Тригонометрические уравнения в школьном курсе алгебры

 

Покажу на примерах, как  решаются такие уравнения с применением выше указанных формул.

№ 136(б).

сos x = – ,

х = ± arccos (– ) + 2πn, n Î Z,

х = ±

Ответ: х = ±

№ 139(б).

2 sin x + = 0,

2 sin x = – ,

sin x = –  ,

х = (– 1)ⁿarcsin (– ) + πn, n Î Z,

х = (– 1)^{n + 1} + πn, n Î Z.

Ответ: х = (– 1)^{n + 1} + πn, n Î Z.

№ 144(г).

ctg (– ) = 1,

– ctg = 1,

ctg = – 1,

= arсctg (– 1) + πn,  n Î Z,

= + πn,  n Î Z,

х = + 2πn,  n Î Z.

Ответ: х = + 2πn,  n Î Z.

№ 145(в).

tg ( ) = 3,

tg ( ) = ,

= arctg + πn,  n Î Z,

= + πn,  n Î Z,

= πn,  n Î Z,

х = 3πn,  n Î Z.

Ответ: х = 3πn,  n Î Z.

 

Проблема решения тригонометрических уравнений состоит не в большом  количестве разнообразных формул, а в выборе направления, по которому необходимо двигаться для решения уравнения. Первый шаг на пути решения тригонометрического уравнения – это попытка отнести его к какому-либо типу, и если это удаётся, то применить характерный для данного типа уравнения приём. Рассмотрим основные типы уравнений, предлагаемых в школьном учебнике под редакцией А. Н. Колмогорова. В учебном пособии приёмы решения тригонометрических уравнений не конкретизируются, а рассматриваются на нескольких конкретных примерах.

Для решения тригонометрических уравнений чаще всего используется два метода: введения новой переменной и разложения на множители.

Одним из самых общих  методов решения тригонометрических уравнений является сведение тригонометрического уравнения к алгебраическому относительно одной тригонометрической функции с использованием тригонометрических формул:                                   cos²х = 1 – sin²х, sin²х = 1 – cos²х,

Уравнения вида sin ах ± sin вх = 0, cos ах ± cos вх = 0 решаются заменой суммы (разности) синусов и косинусов произведением.

Часто, особенно при решении  квадратного уравнения относительно одной из тригонометрических функций, используется метод введения новой переменной.

Интерес вызывают и уравнения, сводимые к однородным: а × sin х + в × сos x = 0, а × sin² х + в × sin х  × сos x + с × сos² x = 0

 

2.2 Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным

 

Сведение тригонометрического уравнения к алгебраическому относительно одной тригонометрической функции – один из самых общих методов решения тригонометрических уравнений. В этом разделе рассмотрим уравнения, которые после введения нового неизвестного t = f(x), где f(x) – одна из основных тригонометрических функций, превращаются в квадратные. К таким уравнениям можно отнести уравнения вида:                             asin²x + вsin x + c = 0,  аcos²x + вsin x + c = 0 и т. д. Но в большинстве случаев приходится исходное уравнение преобразовать так, чтобы оно приобрело нужный вид. Для этого чаще всего используется основное тригонометрическое  тождество                                     sin²х + cos²х = 1.

В учебнике это: № 164, 165, 166, 167, 168(б, г), 171(б, г).

Покажу на примерах, как  решаются такие уравнения.

№164(а).

2sin²x + sin х – 1 = 0.

Введём новую переменную: t = sin х.  Тогда данное уравнение можно записать в виде: 2t² + t – 1 = 0. это квадратное уравнение. Его корни: t₁ = – 1; t₂ = . Тогда sin х = –1 и               sin х = – . Решим каждое из получившихся простейших уравнений.

1) sin х = –1 (это частный случай),

      х =

2)  sin х = – ,

     х = (– 1)ⁿarcsin (–) + πk, k Î Z,

     х = (– 1)^{k + 1} + πk, k Î Z.

Ответ:  х_n =   х_k = (– 1)^{k + 1} + πk, k Î Z.

№ 166(в).

4сos x = 4 – sin²x,

4сos x = 4 – (1 – cos²x),

4сos x = 4 – 1 + cos²x,

cos²x – 4сos x  + 3 = 0.

Пусть cos x = t, тогда t² – 4 t + 3 = 0.

Так как а + в + с = 0, то t₁ = 1, t₂ = 3.

Если t = 1, то cos x = 1,

                        х = 2πn,  n Î Z. 

Если t = 3, то cos x = 3,

                       корней нет, т.к. 3 Ï [– 1; 1].

Ответ:  х = 2πn,  n Î Z. 

 

№ 167(б).

tg x – 2ctg x + 1 = 0.

Применим формулу: .

Получим: tg x – 2 × + 1 = 0.

Пусть tg x = t, тогда t – + 1 = 0,

t² + t – 2 = 0 (при условии t ≠ 0),

 

Так как а + в + с = 0, то t₁ = 1, t₂ = – 2.

Если t = 1, то tg x = 1,

                       х = arctg 1 + πn,  n Î Z,

                       х_n = + πn,  n Î Z.

Если t = – 2, то tg x = – 2,

                          х = arctg (– 2) + πk,  kÎ Z,

                          x_k = – arctg 2 + πk,  kÎ Z.

Ответ: х_n = + πn,  n Î Z,  x_k = – arctg 2 + πk,  kÎ Z.

 

2.3 Однородные уравнения

 

Здесь я рассмотрю  довольно часто встречающиеся на практике тригонометрические уравнения  специального вида.

Рассмотрим уравнения вида а_о × sinⁿ х + a₁ × sin^{n – 1} х × сos x  + a₂ × sin^{n – 2} х × сos² x + … + a_n × сos ⁿ x = 0, где а_о, a₁, a₂, …, a_n – действительные числа. Здесь в каждом слагаемом сумма показателей степеней синуса и косинуса левой части уравнения одна и та же и равна n.

Такое уравнение называется однородным относительно sin х и сos x, а число n называют показателем однородности.

Рассмотрим более подробно однородные уравнения с показателями однородности 1 и 2, т.к. в школьном курсе  алгебры рассматриваются только такие однородные уравнения.

I) Сначала скажу о решении однородных тригонометрических уравнений первой степени, причём рассмотрю только самый общий случай, когда оба коэффициента а и в отличны от нуля, т. к., если а = 0, то уравнение принимает вид в × сos x = 0, т. е. сos x = 0 – такое уравнение отдельного обсуждения не заслуживает; аналогично при в = 0 получаем  sin х = 0, что тоже не требует отдельного обсуждения. Итак, при n = 1 имеем уравнение     а × sin х + в × сos x = 0 – это однородное уравнение первой степени, где а ≠ 0, в ≠ 0. 

Разделив обе части  уравнения почленно на сos x, получим уравнение равносильное данному: а × tg x + в = 0 или tg x = – , откуда х = – arctg + πn,  n Î Z.

Необходимо помнить, что  делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль (на 0 делить нельзя!). Мы должны быть уверены в том, что сos x отличен от нуля. Предположим, что сos x = 0. Тогда однородное уравнение а × sin х + в × сos x = 0 примет вид а × sin х = 0, т. е. sin х = 0 (ведь у нас коэффициент а отличен от нуля). Получается, что и сos x = 0, и sin х = 0, а это невозможно, т. к. sin х и сos x обращаются в нуль в различных точках. Итак, в однородном тригонометрическом уравнении первой степени деление обеих частей уравнения на сos x – вполне благополучная операция.

Уравнения вида а × sin mх + в × сos mx = 0 тоже называют однородными тригонометрическими уравнениями первой степени. Для их решения обе части уравнения делят на сos mx.

II) Рассмотрим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени. При n = 2 имеем однородное уравнение вида а × sin² х + в × sin х  × сos x + с × сos² x = 0.

Если коэффициент а отличен от нуля, т. е. в уравнении содержится член sin ² х с каким-то коэффициентом, рассуждая как и выше, нетрудно убедиться в том, что при интересующих нас значениях переменной сos x не обращается в нуль, а потому можно обе части уравнения разделить почленно на сos ²x. Что это даст?

Мы получим уравнение равносильное данному уравнению: а × tg² x + в × tg x  + с = 0. Далее решение уравнения сводится к решению квадратного уравнения относительно tg x.

Таким методом решаются следующие номера из учебника: № 169, 170(а,г),      

 III) Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении а × sin² х + в × sin х  × сos x + с × сos² x = 0 коэффициент а равен 0, т. е. отсутствует член sin² х. Тогда уравнение принимает вид: в × sin х  × сos x + с × сos² x = 0.

Это уравнение можно  решить разложением на множители:

сos x(в × sin х + с × сos x) = 0,

сos x = 0 или в × sin х + с × сos x = 0.

Получилось два уравнения, о решении которых говорилось выше.

Аналогично обстоит  дело и в случае, когда с = 0, т. е. когда однородное уравнение имеет вид а × sin² х + в × sin х  × сos x = 0 (здесь можно вынести за скобки sin х).

Фактически получился  алгоритм решения уравнения 

а × sin² х + в × sin х  × сos x + с × сos² x = 0:

1. Посмотреть есть ли в уравнении член а sin² х.
2. Если член а sin² х в уравнении содержится (т. е. а ≠ 0), то уравнение решается делением обеих его частей на сos² x и последующим введение новой переменной t = tg x.
3. Если член а sin² х в уравнении не содержится (т. е. а = 0), то уравнение решается методом разложения на множители: за скобки выносят сos x.

Также дело обстоит и  в однородных уравнениях вида:

а × sin² mх + в × sin mх  × сos mx + с × сos² mx = 0.

В учебнике для 10-11 классов к этому типу уравнений относится немного уравнений: №169, №170(а, г), №171(в), №172(а, в).

Хочется отметить, что  некоторые уравнения, не являющиеся однородными, могут быть сведены к однородным после соответствующих преобразований.

№170(а).

4sin² х – sin 2x = 3.

Применим формулы: sin 2x = 2 sin x cos x,  sin² х + сos² x = 1. Получим:

4sin² х – 2sin x cos x = 3(sin² х + сos² x),

4sin² х – 2 sin x cos x – 3sin² х – 3сos² x = 0,

sin² х  – 2sin x cos x – 3сos² x = 0.  Это однородное уравнение 2-ой степени. Разделим его на сos² x

tg² х – 2tg х – 3 = 0.

Пусть tg х = t, тогда: t² – 2 t – 3 = 0.

Так как а + с = в, то t₁ = – 1, t₂ = 3.

Если t = – 1, то tg х = – 1,

                           х = arctg (– 1) + πn,  nÎ Z,

                           х_n = – + πn,  n Î Z.

Если t = 3, то tg х = 3,

                       x_k = arctg 3 + πk,  kÎ Z.

Ответ: х_n = – + πn,  n Î Z,   x_k = arctg 3 + πk,  kÎ Z.

№171(а).

2sin² х = sin 2x.

Применим формулу sin 2x = 2 sin x cos x.

2sin² х – sin x cos x = 0,

2sin x(sin x –  cos x) = 0,

2sin x = 0               или                 sin x – cos x = 0,

sin x = 0                                         tg х = ,

х_n = πn, n Î Z                                x_k = arctg + πk,  kÎ Z,

                                                       x_k =  + πk,  kÎ Z.

Ответ: х_n = πn, n Î Z,  x_k =  + πk,  kÎ Z.

                                    

2.4 Уравнения, решаемые разложением на множители

 

Как уже было сказано выше, одним из наиболее часто применяемых методов решения тригонометрических уравнений является метод разложения на множители. Поговорим теперь о нём.

Смысл этого метода таков: если уравнение f(х) = 0 возможно преобразовать к виду f₁(x) × f₂(x) = 0, то задача сводится к решению двух уравнений (обычно говорят – к решению совокупности уравнений): f₁(x) = 0;  f₂(x) = 0.

Этим методом целесообразно  решать уравнения из № 168(а, б), 170(б, в), 171(а), 172(г), 173(а, г), 174. Но хочется заметить, что решая №171(а) и №173(а), мы придём к решению однородных уравнений первой степени.

№168(в).

 tg² x – 3 tg x = 0,

tg x( tg x – 3) = 0,

tg x = 0                    или        tg x – 3 = 0,

х = arctg 0 + πn,  n Î Z         tg x = 3,

х_n = πn,  n Î Z                              tg x = ,

                                                    х = arctg + πk,  k Î Z,       

                                                    х_k = + πk,  k Î Z.

Ответ:  х_n = πn,  n Î Z,   х_k = + πk,  k Î Z.

№170(в).

sin 2х – сos x  = 0,

2 sin х × сos x – сos x  = 0,

сos x(2sin х – 1) = 0,

сos x = 0                           или             2sin х – 1 = 0, 

х_n = 2πn,  n Î Z                                     2sin х = 1,

                                                               sin х = ,

                                                               х_k = (– 1)^k× + πk,  k Î Z.