Шпаргалка по "Теорія ймовірності"

.

Значення  невідомих параметрів приймаються  у тих точках, де функція правдоподібності набуває свого найбільшого значення.

 

54. Метод найменших квадратів  при знаходженні точкових оцінок

Метод найменших  квадратів — метод знаходження наближеного розв'язку надлишково-визначеної системи. Часто застосовується в регресійному аналізі. На практиці найчастіше використовується лінійний метод найменших квадратів, що використовується у випадку системи лінійних рівнянь. Зокрема важливим застосуванням у цьому випадку є оцінка параметрів у лінійній регресії, що широко застосовується у математичній статистиці і економетриці.

 

55. Поняття про функціональну,  статистичну і  кореляційну  залежності.

Показником, що вимірює стохастичний зв’язок між змінними, є коефіцієнт кореляції, який свідчить з певною мірою  ймовірності, наскільки зв’язок  між змінними близький до строгої  лінійної залежності.

За наявності кореляційного  зв’язку між змінними необхідно  виявити його форму функціональної залежності (лінійна чи нелінійна), а саме:; 

; 

 

Наведені можливі залежності між  змінними X і Y називають функціями  регресії. Форму зв’язку між змінними X і Y можна встановити, застосовуючи кореляційні поля, які зображені  на рисунках

Для двовимірного статистичного розподілу  вибірки ознак (Х, Y) поняття статистичної залежності між ознаками Х та Y має  таке визначення:

статистичною залежністю Х від Y називають таку, за якої при зміні  значень ознаки Y = y_i змінюється умовний статистичний розподіл ознаки Х, статистичною залежністю ознаки Y від Х називають таку, за якої зі зміною значень ознаки X = x_i змінюється умовний статистичний розподіл ознаки Y.

Між ознаками Х та Y може існувати статистична  залежність і за відсутності кореляційної. Але коли існує кореляційна залежність між ознаками Х та Y, то обов’язково  між ними існуватиме і статистична  залежність

 

56. Рівняння лінійної  регресії. Довірчий інтеграл для  лінії регресії

Ураховуючи вплив на значення Y збурювальних випадкових факторів, лінійне  рівняння зв’язку X і Y можна подати в такому вигляді:

, 

де , є невідомі параметри регресії, є випадковою змінною, що характеризує відхилення y від гіпотетичної теоретичної регресії.

Отже, в рівнянні (485) значення «y»  подається у вигляді суми двох частин: систематичної  і випадкової . Параметри , є невідомими величинами, а є випадковою величиною, що має нормальний закон розподілу з числовими характеристиками: , . При цьому елементи послідовності є некорельованими

У результаті статистичних спостережень дослідник дістає

характеристики для незалежної змінної х і відповідні значення залежної змінної у.

Ураховуючи те, що і є випадковими величинами, то і лінійна функція регресії буде випадковою. Позначимо через значення ознаки Y, обчислимо за формулою

. 

Тоді

 

 

.

Звідси дістали:

або

.Випадкова величина

 

має t-розподіл із ступенями свободи. Ураховуючи можна побудувати довірчий інтервал для лінійної парної функції регресії із заданою надійністю γ, а саме:

.  

випливає