значениям  исследуемого  признака  для  всех  30-ти предприятий, а по формуле (5) средняя вычисляется для интервального ряда, когда в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным (за исключением случая равномерного распределения значений признака внутри каждой группы).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задания 2

По исходным данным табл. 1 с использованием результатов выполнения Задания 1 необходимо выполнить следующее:

1. Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками Объем кредитных вложений и Сумма прибыли, используя метод аналитической группировки.
2. Оценить тесноту и силу корреляционной связи, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

       3.   Оценить статистическую значимость показателя силы связи.

Сделать выводы по результатам выполнения Задания 2.

Выполнение  Задания 2

Целью выполнения данного  Задания является выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, установление направления связи, оценка тесноты и силы связи.

Факторный и результативный признаки либо задаются в условии задания, либо определяются путем проведения предварительного теоретического анализа. Лишь после того, как выяснена экономическая  сущность явления и определены факторный  и результативный признаки, приступают к проведению корреляционного анализа данных.

 

По условию Задания 2 факторным  признаком является Выпуск продукции (Х), результативным признаком – Себестоимость единицы продукции (Y).

1. Установление наличия  и характера связи между признаками Объем кредитных вложений и Сумма прибыли методом аналитической группировки

Применение метода аналитической  группировки

При использовании метода аналитической  группировки строится интервальный ряд распределения единиц совокупности по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Используя разработочную таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между  факторным признаком Х – выпуск продукции и результативным признаком Y – себестоимость единицы продукции (таблица 7):

 

 

 

 

Таблица 7

Зависимость себестоимости единицы продукции от выпуска продукции

Номер группы	Группы предприятий по выпуску продукции, тыс. ед.	Число предприятий,	Себестоимость единицы продукции, тыс. руб.
			всего	в среднем на одно предприятие,
1	2	3	4	5=4:3
I	105 – 110	6	1097	182,83
II	110 - 115	6	977	162,83
III	115 - 120	7	1050	150
IV	120 - 125	7	918	131,14
V	125 – 130	4	430	107,5
Итого		30	4472

 

Групповые средние значения получаем из таблицы 3 (графа 3), основываясь на итоговых строках «Всего».

Вывод: Анализ данных таблицы 7 показывает, что с увеличением себестоимости единицы продукции от группы к группе, средний выпуск продукции по каждой группе предприятий уменьшается.

 

• Применение метода корреляционных таблиц.

Корреляционная таблица  строится как комбинация двух рядов  распределения по факторному признаку Х и результативному признаку Y. На пересечении j-ой строки и n-ой графы таблицы указывается число единиц совокупности, входящих в j-ый интервал по признаку X и в n-ый интервал по признаку Y. Концентрация частот около диагонали построенной таблицы свидетельствует о наличии корреляционной связи между признаками – прямой или обратной. Связь прямая, если частоты располагаются по диагонали, идущей от левого верхнего угла к правому нижнему, обратная – по диагонали от правого верхнего угла к левому нижнему.

Для построения корреляционной таблицы  необходимо знать величины и границы  интервалов по двум признакам X и Y. Для факторного признака Х – выпуск продукции эти величины известны из таблицы 2. Определяем величину интервала для результативного признака Y – себестоимость единицы продукции при:

 тыс. ед.

Границы интервалов ряда распределения  результативного признака Y имеют вид:

Таблица 8

Номер группы	Нижняя граница, тыс. ед.	Верхняя граница, тыс. ед.
I	105	110
II	110	115
III	115	120
IV	120	125
V	125	130

 

Подсчитывая для каждой группы число входящих в нее предприятий с использованием принципа полуоткрытого интервала [ ), получаем интервальный ряд распределения результативного признака (таблица 9):

 

Таблица 9:

Интервальный ряд распределения  предприятий по себестоимости единицы продукции

Группы предприятий по себестоимости единицы продукции, тыс. ед., у	Нижняя граница, тыс. ед.
105 – 110	6
110 – 115	6
115 – 120	7
120 – 125	7
125 - 130	4
Итого	30