Профильная дифференциация обучения математики

О – центр симметрии: а) О ↔ О б) (АО=ОА1, Оє АА1) ↔ ↔ (А ↔ А1)          В                         А1                    О      А                        В

а – ось симметрии: а) (М є а) ↔ (М ↔ М); б) (АО = ОА1, О є АА1, Оєа, АА1 ┴ а)↔ (А↔А1)                 а                     М              А1                О   А                           В                С         В1

λ – плоскость симметрии: а) (М є λ) ↔ (М ↔ М); б) (АО = ОА1, О є АА1, Оє λ, АА1 ┴ λ)↔ (А↔А1)          λ         М            А1   А               О                    В                                С                                      В1

Каждая точка Х фигуры симметрична точке Х1 той же фигуры:

1.Относительно точки О   Д1                  Х1                            С1                                                                                      А1                                              В1                     О         Д                                          С А                    Х                      В                    О – центр симметрии параллелепипеда

2. Относительно прямой МО               М              Д                       С   А                       В  МО – ось симметрии пирамиды

3  Относительно плоскости АДД1                                    С1 А1                          Д1                          В1         Х1                     Х                                С А                            Д                      В  АДД1 – плоскость симметрии призмы

 

В классе решаются задачи из учебника: № 282, 283, 285, 287

Дома: п. 31-33, задачи № 271 – 273, 274, 275. 

Второй урок можно начать проведением устной работы над понятиями симметричных точек, центра, оси и плоскости симметрии:

1. Дан куб АВСДА1 В1 С1 Д1.  Для каждой вершины куба укажите точку, симметричную относительно:

а) точки пересечения его диагоналей;

б) прямой, проходящей через центры противоположных граней куба;

в) плоскости диагонального сечения куба;

г) прямой, проходящей через середины ребер АА1 и СС1;

д) плоскости, проходящей через середину бокового ребра параллельно плоскости основания куба

2. Отрезок МО – высота правильной четырехугольной пирамиды МАВСД. Какие точки симметричны вершинам пирамиды относительно:

а) точки О;

б) прямой МО;

в) плоскости МВД?

Понятие «Правильный многогранник», представление о видах правильных многогранников целесообразно формировать с помощью предлагаемых ниже заданий:

1. Докажите, что тетраэдр, все ребра которого равны, является правильным многогранником. Как называется такой многогранник?
2. Является ли правильным многогранником четырехугольная пирамида, все ребра которой равны?
3. Докажите, что параллелепипед, у которого три грани, имеющие общую вершину, - квадраты, является правильным многогранником. Как называется такой многогранник?
4. Является ли правильным многогранником параллелепипед, все ребра которого равны?
5. Сколько ребер может сходиться в одной вершине правильного многогранника?
6. Какие правильные многогранники имеют равные плоские углы?
7. На какие многогранники разбивается правильный октаэдр секущей плоскостью, проходящей через два ребра, которые не принадлежат одной грани и имеют общую вершину?

После проведения вышеуказанных заданий, можно провести самостоятельную работу по вариантам либо в группах.

Образцы карточек с заданиями:

1. Какая призма называется:

а) прямой;

б) наклонной;

         в) правильной?

[Какие точки называются симметричными  относительно плоскости? Приведите  пример многогранника, имеющего  плоскость симметрии.]

2. Сформулируйте и докажите теорему о площади боковой поверхности правильной пирамиды [прямой призмы].
3. Докажите, что прямая, проходящая через середины двух противоположных ребер правильного тетраэдра, перпендикулярна к ним. Найдите длину отрезка, соединяющего середины противоположных ребер правильного тетраэдра, если ребро тетраэдра равно 1 м. [В правильной треугольной пирамиде высота равна стороне основания. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания].

После окончания самостоятельной работы выясняется, кто усвоил пройденную тему. Кто плохо усвоил. С теми, у кого возникли проблемы необходимо провести индивидуальные дополнительные занятия.

 

 

Теперь рассмотрим как эта тема «Правильные многогранники» изучается в гуманитарных классах.

На изучение этой темы в гуманитарных классах отводится одно занятие.

Вообще тема многогранники одна из основных в традиционном курсе школьной геометрии. Она имеет яркие приложения, в том числе в живописи, архитектуре. Поэтому, обучая стереометрии школьников гуманитарных классов, следует уделить большое внимание многогранникам.

Итак, в начале урока вводится определение: «Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многогранники, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней».

С некоторыми правильными многогранники учащиеся уже встречались. Это треугольная пирамида, гранями которой являются правильные треугольники (рис. а). Есть иное название тетраэдр, что в переводе с греческого означает четырехгранник.

Рассмотрим другие правильные многогранники, прежде всего те из них, гранями которых являются правильные треугольники. Один из них мы уже рассмотрели – это тетраэдр. В каждой его вершине сходится по три грани. Многогранник, гранями которого являются правильные треугольники, и в каждой вершине сходится четыре грани, изображен на рис. в. Его поверхность состоит из восьми правильных треугольников и поэтому он называется октаэдром (окта – восемь). Многогранник, в каждой вершине которого сходится пять правильных треугольников, показан на  рис. д. Его поверхность состоит из двадцати правильных треугольников  и называется икосаэдром (икоса – двадцать).

 

 

 

 

       а)                                                                в)

 

 

 

 

 

 

 б)

 

 

 

 д)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

 

 

 

Заметим, что в вершинах выпуклого многогранника не может сходиться более пяти правильных треугольников, поэтому других правильных многогранников, гранями которых являются правильные треугольники, не существуют. Значит, их всего три: тетраэдр, октаэдр, икосаэдр.

В вершинах выпуклого многогранника может сходиться только три квадрата, значит других правильных многогранников, у которых гранями являются квадраты, кроме куба, не существует. Многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники, и в каждой вершине сходятся три грани, изображен на рис. г. Его поверхность состоит из двенадцати правильных пятиугольников и поэтому он называется додекаэдром (доде – двенадцать).

В вершинах выпуклого многогранника не могут сходиться правильные многоугольники, у которых число сторон больше пяти, поэтому других правильных многогранников не существует, и, таким образом,  имеется только пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

После теории переходим к практике, решая следующие задачи:

1. Почему гранями правильного многогранника не могут быть правильные шестиугольники?
2. Представьте многогранник – бипирамиду, сложенную из двух правильных тетраэдров совмещением их оснований. Будет ли она правильным многогранником? Ответ обоснуйте.
3. Нарисуйте правильные многогранники.
4. Покажите, что центры граней куба являются вершинами октаэдра и, наоборот, центры граней октаэдра являются вершинами куба.
5. Покажите, что центры граней додекаэдра являются вершинами икосаэдра и, наоборот, центры граней икосаэдра являются вершинами додекаэдра.
6. Ребро октаэдра равно а. Определите расстояние между его противоположными вершинами (ось октаэдра).
7. Ребро куба равно а. Вычислите ребро вписанного в него октаэдра.
8. Изготовьте модели правильных многогранников из разверток.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Башмаков М.И. Уровень и профиль школьного математического образования //  «Математика в школе», № 2, 1993.
2. Берулова М.Н. Гуманизация образования: направления и проблемы // педагогика, 1996, № 6.
3. Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д. К проблеме дифференциации школьного математического образования //  «Математика в школе», 1988г, № 2
4. Глейзер Г.Д. Проблемы индивидуализации и дифференциации обучения в вечерней школе. – М: издательство АПН СССР, 1991.
5. Гончаров В.С. Зависимость стратегии поиска решения от типа мышления // Вопросы психологии, 1981, № 4.
6. Гончаров Н.К. Еще раз о дифференциальном обучении в старших классах общеобразовательной школы // Советская педагогика, 1963,

        № 3.

7. Гончаров Н.К. О введении фуркации в старших классах средней школы // Советская педагогика, 1958, № 6.
8. Дорофеев Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования // Математика в школе, 1990, № 6.
9. Дробышева И.В. Дифференцированное обучение: история и опыт. Учебное пособие для студентов ФМ факультета. Калуга: КГПУ, 1998.
10. Забранский В.Я. Дифференцированное обучения математике учащихся 5-6 классов основной школы // Киев 1990.
11. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. Часть 1. – М: Просвещение, 1977.
12. Маркова А.К., Орлов А.Б., Матис Т.А. Формирование мотивации учения: Книга для учителей. – М: Просвещение, 1990.
13. Маркова А.К., Матис Т.А., Орлов А.Б. Формирование мотивации учения. – М: Просвещение , 1980.
14. Мельников М.А. Опыт дифференцированного обучения в советской средней школе. // Советская педагогика, 1962, №9.
15. Метельский Н.В. Реализм – основа перестройки школьного математического образования. // Математика в школе, 1989, № 3
16. Мурачковский Н.И. Психологический аспект организации дифференцированных форм работы на уроке. // Советская педагогика, 1983, № 10.
17. Огурцов Н.Г., бунтовская Т.М. Дифференцированное обучение в школе: опыт, проблемы, перспективы. – Минск: Знание, 1970.
18. Осмоловская И.М. Организация дифференцированного обучения в современной общеобразовательной школе. – М: Издательство «Институт практической психологии», Воронеж: Издательство НПО «МОДЭК», 1998.
19. Рогановский Н. Дифференцированное обучение – как его осуществить? // Народное образование, 1991, № 3.
20. Рогановский Н.М. Каким быть дифференцированному учебнику // Математика в школе, 1990, № 3.
21. Шишмаренков В.К. Теория и практика разноуровневого дифференцированного обучения в средней школе: Челябинск, 1997.
22. Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. – М: Просвещение, 1995.
23. Шахмаев Н.М. Дифференциация обучения в средней общеобразовательной школе // Дидактика средней школы. – М: Просвещение, 1982.
24. Шахмаев Н.М. Учителю о дифференцированном обучении (методики, рекомендации). – М: Ротапринт НИИ ОП АПН СССР, 1989.