Работа по предупреждению ошибок в письменных вычислениях над многозначными числами

124 руб. – 78 руб. 50 коп. = 45 руб. 50 коп.  12400

            7850

            4550 (коп.)

 Несколько позднее (в  конце второго полугодия III класса) изучается сложение и вычитание именованных чисел, выраженных в мерах времени. Эти вычисления гораздо сложнее, потому что единицы времени находятся в недесятичных соотношениях. На это специально обращают внимание детей, предлагая им сравнить решение примеров (т.е. найти сходное и различное в приемах вычислений):

 

13 м 54 см 13 ч 54 мин 12 м 34 см 12 ч 34 мин

6 м 46 см  6 ч 46 мин  8 м 56 см  8 ч 56 мин

20 м 00 см 20 ч 40 мин 3 м 78 см  3 ч 38 мин 

 

 Сложение и вычитание  составных именованных чисел, выраженных  в единицах времени, целесообразно  выполнять, не производя замены  их простыми именованными числами, например:

 

12 лет 10 мес.

5 лет 11 мес.

6 лет 11 мес.

 

 Из 10 мес. Не вычесть 11 мес., берем 1 год и выражаем его  в месяцах – 12 месяцев. 12 мес. да 10 мес. – это 22 мес. Из 22 мес. вычтем 11 мес., получим 11 мес., из 11 лет вычтем 5 лет, получим 6 лет.

 Упражнения на сложение  и вычитание именованных чисел, выраженных в единицах времени, с небольшими числами надо  выполнять устно без записи  вычислений столбиком.

 В процессе изучения  сложения и вычитания многозначных  чисел повторяют и закрепляют  знания о действиях: названия  компонентов и результатов действий, свойства, нахождение неизвестных  компонентов, рассматривается вопрос  об изменении суммы и разности  при измерении одного из компонентов. [1, с. 154]

М.А. Бантова выделяет следующие ошибки учащихся при сложении и вычитании многозначных чисел:

1. Ошибки, вызванные неправильной  записью примеров в столбик  при письменном сложении и  вычитании. Например:

 

546

43

976

 

 С целью предупреждения подобных ошибок надо обсуждать с учениками такие неверные решения, в результате чего они должны заметить, что в данном примере неверно подписаны числа, поэтому сложили десятки с единицами, сотни с десятками, а надо числа подписывать так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки под десятками, и т.д., и складывать единицы с единицами, десятки с десятками и т.д. Кроме того, нужно научить учеников проверять решение примеров. Названную ошибку легко обнаружить, выполнив проверку способом прикидки результата. Так, в отношении приведенного примера на сложение рассуждение ученика будет таким: «К 5 сотням прибавили число, которое меньше 1 сотни, а в сумме получили 9 сотен, значит в решении допущена ошибка».[1, с. 66]

2. Ошибки при выполнении  письменного сложения, обусловленные  забыванием единиц того или  иного разряда, которые надо было  запомнить, а при вычитании –  единиц, которые занимали. Например:

 

539 692

225 427

754 275

 

 Предупреждению таких  ошибок также помогает обсуждение  с учениками неверно решенных  примеров. После этого важно подчеркнуть, что всегда надо проверять  себя – не забыли ли прибавить  число, которое надо было запомнить, и не забыли ли о том, что  занимали единицы какого-то разряда. Выявлению таких ошибок самими  учениками помогает выполнение  проверок сложения вычитанием  и вычитания сложением.

 Заметим, что в некоторых  методических пособиях и статьях  для предупреждения названных  ошибок в письменном сложении  с переходом через десяток  рекомендуется начинать сложение  с единиц, которые запоминали. Например, при решении приведенного примера  ученик тогда должен рассуждать: «К десяти прибавить 5, получится 14, четыре пишем, а 1 запоминаем: 1 да 3 – четыре, да 2, всего 6» и т.д. Этого делать не следует, потому  что некоторые ученики переносят  этот прием на письменное умножение, что вызовет ошибку, например  при умножении чисел 354 и 6 они  рассуждают так: «4 умножить на 6, получится 24, четыре пишем, 2 запоминаем; 2 да 5 – 7, 7 умножить на 6, получится 42»  и т.д.

3. Ошибки в устных приёмах  сложения и вычитания чисел больших ста (540±300, 1600±700 и т.п.) те же, что и при сложении и вычитании чисел в пределах ста. Для их устранения используются методические приемы, о которых говорилось выше.

 

1.2. Виды работ по формированию  вычислительных навыков

 

М.И. Моро предлагает следующую работу по формированию вычислительных навыков:

В результате изучения темы "Сложение и вычитание многозначных чисел" учащиеся должны:

1) понимать конкретный  смысл действий сложения и  вычитания, что проявляется в  умении правильно выбрать одно  из этих действий при решении  задач;

2) знать взаимосвязь, существующую  между этими действиями, о чем  может свидетельствовать прежде всего умение проверить правильность сложения с помощью вычитания (и наоборот), а также умение решать уравнения на нахождение неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого;

3) понимать, что складывать  можно сколько угодно чисел  и в любом порядке, применяя  это при вычислениях;

4) знать, как изменяется  сумма при изменении одного  из слагаемых и разность при  изменении уменьшаемого или вычитаемого, т.е. уметь правильно отвечать  на вопросы вида: "Одно из  двух слагаемых увеличили на 5. Как изменится сумма?"; "Используя  равенство 248 + 372 = 620, найдите значение  выражения (248 + 90) + 372" и т.п.;

5) овладеть навыком сложения  и вычитания многозначных чисел, что должно подтверждаться положительной  оценкой выполнения письменных  и устных вычислений (в соответствии  с нормами оценок). [14, с. 78]

На первом из уроков, посвященных изучению сложения и вычитания многозначных чисел, главной задачей является распространить уже известные учащимся правила (алгоритм) сложения и вычитания трехзначных чисел на числа четырехзначные, пятизначные и т.п. Как правило, этот перенос большинству учащихся дается довольно легко. И если у некоторых из них и появляются затруднения в основном связаны с двумя обстоятельствами:

1) с плохим знанием  таблицы сложения однозначных  чисел;

2) с неумением распорядиться  суммой разрядных слагаемых в  том случае, когда она является  двузначным числом.

Поэтому, приступая к работе над новым материалом, следует рассмотреть два-три примера сложения и вычитания трехзначных чисел, подробно вспомнив правила выполнения действий и сопровождая выполнение действий достаточно подробными объяснениями, как это делалось во II классе. [14, с. 73]

Затем предлагается выполнить с комментированием сложение и вычитание четырех- и пятизначных чисел.

Заметим, что сравнительно сложным случаям вычитания, когда, например, уменьшаемое содержит несколько нулей подряд, целесообразно посвятить специальный урок. При этом последовательно можно рассмотреть, например, как выполняются действия в следующих случаях:

 

100  200  2000

4  34  197 и т.п.

 

В каждом из случаев подробно рассматривается процесс "занимания" и замены 1 единицы высшего разряда 10 единицами ближайшего низшего разряда. Например, при решении первого из приведенных примеров можно сказать: "Из нуля единиц вычесть 4 единицы нельзя. Возьмем одну сотню (для памяти над ней поставим точку) и заменим ее 10 десятками. "Займём" 1 десяток, 9 десятков этой сотни оставим в разряде десятков, а 1 десяток заменим 10 единицами. Из 10 единиц вычтем 4 единицы, получится 6 единиц. Записываем их под единицами. Из 9 десятков ничего не вычитается, поэтому число 9 подписываем в результате под десятками". Получаем:

100

4

96

Учащиеся уже имеют определенные представления о взаимосвязи вычитания и сложения. Они часто использовали их в I и II классах, например, для решения уравнений вида: х + 2 = 7; х - 3 = 5 и т.п.

При этом для нахождения одного из слагаемых им приходилось выполнять вычитание, а при нахождении уменьшаемого - сложение. В III классе, не давая определения вычитания через сложение (оно будет дано позже, в IV классе), можно показать учащимся, как вычитание связано со сложением. Например, обратить внимание детей на то, что вычесть из числа 27 число 15 - значит найти такое число, которое при сложении с числом 15 даст число 27. Это число 12.

27 - 15 = 12, потому что 15 + 12 = 27.

Выявление этой связи должно быть использовано для проверки вычитания с помощью сложения и наоборот. Нужно приучить детей без специального указания или требования со стороны учителя обязательно выполнять проверку результатов вычислений одним из способов. Проверка должна стать необходимой частью решения вычислительной задачи.

В ходе изучения рассматриваемой темы обобщаются представления об основных свойствах сложения. Необходимо убедиться в том, что переместительное свойство сложения имеет место и для трех и для четырех и для большего числа слагаемых. Для этого достаточно вычислить значение одного и того же выражения (суммы трех или четырех слагаемых), меняя местами рядом стоящие слагаемые. Необходимо рассмотреть достаточно яркие примеры, убеждающие в том, что применение переместительного свойства может упростить вычисления. Например, при нахождении суммы 27 + 92 + 73 учащиеся должны заметить, что если поменять местами слагаемые 92 и 73, то в сумме 27 + 73 + 92 первые 2 слагаемых дадут число 100, а найти сумму 100 и 92 не представляет труда. [14, с. 82]

Сразу после этого, в связи с изучением порядка действий и применением скобок для записи выражений, необходимо ознакомить учащихся с возможностью группировать слагаемые при вычислении суммы (сочетательное свойство суммы). Наконец, делается вывод, который постепенно усваивается в виде правила: "При сложении трех и более чисел любые два (или больше) числа можно заменить их суммой". Наиболее важным при этом является усвоение не самой формулировки правила, а формирование умений использовать сочетательное свойство суммы в вычислениях, вначале на примерах, а затем и одновременно с применением переместительного свойства, например: 27 + 196 + 33 + 4 = (196 + 4) + (27 + 33) = 200 + 60 = 260.

В связи с такими упражнениями нужно целенаправленно готовить учащихся к выводу, что в выражениях, составленных только с помощью знака "+", наличие или отсутствие скобок не влияет на их значение.

В методике, обеспечивающей правильное и осознанное усвоение детьми порядка выполнения действий, достигается правильное понимание роли скобок наряду с опорой на свойства сложения и вычитания и известных учащимся с I класса некоторых следствий из них (правила "прибавления к числу суммы", "... суммы к числу", "вычитания из числа суммы" и т.п.). Исключительно важную роль при этом играют навыки чтения выражений и составления выражений. Совершенствование этих навыков должно представлять непрерывный процесс с постоянным усложнением требований. Большое значение имеет в этом отношении решение текстовых задач с помощью составления выражений или уравнений. Работа по формированию указанных выше умений, как правило, должна быть тесно связана с совершенствованием вычислительных навыков, с усвоением алгоритмов выполнения сложения или вычитания. Этой цели отвечают, например, упражнения вида: "Запиши с помощью знаков действий и вычисли:

а) сумму числа 1127 и разности чисел 3957 - 2839;

б) выражение, в котором уменьшаемое есть число 20 137, а вычитаемое выражено суммой чисел 7213 и 2931". Примеры такого рода учитель найдёт в учебнике. Следует, однако, предостеречь учителя от необоснованного усложнения формулировок и содержания аналогичных заданий и превышения уровня сложности приведенных выше примеров.

А.С. Глазунова предлагает следующую работу по формированию вычислительных навыков:

«В процессе изучения темы "Сложение и вычитание многозначных чисел" учащиеся III класса применяют ранее усвоенные знания, умения и навыки для выполнения письменного сложения и вычитания многозначных чисел. Возможность переноса усвоенных знаний, умений и навыков на более широкую область чисел даёт основание при изучении новой темы использовать в качестве основного метода обучения самостоятельную работу.

Для успешного выполнения письменного сложения и вычитания многозначных чисел учащиеся должны уметь правильно записывать и читать многозначные числа; знать разрядный и классовый состав многозначных чисел, соотношение разрядных единиц (1 дес.=10 ед., 1 сот.=10дес., 1 тыс.=10 сот. и т.д.); знать таблицы сложения и вычитания в пределах 10и 20 ( сформированность навыков); знать алгоритмы письменного сложения и вычитания и уметь применять их на практике.

Перечисленные знания, умения и навыки необходимы для успешного выполнения сложения и вычитания многозначных чисел.

Анализируя задания учебника по теме "Сложение и вычитание многозначных чисел", мы видим, что вначале учащимся даётся как бы установка к выполнению самостоятельных действий.

Письменное сложение и вычитание любых многозначных чисел выполняется так же, как сложение и вычитание трёхзначных чисел. И далее предлагаются примеры на сложение и вычитание многозначных чисел сначала без перехода через разряд, а затем с переходом. [3, с. 55]

За несколько уроков до изучения темы "Сложение и вычитание многозначных чисел" я обычно предлагаю учащимся три самостоятельные работы с целью выяснения их знаний, умений и навыков, которые лежат в основе письменных вычислений.

РАБОТА 1

Проверка умения правильно записывать (под диктовку учителя) многозначные числа в пределах класса миллионов, знания разрядного и классового состава многозначных чисел и последовательности натурального ряда чисел.

1. Запишите числа: 327 625, 13 000 270, 9 040 107.

2. Запишите, между какими  числами находиться число 9000 000.

3. Сравните числа:

18 349  18 439

70 100  71 000

4. Представьте число 60 402 в виде суммы разрядных слагаемых.

5. Запишите число, которое  состоит из 70 ед. 111 класса и 7 ед. 1 класса.

6. Запишите число, в котором 38 сот. 24 ед.

7. Запишите значение суммы  и разности следующих выражений:

23 420 - 420

30 600 + 600

 РАБОТА 2

 Проверка знания алгоритмов  письменного сложения и вычитания  в пределах 20.

Запишите значения выражений:

17 - 8  15 - 9

9 + 6  13 - 5

5 + 7  8 + 7

18 - 9  12 - 5

 

6 + 8  13 - 6

7 + 4  16 - 7

12 - 6  3 + 9

8 + 6  8 + 9