Теория игр: игры с природой

 

Традиционно следующим этапом такого развития являются так называемые игры с природой. Формально изучение “игр с природой“, так же как и стратегических, должно начинаться с построения платежной матрицы, что является, по существу, наиболее трудоемким этапом подготовки принятия решения. Ошибки в платежной матрице не могут быть компенсированы никакими вычислительными методами и приведут к неверному итоговому результату.

 

Отличительная особенность игры с природой состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников, в большинстве случаев называемый игроком 1. Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные «ходы» партнер по игре. Поэтому термин «природа» характеризует некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально, хотя вполне могут встретиться ситуации, в которых «игроком» 2 действительно может быть природа (например, обстоятельства, связанные с погодными условиями или с природными стихийными силами).

 

 

Задача

 

Швейная фабрика на летний сезон может реализовать два вида костюмов: 1200 костюмов по цене 520 руб. и 200 костюмов по цене 1000 руб., если погода будет жаркой. Если погода будет холодной, то фабрика может реализовать 650 костюмов первого вида и 700 костюмов второго вида.

 

Определить план выпуска костюмов каждого вида и прибыль, полученную от их реализации.

 

Решение:

 

Швейная фабрика располагает двумя стратегиями: А1 - погода будет жаркой и А2 – погода будет холодной.

 

Если фабрика воспользуется первой стратегией и погода действительно будет жаркой, то прибыль фабрики составит:

 

1200 · 520 + 200 · 1000 = 624 000 + 200 000 = 824 000 руб.

 

Если фабрика воспользуется первой стратегией, но погода будет холодной, то прибыль фабрики составит:

 

650 · 520 + 200 · 1000 – (1200 – 650) · 520 = 338 000 + 200 000 – 286 000 = 252 000 руб.

 

Если фабрика воспользуется второй стратегией и погода действительно будет холодной, то прибыль фабрики составит:

 

650 · 520 + 700 · 1000 = 338 000 + 700 000 = 1 038 000 руб.

 

Если фабрика воспользуется второй стратегией, но погода будет жаркой, то прибыль фабрики составит:

 

650 · 520 + 200 · 1000 – (700 – 200) · 1000 = 338 000 + 200 000 – 500 000 = 38 000 руб.

 

Составим матрицу прибыли.

Стратегии	В1	В2
А1	824000	252000
А2	38000	1038000

 

 

 

α = max (252 000; 38 000) = 252 000 руб.

β = min (824 000; 1 038 000) = 824 000 руб.

 

Таким образом, цена игры находится в диапазоне от 252 000 руб. до 824 000 руб.

 

Минимальный гарантированный доход швейной фабрики составит 252 000 руб., но возможен и доход в 824 000 руб.

 

Определим план выпуска изделий швейной фабрикой. Вероятность выбора стратегии А1 обозначим через х1, а вероятность выбора стратегий А2 – через х2. Учитывая, что х2 = 1 - х1,можем записать:

 

(a11 – a12)· х1 + a12 = (824 000 – 38 000)· х1 + 38 000 = 786 000 х1 + 38 000;

 

(a21 – a22)· х1 + a22 = (252 000 – 1 038 000) · х1 + 1 038 000 = -786 000 х1 + 1 038 000;

 

786 000 х1 + 786 000 х1 = 1 038 000 – 38 000

 

1 572 000 х1 = 1 000 000

 

х1 = 0,64; х2 = 1 – 0,64х2 = 0,36;

 

0,64 (1200; 200) + 0,36 (650; 700) = (1002; 380).

 

Цена игры составит: 786 000 х1 + 38 000 = 541 040 руб.

 

Таким образом, план выпуска изделий таков: 1002 костюма первого вида и 380 костюмов второго вида, и при любых погодных условиях швейная фабрика получит прибыль не менее 541 000 руб.

 

Определим критерии.

 

1.         Критерий  Вальде:

 

max (min a ij) = max (38 000; 252 000) = 252 000 руб.

 

Швейной фабрике целесообразно использовать стратегию А1 .

 

2.         Критерий  максимума:

 

max (max a ij ) = max (824 000; 1 038 000) = 1 038 000 руб.

 

Швейной фабрике целесообразно использовать стратегию А2 .

 

 

3.         Критерий  Гурвица:

 

пусть α = 0,4 , тогда для стратегии А1

 

α min a ij + (1 - α) max a ij = 0,4 · 252 000 + (1 – 0,4) · 824 000 = 595 200 руб.

 

для стратегии А2

 

α min a ij + (1 - α) max a ij = 0,4 · 38 000 + (1 – 0,4) · 1 038 000 = 638 000 руб.

 

Швейной фабрике целесообразно использовать стратегию А2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Теория игр полезна, когда требуется определить важные факторы принятия решений в условиях конкурентной борьбы. Благодаря ей, можно предположить примерное затрачивание ресурсов и времени для достижения цели, и стоит она того. Так же большое преимущество теории игр в том, что ее можно применить к задачам связи, к вопросам технологии, медицины, нефтедобычи, спорта, рыболовства, к противовоздушной обороне, к задачам, которые приходится решать командиру в сражении, к задачам разоружения и т.д.

 

Недостаток Теории игр в том, что есть игры, в которых проработка сложных ситуаций требует большого количества времени. Для их вычисления требуется специальное программное обеспечение, и мощная база вычислительных машин. Ведь для исследования даже самой простой ситуации в торгово-экономической сфере, бывает необходимым провести большое количество вычислений. Но это не значительный недостаток, так как электроника не стоит на месте, она развиваются, вычислительные машины становятся мощнее, их скорость вычислений увеличивается в несколько раз. В будущем, на проработку игр, которых раньше уходило до несколько лет, будет уходить лишь несколько дней.

 

«Есть в современной математике одна область, она носит безобидное название теории игр, но ей, несомненно, суждено сыграть очень важную роль для человечества в самом ближайшем будущем» - говорил Джон фон Нейман, один из основоположников кибернетики. Я полностью согласен с его мнением, что Теория Игр является нашим главным, необходимым будущим в современной науке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение: Пер. с англ. – М.: Наука, 1970.
2. Лекции по «Методы принятия управленческих решений»