Моделирование численности популяций. Исследование в зависимости от начальных условий: изменение численности хищников

математическое моделирование хищник жертва

 

 

3. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ ХИЩНИК-ЖЕРТВА

 

Рассмотрим математическую модель совместного существования двух биологических видов (популяций) типа "хищник - жертва", называемую моделью Вольтерра - Лотки.

Пусть два биологических вида совместно обитают в изолированной среде. Среда стационарна и обеспечивает в неограниченном количестве всем необходимым для жизни один из видов, который будем называть жертвой. Другой вид - хищник также находится в стационарных условиях, но питается лишь особями первого вида. Это могут быть караси и щуки, зайцы и волки, мыши и лисы, микробы и антитела и т. д. Будем для определенности называть их карасями и щуками.

Заданы следующие начальные показатели:

 

Наименование показателя	Щуки	Караси
— начальная численность популяции	10000	800
— коэффициент естественного прироста/смертности	1,1	0,001
— коэффициенты межвидового взаимодействия	0,0001	0,0001

 

Со временем число карасей и щук меняется, но так как рыбы в пруду много, то не будем различать 1020 карасей или 1021 и поэтому будем считать и непрерывными функциями времени t. Будем называть пару чисел ( , ) состоянием модели.

Очевидно, что характер изменения состояния ( , ) определяется значениями параметров. Изменяя параметры и решая систему уравнений модели, можно исследовать закономерности изменения состояния экологической системы во времени.

В экосистеме скорость изменения численности каждого вида также будем считать пропорциональной его численности, но только с коэффициентом, который зависит от численности особей другого вида. Так, для карасей этот коэффициент уменьшается с увеличением числа щук, а для щук увеличивается с увеличением числа карасей. Будем считать эту зависимость также линейной. Тогда получим систему из двух дифференциальных уравнений:

 

 

Эта система уравнений и называется моделью Вольтерра-Лотки. Числовые коэффициенты , , - называются параметрами модели. Очевидно, что характер изменения состояния ( , ) определяется значениями параметров. Изменяя эти параметры и решая систему уравнений модели, можно исследовать закономерности изменения состояния экологической системы.

Проинтегрируем оба уравнения систему по t, которое будет изменяться от - начального момента времени, до , где T – период, за который происходят изменения в экосистеме. Пусть в нашем случае период равен 1 году. Тогда система принимает следующий вид:

 

;

 

 

;

 

Принимая = и = приведем подобные слагаемые, получим систему, состоящую из двух уравнений:

 

 

Подставив в полученную систему исходные данные получим популяцию щук и карасей в озере спустя год:

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В курсовой работе показана взаимосвязь между хищником и жертвой, в результате которой эволюционно выигрывают оба. В процессе естественного отбора, обусловленного этими взаимоотношениями, в обеих популяциях выживают наиболее здоровые и приспособленные к условиям среды особи. Взаимоотношения "хищник-жертва" обычно приводят к регулярным циклическим колебаниям численности.

Моделирование показывает, что в системе, описывающей взаимодействие живых организмов, существенное изменение численности живых организмов вызывает катастрофические изменения во всей системе. Кроме того, сильное уменьшение популяции определенного вида животных может привести к полному исчезновению этих животных.

Установлено, что факторы, обеспечивающие стабильность «хищник-жертва», следующие:

-   неэффективность хищника, бегство жертвы;

- экологические ограничения, налагаемые внешней средой на численность популяции;

-   наличие у хищника альтернативных пищевых ресурсов.

В итоге, следует еще раз акцентировать внимание на том, что бессмысленно рассматривать динамику численности жертв изолированно от динамики численности хищников, так как эти процессы взаимосвязаны и взаимозависимы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

1. Базыкин А. Д., Березовская Ф. С. «Эффект Олли, нижняя критическая численность популяции и динамика системы хищник – жертва // Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем». 1979. Т. 2. С. 161–175.

2. Базыкин А. Д. «Нелинейная динамика взаимодействующих популяций». М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 368 с.

3. Ризниченко Г. Ю., Рубин А. Б. «Биофизическая динамика продукционных процессов». М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 464 с.

4. Апонина Е. А., Апонин Ю. М., Крейцер  Г. П., Шноль Э. Э. «Предельные циклы системы двух дифференциальных уравнений». Пущино: ОНТИ, 1974. 45 с.

5. Апонин Ю. М., Апонина Е. А. «Сепаратрисы системы двух дифференциальных уравнений». Пущино: ОНТИ, 1976. 36 с.

6. Фрисман Е. Я. «Об одной модели динамики численности // Модели биологических сообществ»: Сб. науч. тр. / ДВНЦ АН СССР. Владивосток, 1979. С. 23–27.

Размещено на Al