Кінетичні явища в напівпровідниках

n1 = Wn. (1.17а)

Тоді з (1.17) і (1.17а) можна визначити  ефективний переріз розсіяння:

. (1.18)

Отже, ефективний переріз розсіяння  σ визначається відношенням числа  видалених електронів з пучка  в результаті розсіювання на одному центрі в одиницю часу до щільності падаючого пучка.

Імовірність розсіювання визначається через σ з (1.18) виразом

W = σNV. (1.19)

У той же час імовірність розсіювання  обернено пропорційна часу вільного пробігу τ:

. (1.20)

Тоді

. (1.21)

Величина l-1 = σN є ймовірність розсіювання  на одиничному інтервалі шляху.

За наявності декількох різних центрів розсіювання (теплові коливання решітки, дислокація, дефекти Шотткі та ін), згідно теорії ймовірності, повна ймовірність розсіювання в одиницю часу буде визначатися сумою окремих ймовірностей розсіювання

. (1.22)

Роль різних дефектів на розсіянні різна, і для кожного з них ефективний перетин різне. Обчислимо ефективний переріз

для междуузельних атомів. Ці дефекти називаються точковими дефектами. Для них за величину σ можна прийняти площу квадрата

зі стороною, рівною постійної решітки, тобто σА = (5 • 10-8) см2. Якщо припустити, що концентрація атомів домішки дорівнює NA = 1016см-3,

то довжина вільного пробігу lA = (3 • 10-15 • 1016) -1 ≈ 3 • 10-2 см.

Ефективний переріз розсіяння  на теплових коливаннях гратки визначається площею перетину області, яку займає коливний атом за вирахуванням площі  перетину самого атома. Якщо вважати, що амплітуда коливань r = 1Å, а діаметр  атома d ≈ 10-8 см,

то см2. Число атомів NТ ≈ 1022см-3, тоді LТ ≈

≈ 10-6см = 100 Å.

 

 

1.3. Висновок формули Конуелл-Вайскопф

 

Розглянемо домішковий напівпровідник, в якому кожен іон домішки  створює навколо себе електричне поле. Рух вільного електрона в  цьому полі залежить від його швидкості  та відстані до іона домішки. Електрон відхиляється від свого початкового напряму тим сильніше, чим повільніше він рухається і ближче проходить повз іона домішки. На рис. 1.4 показано викривлення траєкторії руху електрона в полі позитивного іона домішки.

Визначимо траєкторію руху зарядженої частинки в полі іона класичним методом. Нехай заряджена частка рухається

в кулонівському полі іона з позитивним зарядом Zе. Енергія взаємодії визначається у вигляді

. (1.23)

 

 

 

 

Рис. 1.4. Траєкторія руху електрона в полі позитивного іона

 

 

 

Рис. 1.5. Розсіювання електрона і  дірки близько позитивного іона

 

Тут - діелектрична постійна, плюс відповідає дірці, а мінус - електрону. Обидва заряду відхиляються однаково (рис. 1.5). Мінімальна відстань між іоном і траєкторією рухомого заряду позначено як b і носить назву прицільну відстань. Через θ позначений кут між початковим напрямком руху зарядженої частинки (електрона або дірки) і її рухом після розсіювання. Залежність прицільного відстані і кута відхилення θ знаходиться з виразу:

, (1.24)

де m * - ефективна маса заряду, а V - його швидкість руху.

Рух частинок будемо розглядати за класичними законами механіки. Розсіювання є  випадковим процесом, тому різні носії заряду будуть відхилятися за різними напрямками. Нехай кут розсіювання змінюється від θ до θ + dθ. Враховуючи, що розсіюючий центр володіє осьовою симетрією, кути відхилення будуть кутами двох конусів (рис. 1.6).

Через dΩ позначений тілесний кут, укладений між цими конусами. Він визначається з виразу.

Процеси розсіювання в цьому  випадку будуть характеризуватися  диференціальним ефективним перерізом σ (θ). Нагадаємо, що σ (θ) одно:

 

Рис. 1.6. Тілесний кут розсіювання

 

 

(Θ) =

Число часток, відхилених в одиницю  часу на кут θ в одиничний тілесний кут

Потік падаючих частинок на одиничну площу за одиницю часу

 

Нехай є n електронів, що рухаються  хаотично зі швидкостями V. Тоді на обрану одиничну площадку за одиницю часу впаде nV електронів. Повне число  частинок, відхилених за цей час  в тілесний кут dΩ, буде дорівнює потоку частинок, що падають на кільце (див. мал. 1.6) площею 2πb │ db │. Тут │ db │ - абсолютна величина похідної по b. Тоді диференціальне ефективний перетин з урахуванням (1.24) буде мати вигляд:

. (1.25)

Тут. (1.26)

Підставивши (1.24), (1.26) в (1.25), будемо мати:

. (1.27)

Формула (1.27) була отримана Резерфордом  при дослідженні розсіяння α-частинок на ядрах важких елементів.

Інтегральне перетин визначається зі співвідношення:

. (1.28)

Це є повне число розсіяних  частинок в розрахунку на одиничну щільність потоку падаючих частинок.

Обчислення σ * з (1.28) дають нескінченність, тому при θ = 0 інтеграл буде розбіжним. Це обгрунтовується тим, що малим  кутах відхилення частинок відповідає велика ефективний перетин, оскільки малим кутах відхилення відповідають великі відстані між іоном і відхиляється частинкою, тобто велике прицільну відстань b. Однак у твердому тілі можна обмежити b з наступних міркувань. Розглянемо два сусідніх іона, відстань між якими дорівнює R (рис. 1.7). Очевидно, що відхилення частинки визначається найближчим іоном. Природно, прицільну відстань дорівнюватиме половині середньої відстані між цими іонами R / 2. Якщо концентрація іонів N, то середня відстань між ними дорівнює N-1/3

і прицільну відстань. Йому відповідає найменше значення кута розсіяння θmin, яке визначається з формули

. (1.29)

При пружному зіткненні час релаксації можна визначити

з урахуванням (1.18), (1.19) зі співвідношення:

. (1.30)

 

 

 

Рис. 1.7. Максимальне прицільну відстань

при русі частинки в полі двох іонів

 

Перетворимо,, враховуючи значення і вираз для нього (1.24), будемо мати

. (1.31)

Тоді (1.32)

і

. (1.33)

Скористаємося рівністю,

отримаємо. (1.34)

Це співвідношення для часу релаксації τ при розсіюванні носіїв заряду на іонах домішки називається формулою Конуелл-Вайскопф. Висловлюючи швидкість носіїв заряду через енергію, отримаємо залежність часу релаксації у вигляді

. (1.35)

Тут. (1.36)

У цьому виразі логарифм - повільно змінна функція V, тоді

τ ~ V3 ~ 3/2. (1.37)

Отже, час релаксації при розсіюванні  носіїв заряду

на іонах домішки має залежність від енергії у вигляді, де р = 3/2.

 

 

1.4. Кінетичне рівняння для електронів  в кристалі

 

При визначенні часу релаксації для  електронів, розсіюється на іонах  домішки, передбачалося, що рух електронів відбувається за законами класичної механіки, тому їхній стан описувалося в і просторах і виконувалося співвідношення

. (1.38)

Це рівняння справедливо і для квазікласичних наближення, якщо енергія електрона, а, - хвильовий вектор.

Таким чином, якщо енергія, то застосовні всі формули, що визначають час релаксації при заміні m на ефективну масу m *. У випадку довільного закону дисперсії швидкість електрона

в кристалі дорівнює:

(1.39)

і не дорівнює.

Визначимо вид кінетичного рівняння Больцмана.

Квантовий стан електрона задовольняє  в квазікласичному наближенні співвідношенню

. (1.40)

Функція розподілу визначає число  електронів

в момент t в точці в одиниці  об'єму з складовими хвильового вектора від до в і просторі.

Для стаціонарного стану рівняння Больцмана, в разі руху електрона в електричному і магнітному полях і, буде мати вигляд:

, (1.41)

де визначається з (1.39).

Член зіткнень можна визначити  з наступних співвідношень. Нехай - ймовірність електрону за 1 с. перейти зі стану

в стан, тоді:

. (1.42)

Тут врахований принцип Паулі, показує, що стан вільно.

З принципу детального рівноваги випливає, що в статистичному рівновазі потоки електронів зі стану і зворотний процес повинні бути рівні, тобто

.

При пружному розсіянні і, тоді

. (1.43)

Таким чином, член зіткнень виходить таким же, як і

без урахування принципу Паулі. Пояснюється  це тим, що при врахуванні принципу Паулі число електронів збільшується на одну і ту ж величину перехідних з стану в, так і назад - з в.

Представляючи нерівноважну функцію  у вигляді

(1.44)

можна ввести час релаксації τ:

. (1.45)

Тут - кут між векторами і, що характеризують рух електрона до і після розсіювання.

У разі складного закону дисперсії енергії, наприклад у випадку p-Ga і p-Si, час релаксації неможливо ввести.

 

 

1.4.1. Електропровідність напівпровідників

 

Розглянемо застосування кінетичного  рівняння (1.41) для визначення різних явищ переносу в однорідному невироджених напівпровіднику, ізоенергетіческіе поверхні якого представляють сферу. В якості прикладу визначимо електропровідність при наявності постійного однорідного електричного поля напруженістю.

В елементі об'єму d3r кристала кількість  електронів одно:, де - хвильовий вектор. Щільність струму для електронів, що рухаються зі швидкістю, буде дорівнює:

. (1.46)

Повна густина струму для електронів і дірок

. (1.47)

Тут інтегрування проводиться по всій зоні Бріллюена,

і - швидкість і нерівноважна функція  розподілу електронів та дірок відповідно.

Висловимо нерівноважну функцію у  вигляді, де f0 - функція рівноважного стану.

Для термодинамічної рівноваги, як відомо, щільність струму дорівнює нулю, тоді замість виразу (1.47) будемо мати:

. (1.48)

Нерівноважна функція розподілу  може бути розрахована

з умови стаціонарного стану, тобто .

У цьому випадку

. (1.49)

Зміна функції розподілу електронів для польового члена буде визначатися  наступним виразом:

. (1.50)

Тут прийнято, що на електрон з енергією, що знаходиться

в електричному зовнішньому полі, діє сила, причому напівпровідник однорідний, тобто .

Зі співвідношення (1.49) і (1.50) можна визначити.

Тоді вираз для густини струму буде мати вигляд:

. (1.51)

Тут - час релаксації електрона.

Якщо нерівновага функція мала в порівнянні з рівноважної, тоді можна знехтувати і в (1.51) можна замінити на.

В невироджених напівпровіднику, де відлік енергії виробляється від дна  зони провідності, концентрація носіїв заряду визначається зі співвідношення:

, (1.52)

де.

Тоді

. (1.53)

Підставляючи (1.53) в (1.54), отримаємо:

. (1.54)

Скористаємося перетворенням для-простору:

. (1.55)

Тут і залежать від абсолютної величини вектора, ця рівність не важко довести.

Введемо в - просторі сферичну систему  координат, направивши полярну вісь z по вектору. У сферичних координатах:,,,,. (1.55а)

Інтеграл (1.55) запишемо у вигляді

, (1.55б)

де; - одиничні вектори вздовж осей x, y, z.

При інтегруванні по доданки, пропорційні  складовим і, дорівнюють нулю, тому вони містять множники і. Інтегрування доданка, пропорційного по і дає

.

Тоді для інтеграла буде справедливо  рівність (1.55). З урахуванням (1.55) щільність струму буде визначена зі співвідношення:

. (1.56)

Позначивши і використовуючи співвідношення, отримаємо:

. (1.57)

Тоді з урахуванням отримаємо:

. (1.58)

Введемо позначення

. (1.59)

У цьому випадку густина струму буде визначена:

, (1.60)

де - дрейфова рухливість електронів, (1.61)

- Електропровідність, обумовлена ​​електронами. (1.62)

Величина - середній час релаксації електронів.

Аналогічно можна визначити  щільність струму дірок:

. (1.63)

Дрейфова рухливість дірок

. (1.64)

Електропровідність, обумовлена ​​дірками,. (1.65)

Повна густина струму в напівпровіднику  дорівнює

. (1.66)

 

 

1.5. Розсіювання електронів на  коливаннях гратки

в атомному кристалі

 

Електрон при своєму русі в кристалі обмінюється енергією

з коливаннями решітки двояким  чином.

1. Електрон передає частину своєї  енергії решітці, так що певний  нормальне коливання з частотою  ωq збільшує своє квантове число  на одиницю. У цьому випадку  утворюється фонон з енергією  і квазіімпульсом, і число фононів  зростає на одиницю.

2. Електрон сам отримує частину  енергії від решітки, так що  квантове число певного коливання  з частотою ωq зменшується на  одиницю, тобто фонон з енергією  і квазіімпульсом зникає.

Таким чином, в будь-якому з цих  двох випадків електрон, стикаючись

з фононами, обмінюється з ним  енергією і квазіімпульсом. Цей механізм розсіювання отримав назву однофононний.

Так як число фононів визначається температурою, то і розсіяння електронів на теплових коливаннях гратки залежить від температури.

Розглянемо механізм однофононного  розсіювання електрона

на теплових коливаннях гратки кристала.

Нехай до зіткнення електрон мав  хвильовий вектор і енергію. Після зіткнення його хвильовий вектор став і енергія.

Виникаючий або зникаючий фонон  при зіткненні володіє енергією і його хвильовим вектором. При  взаємодії електрона з фононами виконуються два закони: закон  збереження енергії і закон збереження квазіімпульса.

При поглинанні електроном фонона

,

. (1.67)

У цьому випадку число фононів  зменшиться на одиницю,.

При випусканні електроном фонона

,

. (1.68)

Число фононів збільшується на одиницю, тобто

. (1.69)

Розсіювання носіїв заряду може бути пружним і непружних. Характеризуються такі зіткнення величиною відносної зміни енергії електрона за одне зіткнення.

(1.70)

або за одиницю часу

. (1.71)

У разі пружного розсіяння δ << 1 середній час розсіювання τ має сенс часу релаксації системи по імпульсу. Час релаксації

по енергії.

Розглянемо атомний напівпровідник кубічної сингонії, енергетична схема  якого представлена ​​на рис. 1.8. У процесі коливання кристалічної решітки виникають як поперечні хвилі, що представляють собою хвилі деформації зсуву, так і поздовжні, які є хвилями деформації стиснення і розтягування. Поперечні хвилі в кубічному кристалі не призводять до зміни обсягу, тоді як поздовжні зумовлять зміну об'єму кристала. При стисненні кристалу зменшується величина постійної решітки і нижній край зони провідності (рис. 1.8) зміщується вгору, а верхній край валентної зони - вниз, у зв'язку з чим ширина забороненої зони збільшується.

При розтягуванні решітки ширина забороненої  зони зменшиться,