Шпаргалки по "Функциональному анализу"

               1.     Метрические пространства: аксиомы метрики и примеры.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Полные метрические  пространства: опр., фундаментальная  последовательность, примеры.

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Теорема о пополнении

 

 

4. Принцип сжимающих пополнений. Теорема с  доказательством

5. Гильбертовы пространства: опр. и примеры

 

 

 

 

6. Линейные  пространства: опр.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Линейные нормированные пространства: опр., понятие нормы, сходимость по норме, примеры

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Теорема об изоморфизме линейного нормированного пространства и En (Rn): теорема с доказательством.

 

 

 

 

 

9. Линейные операторы: опр., простейшие свойства, примеры

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Линейные операторы в линейных нормированных пространствах: опр., теорема об ограниченности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Норма оператора. Теорема о расширении оператора по непрерывности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12. Линейный функционал: опр., свойства, примеры

 

 

 

 

14) Пространство  линейных  ограниченных операторов: опр. Т о полноте.сопряженное пространство

15. Равномерная и точечная сх-ть операторов.

16 Обратные  операторы

17. операторы   зависящие от параметра .

 

18 лин функционал

19 т х-банаха и ее следствие

20.Общий  вид лин функционалов нек-ыхфункцпространствах.

21 общий  вид лин ф-ов в произвольном гильбертортовом пространстве

22 сопряженное  пространство и сопряженн операторы

23 слабаясх-ть ф-ов и элементов

24 компактные  мн-ва

1. Множество К расположенная в метрическом пространстве Х называется компактным если всякая последовательность элементов этого множества содержит сходящуюся подпоследовательность.
2. Если предел указанных подпоследовательностей принадлежат К то множество К называется компактным в себе
3. Если же предел указанных подпоследовательностей принадлежит Х тогда множество К называется компактным в пространстве Х.
4. Если каждое бесконечномерное подмножество пространство  Х содержит сходящуюся подпоследовательность к элементу из Х  то пространство Х называется компактным.

Из опр. Следует что К является компактным в себе тогда и только тогда когда оно компактно относительно Х и является замкнутым множеством.

 

25 Критерий  компактности множества в некотором ф-ыхпр-ах

26. Универсальное  пространство С[0.1]

27. Вполне  непрерывные операторы

пусть линейный оператор А определенный на линейном нормированном пространстве Е_хсо множеством расположенных в линейном нормированном пространстве  Е_у. Оператор А называется вполне непрерывным если он отображает всякое ограниченное множество пространства Е_хв компактное множество пространства Е_у .

Всякий вполне непрерывный  оператор является ограниченным

Всякие линейный ограниченный оператор отображает компактное множество  в компактное

Пусть А ВНО отоброжающий бесконечное банахово пространство  Е в себя, оператор В произвольный линейный оператор действующий в том же пространстве Е. Тогда оператор АВ и ВА так же вполне непрерывный оператор.

Если оператор А и В вполне непрерывный то для любых лямбда и бета оператор αА+βВ так же вполне непрерывным.

Вполне непрерывный оператор А не может иметь ограниченного обратного опретора А^-1

Область значений вполне непрерыного оператора А является сепарабельным множеством.