Кінетичні явища в напівпровідниках

а величина постійної решітки збільшиться (рис. 1.8).

 

 

 

Рис. 1.8. Енергетична схема атомного напівпровідника:

а - постійна гратки у відсутність деформації

 

Таким чином, локальна деформація в  кристалі, створювана поздовжньої акустичної хвилею, призводить до хвилеподібний  зміщення дна зони провідності та вершини валентної зони провідності. Схематично це представлено на рис. 1.9.

У процесі руху електрона в такому напівпровіднику основний механізм його розсіювання буде обумовлений  поздовжніми коливаннями решітки, що виникли в результаті теплового  збудження.

 

Рис. 1.9. Зміна енергії зон провідності  напівпровідника і валентної

під впливом поздовжніх акустичних коливань решітки:

EC - дно зони провідності, EV - вершина  валентної зони

 

Покажемо, що це розсіювання пружне і відбувається

на довгохвильових фононах.

Запишемо закон збереження енергії  у вигляді:

. (1.72)

Звідки

, (1.73)

де - кут між векторами і.

Якщо електрон взаємодіє тільки з довгохвильовими фононами, то, тут - швидкість поширення поздовжньої  звукової хвилі. У цьому випадку  з рівняння (1.73) знаходимо:

. (1.74)

Значення хвильового вектора визначимо  із співвідношення. Будемо мати. Оцінимо у виразі (1.74) відношення другого члена правої частини до першого, тобто

. (1.75)

Тут. Проведемо чисельну оцінку співвідношення (1.75), приймаючи швидкість поздовжньої звукової хвилі Vзв = 3 • 103 м / с, m * = m =

= 10-27, k0 = 10-16 ерг / град, то Ткр  = 1 К. Отже, при температурах, набагато  перевищують 1 К, можна знехтувати  другим доданком в (1.74) у порівнянні  з першим. Тоді

. (1.76)

В залежності від хвильове число q може змінюватися від 0 до 2k, тобто

в середньому на k. Оскільки при Т = 300К k ≈ 107 см-1, то q може приймати значення від 0 до 2 • 107 см-1, що відповідає енергії фононів від 0 до (1еВ = 1,6 • 10-12 ерг). Малі значення енергії відповідають довгохвильовим фононів, тобто електрони поглинають і випускають фонони з q ≈ k. Максимальне значення хвильового вектора по теорії Дебая одно q0 ≈ 108см-1, тобто qmax << q0. Отже, електрони взаємодіють тільки з довгохвильовими фононами, поглинаючи або випромінюючи фонон з q ≈ k. У цьому випадку співвідношення добре виправдовується.

Оцінимо співвідношення

. (1.77)

Звідси випливає, що енергія при розсіюванні не змінюється. Отже, розсіювання електронів на поздовжніх акустичних коливаннях є пружним. У цьому випадку можна покласти Е = Е ', k = k'.

При низьких температурах середня  швидкість руху електрона наближається до швидкості поширення пружних  хвиль в кристалі,

і енергією фонона в рівнянні (1.74) нехтувати не можна. У цьому разі зіткнення електрона з фононами є непружні.

Для пружного розсіяння електронів на поздовжніх акустичних фононах час  релаксації можна визначити із співвідношення (1.45)

 

. (1.78)

Перший член правої частини рівняння враховує поглинання, другий - випускання фононів при розсіюванні електронів. Тут враховано співвідношення.

Згідно загальної теорії розрахунку ймовірності переходу за одиницю  часу будемо мати:

. (1.79)

Тут - матричний елемент переходу зі стану в стан, ΔV - зміна потенційної  енергії.

У разі поглинання фонона:

, (1.80)

а в разі випускання фонона:

[1, 278]. (1.80а)

Дельта-функція виражає закон  збереження енергії і хвильового вектора. Постійна С, що має розмірність енергії, характеризує інтенсивність взаємодії електрона з коливаннями грат кристала.

Оцінимо величину

, (1.81)

де uk - зміщення. Покладемо, тут а - постійна гратки, тоді. Тут враховано умова  нормування. Беручи а = 10-8 см, отримуємо  З ≈ 5 еВ, тобто порядку атомної енергії.

У виразах (1.80) і (1.80а) N - число елементарних комірок

в кристалі, М - маса атома. Функція  розподілу фононів Nq мало відрізняється від рівноважної, в цьому випадку можна вважати, що

. (1.82)

Враховуючи (1.77), вираз (1.82) можна розкласти  в ряд

. (1.83)

Підставляючи знайдені значення (1.83), (1.80), (1.80а) в (1.78), можна визначити τ.

Обчислення значення τ в сферичній  системі координат буде мати вигляд:

. (1.84)

Таким чином, час релаксації при  розсіюванні електронів

на акустичних коливаннях гратки в  атомних напівпровідниках має залежність від енергії

. (1.85)

Тут. Визначивши τ, можна знайти значення довжини вільного пробігу електрона,

. (1.86)

Як видно з (1.86), довжина вільного пробігу не залежить від енергії  носіїв заряду.

Оцінимо величину часу релаксації для  напівпровідників.

Для прикладу виберемо германій. У чистому германії при кімнатній температурі рухливість електронів м2/Вс. Якщо прийняти m * =

= 0,3 m, т.о. e / m * = 6 • 1011 Кл / кг. Тоді, згадуючи  значення,

де, будемо мати:

.

З виразів (1.85) для τ видно, що при підвищенні енергії носіїв заряду час релаксації при розсіюванні на іонізованої домішки збільшується, а при розсіянні на акустичних коливаннях - зменшується. Отже, в області низьких температур при розсіянні на домішках переважають повільні електрони, а при розсіянні на акустичних фононах в області високих температур - швидкі електрони.

 

 

1.6. Розсіювання електронів провідності  в іонних кристалах

 

У полярних напівпровідниках, а також  у бінарних сполуках типу AIIIBV, в яких зв'язок між атомами носить частково іонний характер, електрони провідності набагато сильніше взаємодіють з оптичними коливаннями, ніж з акустичними. Для довгохвильових оптичних коливань можна ввести поняття про поляризації кристала, характеризуемое вектором поляризації. Такі коливання отримали назву поляризаційних хвиль.

Розсіювання носіїв заряду в таких напівпровідниках відбувається при взаємодії їх з поляризаційними хвилями. При цьому поздовжні коливання значно сильніше розсіюють, ніж поперечні.

При зіткненні електрона з оптичних фононів виникає

або зникає фонон з енергією.

Розглянемо іонний кристал з  кубічної гратами типу NaCl. Елементарна  комірка об'ємом 2а3 містить дві частинки

з позитивним і негативним іоном. Решітка такого кристала має центром симетрії, і зсув k-го атома в n-й комірці буде виражено через нормальні координати у вигляді

, (1.87)

де k = 1 і 2 відповідно для позитивних і негативних іонів; j = 1,2; - хвильовий  вектор; - вектор прямої гратки,; N - число  осередків в об'ємі кристала; - речові поляризаційні вектори, що задовольняють для даних оптичних хвиль рівнянню

, (1.88)

де m1 і m2 - маса іонів.

Вважаємо, що вектори унормовані:

. (1.89)

Рівняння (1.88) і (1.89) для задовольняються, якщо покласти

,, (1.90)

де - одиничний вектор.

Якщо зміщення обох іонів однакові, тобто обидва іона коливаються

у фазі, то осередок зміщується як одне ціле. Це призводить до локальних стискам  і розрядження в кристалі подібно  стискам і розрядження, що виникають  при проходженні пружних, або  акустичних, хвиль. Такі коливання називаються  акустичними.

Якщо іони зміщуються в протилежних  напрямках, вони коливаються в протифазі, тому центр мас комірки залишається в спокої, але виникає зміщення центрів ваги зарядів, що призводить

до утворення дипольного електричного моменту.

Такі коливання отримали назву  оптичних коливань.

Дипольний момент, що виникає в  обсязі елементарної комірки, дорівнює геометричній сумі зміщень іонів, помножених на їх заряди (± Ze).

Для довгих оптичних хвиль вектор поляризації

, (1.91)

де, відповідно до (1.87),

. (1.92)

Тут замінили на. З виразів (1.92) і (1.91) випливає:

. (1.93)

Поляризаційні хвилі (1.93) породжують розподілений

в просторі пов'язаний заряд, який є  джерелом електричного поля, потенціал  якого Ф задовольняє рівнянню Пуассона:

. (1.94)

З цього виразу видно, що електричне поле створюється тільки поздовжніми оптичними коливаннями, для яких | |, тобто . У цьому випадку рівняння (1.94) має рішення:

. (1.95)

У цьому виразі під знаком суми кругла дужка - чисто уявна величина, отже, потенціал Ф речові, що і повинно бути. Величина (-Еф) є енергією обурення в кристалі.

 

 

1.7. Визначення часу релаксації  електронів провідності

в іонному кристалі

 

Частота оптичного фонона слабо  залежить від квазіімпульса,

і при зіткненні енергія електрона  або збільшується, або зменшується  на однакову величину, рівну

. (1.96)

Тут - гранична частота поздовжньої  оптичної гілки. Слід зазначити, що електрон взаємодіє в цьому випадку  тільки

з поздовжніми фононами.

Розглянемо закони збереження енергії  та хвильового вектора електрона  при взаємодії з оптичними  коливаннями в разі виконання  умови (1.96). Закон збереження хвильового вектора

при поглинанні або випусканні фонона має вигляд:

, (1.97)

а закон збереження енергії в  цьому випадку

, (1.97а)

де.

З (1.97) і (1.97а) слід

, (1.98)

де φ - кут між і.

З рішення рівняння (1.98) будемо мати:

, (1.99)

. (1.99а)

Тут q - поглинений фонон, q2 - випускається фонон.

Хвильове число χ відповідає електрону з енергією:

. (1.99б)

Для визначення максимального і  мінімального значення q

і обчислення часу релаксації розглянемо випадок високої і низької  температури.

1. Високі температури.

При високих температурах, коли T >> TC або, або, тобто коли енергія фонона багато менше енергії електрона

, (1.100)

розсіювання можна вважати пружним.

Так як, то.

У виразах (1.99) і (1.99а) знехтуємо величиною, отримаємо, як у випадку випускання, так і поглинання фонона.

Розрахунок часу релаксації, коли розсіювання пружне, буде таким же, як і у випадку розсіяння на акустичних фононах:

. (1.101)

Тут,,.

Враховуючи, що при розсіюванні  на акустичних фононах

і, після інтегрування (1.101) отримаємо:

. (1.102)

Довжина вільного пробігу

, (1.103)

де V - швидкість електрона.

Так як,, а, то відношення l / a може бути як багато більше, так і менше 1. У першому випадку рух електрона підкоряється законам квантової механіки.

2. У разі низьких температур,, електрон-фононне взаємодію стає непружним. У цьому випадку можливі тільки процеси поглинання фононів, і вводити час релаксації не можна.

Але теоретично показано (Б.І. Давидов, І.М. Шмушкевіч. УФН, 24, 21, 1940), що і у  випадку низьких температур, якщо враховувати умову, більшість електронів, що поглинають енергію фонона, переходять в енергетичний інтервал від до. Такі електрони майже миттєво випустив фонони, тому відношення ймовірності випускання до ймовірності поглинання. В результаті такого поглинання і миттєвого випускання фонона енергія електрона майже не змінюється. Це дозволяє розглядати взаємодію електрона з оптичними коливаннями решітки при дуже низьких температурах як пружне і ввести час релаксації.

Враховуючи при низьких температурах, розрахунок для часу релаксації дає  вираз виду:

. (1.104)

З (1.104) видно, що при низьких температурах час релаксації

на оптичних фононах від енергії  не залежить, а від температури  залежить експоненціально.

Довжина вільного пробігу

. (1.105)

Слід зазначити, що через наявність  множника довжина вільного пробігу  завжди більше міжатомної відстані, тобто l >>.

 

 

1.8. Теорія деформаційного потенціалу  в кубічних кристалах з простої  зонної структурою

 

Задачу про розсіяння електрона  на акустичних коливаннях гратки можна  вирішити методом деформаційного потенціалу. У цьому методі враховується, що при поширенні пружних хвиль  по кристалу

на періодичний потенціал внутрішнього поля накладається додатковий періодичний потенціал. Це призводить до появи змінної потенційної енергії електрона, який отримав назву потенціалу деформації. Деформаційний потенціал - зміна енергії електрона в зоні провідності або дірки у валентній зоні при деформуванні напівпровідника. Деформація змінює ширину забороненої зони напівпровідника. Теорія деформаційного потенціалу володіє рядом переваг, таких як простота виведення, що дозволяє узагальнити теорію на більш складні випадки, наприклад, на випадок складної зонної енергетичної структури.

Для простоти розглянемо теорію деформаційного потенціалу

в простому кубічному одноатомних  кристалі для випадку простої  зонної структури, коли енергія електрона  провідності визначається співвідношенням:

. (1.106)

Хвилеподібні коливання ширини забороненої зони

при порушенні поздовжньої акустичної хвилі стиснення представлені

на рис. 1.10.

Для пружних коливань стан деформованого  кристала характеризується компонентами тензора деформації

, (1.107)

 

Рис. 1.10. Хвилеподібні коливання ширини забороненої зони

де - зміна зсуву по j при зміні відстані по i-осі; xi (x1 ≡ x, x2 ≡ y, x3 ≡ z) - прямокутні координати; ui (i = 1, 2, 3) - прямокутні проекції зміщення коливних атомів.

Положення дна зони провідності ЄС (вершини валентної зони ЕV) можна розглядати як функцію компонент тензора деформації. Розкладаючи ЄС в ряд по, отримаємо:

. (1.108)

Величини і залежать від орієнтації координатних осей xi щодо осей кристала, крім того, залежить також від природи  кристала. Помістимо початок координат  в вершину куба недеформірованной  кристалічної комірки, а осі координат  направлені по його ребрах. Неважко показати, що для кристала кубічної симетрії недіагональні коефіцієнти (i ≠ j) дорівнюють нулю. Дійсно, повернувши координатну систему навколо осі x3 ≡ z на кут π / 2, отримаємо в новій системі (позначеної штрихами), тоді згідно (1.108). Коефіцієнти при такому повороті координатної системи не змінюються, тому кристал орієнтований однаково при обох положеннях системи, отже,. Нехай деформація кристала така, що відмінна від нуля тільки компонента тензора. У цьому випадку зсув краю зони провідності, виражене в обох координатних системах, повернених один щодо одного, одно

,

звідки. Можна показати, що і всі інші недіагональні коефіцієнти також дорівнюють нулю. Так як в кубічному кристалі осі x1, x2, x3 рівнозначні, то, і, враховуючи (1.108), будемо мати: