Теория игр

Теория игр 

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ 3

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ( Глава 1) 6

Платёжная матрица 6

Нижняя и верхняя цена игры 6

Решение игр в смешанных стратегиях 9

Геометрическая интерпретация игры 2´2 12

Приведение матричной игры к задаче линейного программирования 16 

Кооперативная теория игр……………………………………………………………………..

 

Антагонистические и позиционные  игры……………………………………………….

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ(Глава 2) 20

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 26

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ: 27

приложения

 

ВВЕДЕНИЕ

 

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределённости, т. е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны  преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят  от мероприятий партнёра. Такие ситуации, возникающие при игре в шахматы, шашки, домино и т. д., относятся к конфликтным: результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель игры – выигрыш одного из партнёров. В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Во всех этих примерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнёров и стремлением каждого из них принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнёра, и учитывать неизвестные заранее решения, которые эти партнёры будут принимать.

Для грамотного решения задач с  конфликтными ситуациями необходимы научно обоснованные методы. Такие методы разработаны математической теорией  конфликтных ситуаций, которая носит  название теория игр.

Ознакомимся с основными понятиями  теории игр. Математическая модель конфликтной  ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте, - игроками, а исход конфликта – выигрышем. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая: 1) варианты действий игроков; 2) объём информации каждого игрока о поведении партнёров; 3) выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий. Как правило, выигрыш (или проигрыш) может быть задан количественно; например, можно оценить проигрыш нулём, выигрыш – единицей, а ничью - ½.

Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков больше двух. Мы будем рассматривать только парные игры. В них участвуют два игрока А и В, интересы которых противоположны, а под игрой будем понимать ряд действий со стороны А и В.

 Игра называется игрой с  нулевой суммой, или антагонистической,  если выигрыш одного из игроков  равен проигрышу другого, т.  е. для полного задания игры  достаточно указать величину  одного из них. Если обозначить а – выигрыш одного из игроков, b – выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b = -а, поэтому достаточно рассматривать, например а.

Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход – это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной игре). Случайный ход – это случайно выбранное действие (например, выбор карты из перетасованной колоды). В дальнейшем мы будем рассматривать только личные ходы игроков.

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Обычно в процессе игры при каждом личном ходе игрок делает выбор в зависимости от конкретной ситуации. Однако в принципе возможно, что все решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуацию). Это означает, что игрок выбрал определённую стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы. (Так можно осуществить игру с помощью ЭВМ). Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной – в противном случае.

Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т. е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.

 Если игра повторяется достаточно  много раз, то игроков может  интересовать не выигрыш и  проигрыш в каждой конкретной  партии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях.

 Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии естественно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов. Важнейшее ограничение теории игр – естественность выигрыша как показателя эффективности, в то время как в большинстве реальных экономических задач имеется более одного показателя эффективности. Кроме того, в экономике, как правило, возникают задачи, в которых интересы партнёров не обязательно антагонистические. Развитие аппарата теории игр для решения задач со многими участниками, имеющими непротиворечивые интересы, выходят за рамки настоящего пособия.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Платёжная матрица

Нижняя и верхняя цена игры

 

Рассмотрим  парную конечную игру. Пусть игрок А располагает m личными стратегиями, которые обозначим А₁, А₂, …, А_m . Пусть у игрока В имеется n личных стратегий, обозначим их B₁, B₂, …, В_n. Говорят, что игра имеет размерность m×n. В результате выбора игроками любой пары стратегий

А_i и В_j (i = 1, 2, …, m;  j = 1, 2, …, n)

однозначно  определяется исход игры, т.е. выигрыш а_ij игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш (-а_ij) игрока В. Предположим, что значения а_ij известны для любой пары стратегий (А_i, B_j). Матрица Р = (а_ij), i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n, элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям А_i и В_j, называется платёжной матрицей или матрицей игры. Общий вид такой матрицы представлен в табл. 1

                                                                                                               Таблица 1

Bi             Аj	В1	В2	…	Вn
А1	а11	а12	…	а1n
А2	а21	а22	…	а2n
…	…	…	…	…
Аm	аm1	аm2	…	аmn

  
Строки этой таблицы соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы – стратегиям игрока В.

Рассмотрим  игру  m×n  с матрицей  Р = (а_ij), i = 1, 2, …, m;  j = 1, 2, … ,n и определим наилучшую среди стратегий А₁, А₂, …, А_m. Выбирая стратегию А_i, игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на неё той из стратегий В_j, для которой выигрыш для игрока А минимален (игрок В стремится “навредить” игроку А).

Обозначим через a_i наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии А_i для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в   i-й строчке платёжной матрицы), т.е.

_.

Среди всех  чисел  a_i  (i = 1, 2,   …,m)  выберем наибольшее: .

Назовём a нижней  ценой игры, или максимальным выигрышем (максимином). Это  гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В. Следовательно,

.

 

Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией. Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А; выбирая стратегию В_j, он учитывает максимально возможный при этом выигрыш для А. Обозначим

.

Среди всех чисел  b_j выберем наименьшее    и назовём b верхней ценой игры или минимаксным выигрышем (минимаксом). Это гарантированный проигрыш игрока В. Следовательно,

.

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной  стратегией.

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее «осторожных» минимаксной и максиминной стратегий, называется  принципом  минимакса.  Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника.

Любая стратегия  игрока В является минимаксной. Дополнив таблицу 1 строкой b_j и столбцом a_i, получим таблицу 2. На пересечении дополнительных строки и столбца будем записывать верхнюю и нижнюю цены игр.

 

                                                                                                             Таблица 2  

Bi             Aj	B1	B2	ai
A1	- 1	1	- 1
A2	1	- 1	- 1
bj	1	1	a = -1 b = 1

 

Если  верхняя и нижняя цены игры совпадают, то общее значение верхней и нижней цены игры  a = b = n  называется чистой ценой игры, или ценой игры. Минимаксные стратегии, соответствующие цене игры, являются оптимальными стратегиями, а их совокупность – оптимальным решением, или решением игры. В этом случае игрок А получает максимальный гарантированный (не зависящий от поведения игрока В) выигрыш n, а игрок В добивается минимального гарантированного (вне зависимости от поведения игрока А) проигрыша n. Говорят, что решение игры обладает устойчивостью, т.е. если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии.

Пара  чистых стратегии A_i и B_j даёт оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий ей элемент a_ij является одновременно наибольшим в своём столбце и наименьшим в своей строке. Такая ситуация, если она существует, называется седловой точкой (по аналогии с поверхностью седла, которая искривляется вверх в одном направлении и вниз – в другом).

Обозначим А^* и В^* - пару чистых стратегий, на которых достигается решение игры в задаче с седловой точкой. Введём функцию выигрыша первого игрока на каждой паре стратегий: P(A_i, B_j) = a_ij. Тогда из условия оптимальности в седловой точке выполняется двойное неравенство: P(A_i, B^*) £ P(A^*, B^*)£ P(A^*, B_j), которое справедливо для всех i = 1,…,m; j = 1, …, n. Действительно, выбор стратегии А^* первым игроком при оптимальной стратегии В^* второго игрока максимизирует минимальный возможный выигрыш:  P(A^*, B^*) ³ P(A_i, B^*), а выбор стратегии В^* вторым игроком при оптимальной стратегии первого минимизирует максимальный проигрыш:  P(A^*, B^*) £ P(A^*, B).

 

Решение игр в смешанных стратегиях

 

Если  игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий не даёт оптимального решения игры. Так в задаче 1 a ¹ b, седловая точка отсутствует. В таком случае можно получить оптимальное решение, случайным образом чередуя чистые стратегии.

Смешанной стратегией S_a игрока А называется применение чистых стратегий A₁, A₂, …, A_i, …, A_m с вероятностями p₁, p₂, …, p_i, …, p_m, причём

сумма вероятностей равна 1:  . Смешанные стратегии игрока А записываются в виде матрицы

или в виде строки  S_A = (p₁, p₂, …, p_i, …, p_m). Аналогично смешанные стратегии игрока В обозначаются:

, или S_B = (q₁, q₂, …, q_j, …, q_n),                

где сумма вероятностей появления  стратегий равна 1: .

Чистые  стратегии можно считать частным  случаем смешанных и задавать строкой, в которой 1 соответствует чистой стратегии. На основании принципа минимакса определяется оптимальное решение (или решение) игры: это пара оптимальных стратегии S_A^*, S_B^*  в общем случае смешанных, обладающих следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей. Выигрыш, соответствующий оптимальному решению, называется ценой игры n. Цена игры удовлетворяет неравенству: