Шпаргалка по "Теорія ймовірності"

Для дискретних випадкових величин  закони розподілу можуть задаватися множиною значень, що їх набуває випадкова  величина, і ймовірностями цих  значень.

Якщо  то або, якщо величина набуває зліченної множини значень, то Закони розподілу дискретних випадкових величин задаються у табличній формі (подаються значення випадкової величини і їхні ймовірності), аналітичній (наводиться формула, за якою обчислюються ймовірності для заданих значень випадкової величини), графічній (у прямокутній системі координат задається набір точок сполучивши точки відрізками прямих, дістанемо многокутник розподілу ймовірностей).

 

18.Функція розподілу.  Означення, властивості, графік.

Універсальним способом задання закону розподілу ймовірностей є функція  розподілу Цю функцію можна тлумачити так:унаслідок експерименту випадкова величина може набути значення, меншого за х. Для дискретних величин

Функція розподілу —  неспадна, неперервна зліва,

Для довільних 

Якщо Х — неперервна випадкова  величина, то — неперервна і диференційована; її похідна називається щільністю розподілу ймовірностей. При цьому — невід’ємна функція, для якої

Властивості:

1.0£F(x)£1

2.F(x) є неспадною функцією,а саме F(x₂)³F(x₁), якщо х₂>х₁

Графік функції розподілу може мати такий вигляд:_S-

 

19.Щільність ймовірностей. Властивості, графік

Диференціальною функцією розподілу  або щільністю імовірностей НВВ  називають похідну І-го порядку  від її інтегральної функції розподілу

Диференціальна функція розподілу  має такі властивості:

f(x)=>0, тому що вона є похідною зростаючої функції F(x)

f(x)=0 при x<a та x=>b, тому що є похідною F(x)=0 при x<a та F(x)=1 при x=>b

S+&-&f(x)dx=1, тому що подія {-&<X<+&} – достовірна.

Графік щільності імовірностей f(x) називають кривою розподілу.

 

20. Залежні і незалежні  випадкові величини. Операції над  випадковими величинами

Поняття  залежності (незалежності)  -  одне з найважливіших понять теорії ймовірностей.

    Випадкова величина називається незалежною від випадкової величини , якщо закон розподілу не залежить від того, яке значення прийняла випадкова величина :

                                            =, (24)

  Аналогічно  для випадкової величини :  =,                                                       

Якщо  випадкова величина залежить від , то (25)

 і  аналогічно .

      Для дискретних випадкових величин  незалежність означає виконання  умов

                                =,         =  (26)

   Якщо умови (26) не виконуються  хоч би для однієї пари значень   , то це означає залежність випадкових величин.

Над випадковими  величинами можна проводити такі ж самі операції, як і над випадковими  подіями.

Об'єднанням випадкових величин Х  і Y називаємо випадкову величину, можливі значення якої дорівнюють сумам всіх можливих доданків, а ймовірності випадкової величини для незалежних величин і – добутку ймовірностей, для залежних величин – добуткам ймовірностей однієї з них на умовну ймовірність другої.

Перетином незалежних випадкових величин X і Y називають випадкову величину, можливі значення якої дорівнюють добуткам всіх можливих значень і –, ймовірності яких також перемножуються

 

21. Математичне сподівання ДВВ.  Властивості математичного сподівання

Математичним сподіванням ДВВ  Х називається число, яке дорівнює сумі добутків усіх можливих значень  Х на відповідні їм ймовірності. Математичне сподівання має такі властивості:

1. (С — стала);
2. ;
4. якщо Х і Y — незалежні випадкові величини.

 

22.Дисперсія  ДВВ і її властивості. Середнє  квадратичне відхилення

Дисперсією ДВВ Х називають  число, яке дорівнює математичному  сподіванню квадрата відхилення ДВВ  Х від її математичного сподівання. Дисперсія (позначається через ) випадкової величини Х визначається за формулою:

 

Основні властивості дисперсії:

3. якщо випадкові величини незалежні.
4. D(X)=>0

Середнє квадратичне відхилення (позначається літерою s) є квадратним коренем із дисперсії.

 

23. Початкові і центральні моменти ДВВ. Мода, медіана, асиметрія, ексцес.

Початковим  моментом порядку к випадкової величини Х називають математичне сподівання величини Х^к.

Центральним моментом порядку к випадкової величини Х називають математичне сподівання величини (Х-М(Х))^к

Початковий, центральний початковий моменти порядку k величини Х визначають відповідно за такими формулами:

 

 

Медіаною  випадкової величини є Х будь-який корінь рівняння

Мода дискретної величини — це таке її значення, імовірність якого найбільша.

Модою неперервного розподілу є  значення випадкової величини, за якого  щільність розподілу має максимум.

Асиметрія випадкової величини визначається за формулою:

Ексцес випадкової величини обчислюють за формулою:

 

24.Неперервні випадкові  величини. Числові характеристики  НВВ.

НВВ називають таку величину, яка  може приймати будь-яке числове значення з деякого скінченного чи нескінченного  інтервалу (а;б) Кількість можливих значень такої величини є нескінченна.

Якщо простір Ω є неперервним, то математичним сподіванням неперервної  випадкової величини Х називається  величина . (77)

Якщо Ω = (– ¥; ¥), то. (78)

Якщо Ω = [a; b], то

 

Дисперсія для НВВ Обчислюється за формулами:

. (95)

Якщо Х Î [а; b], то

 

Середнім квадратичним відхиленням  випадкової величини Х називають  корінь квадратний із дисперсії:

.

 

25.Означення багатовимірної випадкової  величини. Двовимірна випадкова  величина. Закон розподілу двовимірної  випадкової величини. Умовний розподіл

Якщо  можливі значення випадкової величини визначаються у кожному випробувані 2, 3,…п числами, то такі величини називають  багатовимірними.

Двовимірна  випадкова величина це така випадкова  величина, яка визначається у кожному  випробувані двома числами.

Законом розподілу дискретної двохвимірної випадкової величили називають перелік  можливих значень цієї величини та їх ймовірностей.

Умовним законом розподілу двохвимірної ВВ У при фіксованому значенні Х=хі називають перелік можливих значень випадкової величини У=уі і  відповідних їм умових ймовірностей, обчислених при фіксованому значенні Х=хі.

 

26.Функція розподілу п-вимірної  випадкової величини. Функція розподілу  двовимірної в.в. Властивості  функції розподілу.

Функція розподілу  системи двох випадкових величин визначає ймовірність спільного настання двох подій: Геометрично функцію розподілу можна інтерпретувати як імовірність потрапляння випадкової точки в нескінченний прямокутник із вершиною обмежений згори і праворуч

 

 

Функція розподілу має такі властивості:

 

 — неспадна функція х і  y;

 

 

 

Функції визначають закони розподілу для випадкових величин які входять до системи.

За допомогою функції розподілу  можна подати ймовірність потрапляння  випадкової точки у прямокутник, сторони якого паралельні осям координат:

 

 

27.Коваріація та її  властивості. Коефіцієнт кореляції.  Властивості коефіцієнта кореляції

Для опису  двовимірної випадкової величини використовують також коваріацію.

Cov(X,Y)=Kxy=M(X-m.x)*(Y-m/y)

Для неперервних  величин Х та У Kxy=

Коефіцієнт  кореляції 

Коефіцієнт  кореляції є кількісна характеристика залежності випадкових величин Х  та У і часто використовується у статистиці.

Властивості коефіцієнта кореляції:

 

Якщо  Х та У незалежні, то

Якшо  між Х та У є лінійна залежність У=аХ+б, де а та б – постійні, то

 

28.Біномний закон розподілу.  Числові характеристики

Імовірності в цьому  законі визначаються за формулою m = 0,1,2, …, n. Закон справджується для схеми незалежних повторних випробувань, у кожному з яких подія А настає з імовірністю р. Частота настання події А має біноміальний закон розподілу. Імовірнісна твірна:

Випадкова величина - число появ деякої події в незалежних спробах, причому . Нехай - число появ події   в -й спробі . Кожна з дискретних випадкових величин приймає тільки два можливі значення :  0 і 1. Отже, ряд розподілу

	0	1

Звідки    ,      ,     .

Випадкова величина =++…+.  Оскільки випадкові величини  незалежні в сукупності, то   ,       .

 

29. Закон розподілу Пуассона, числові  характеристики, використання

Дискретна випадкова величина має  розподіл Пуассона, якщо вона набуває  зліченної множини значень  з імовірностями Цей розподіл описує кількість подій, які настають в однакові проміжки часу за умови, що ці події відбуваються незалежно одна від одної зі сталою інтенсивністю. Розподіл Пуассона розглядається як статистична модель для кількості альфа-частинок, що їх випромінює радіоактивне джерело за певний проміжок часу; кількості викликів, які надходять на телефонну станцію за певний період доби; кількості вимог щодо виплати страхових сум за рік; кількості дефектів на однакових пробах речовини і т. ін. Розподіл застосовується в задачах статистичного контролю якості, у теорії надійності, теорії масового обслуговування. Математичне сподівання і дисперсія в цьому розподілі однакові і дорівнюють а. Для цього розподілу складено таблиці щодо різних значень (0,1 – 20). У таблицях для відповідних значень а наведено ймовірності

Якщо у схемі незалежних повторних  випробувань n велике і р або 1 – р прямують до нуля, то біноміальний розподіл апроксимується розподілом Пуассона, коли

Ймовірна твірна

 

30. Геометричний розподіл, числові характеристики, використання

Цей розподіл має вигляд: , де Р(А)- ймовірність появи події в кожному випробувані, q=1-p, Х – кількість випробувань до появи події А в серії незалежних випробувань.

Геометричний розподіл застосовують у різноманітних задачах статистичного  контролю якості виробів, в теорії надійності та у страхових розрахунках.

M(X)=1/p, D(X)=q/p^2/

 

31. Гіпергеометричний закон розподілу, числові характеристики.

Цей розподіл має вигляд: . Він вказує ймовірність появи m елементів з певною властивістю серед n елементів, взятих із сукупності N елементів, яка містить к елементів саме такої властивості.

, ,

 

32. Рівномірний закон  розподілу, числові характеристики, графіки інтегральної і диференціальної  функцій.

Якщо ймовірність потрапляння  випадкової величини на інтервал пропорційна  до довжини інтервалу і не залежить від розташування інтервалу на осі, то вона має рівномірний закон  розподілу. Щільність такого розподілу:

 

Рівномірний закон розподілу легко моделювати. За допомогою функціональних перетворень із величин, розподілених рівномірно, можна діставати величини з довільним законом розподілу. Числові характеристики розподілу:

 Графік має вигляд .

 

33. Інтегральна фунція  розподілу та щільність ймовірностей  показникового розподілу, графіки,  числові характеристики.

. .

Щільність розподілу випадкової величини, розподіленої за показниковим законом, задається формулою:

 

Випадкові величини з таким законом  розподілу широко застосовуються в  задачах з теорії надійності та теорії масового обслуговування. Числові характеристики:

 

Ме=ln2/a.

Серед усіх законів неперервних  випадкових величин лише експоненціальному  притаманна властивість – відсутність  післядії, а саме: якщо пов”язати  випадкову величину із часом, то для  цього закону минуле не впливає на передбачення подій у майбутньому. Цю властивість закону використовують у харківських випадкових процесах, теорії масового обслуговування, теорії надійності.

Якщо  випадкова величина Х розподілена  за показниковим законом, то її функція  розподілу (інтегральна функція  розподілу) має вигляд . Тому основна формула теорії ймовірностей набуде вигляд.:

 

34. Нормально розподілена випадкова  величина. Графік щільності нормального  розподілу,  властивості функції.  Правило трьох сигм.