Применение методов линейной алгебры к экономическим задачам

СОДЕРЖАНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………...……..2

1 ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОЙ  АЛГЕБРЫ…………………………………….…3

2 МЕЖОТРАСЛЕВОЙ БАЛАНС В ЭКОНОМИКЕ (МОБ)……….………4

2.1 Понятие межотраслевого баланса…………………………………..……..4

2.2 История…………………………………………………………………..……4

2.3 Пример расчета межотраслевого баланса………………………….…….5

3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ. ………..….7

4 ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ОБМЕНА (МОДЕЛЬ МЕЖДУНАРОДНОЙ ТОРГОВЛИ)………………………………………………………….…………10

4.1 Объяснение  модели…………………………………………………...……10

4.2 Примеры задач  и их решение………………………………………….….11

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………….…..13

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………………..…………..14 

ВВЕДЕНИЕ.

Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества еще со времен своего возникновения пользуется разнообразными количественными характеристиками, а потому вбирает в себя большое  количество математических методов. Исходя из этого преподавание математики студентам экономических специальностей должно опираться не только на накопление математических знаний, но и на усиление прикладной экономической направленности.

При изучении линейной алгебры  у студентов не должно формироваться  ощущение оторванности этой темы от экономики. Использование элементов алгебры  матриц является одним из основных методов решения многих экономических  задач. Особенно актуальным этот вопрос стал при разработке и использовании  баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и  обрабатывается в матричной форме.

 

 

1 ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ.

Линейная алгебра — важная в приложениях часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. Векторные пространства встречаются в математике и её приложениях повсеместно.

 Линейная алгебра широко  используется в абстрактной алгебре и функциональном анализе и находит многочисленные приложения в естественных и экономических науках.

Направление линейной алгебры  используется также для того, чтобы  описать специфическую часть  алгебры. В частности, линейная алгебра  имеет свою структуру с наличием определенных аксиом квадратного суммирования и умножения, которые рассматриваются  согласно, так называемому, распределительному закону. В рамках линейной алгебры происходит более детальное исследование структуры.

Линейная алгебра также  допускает осуществление внешних  операций функции умножения с помощью скалярных значений. Примером может быть система всех линейных преобразований, начиная с векторного пространства и заканчивая самим широким понятием линейной алгебры.

 

2 МЕЖОТРАСЛЕВОЙ БАЛАНС В ЭКОНОМИКЕ (МОБ).

2.1 Понятие межотраслевого баланса.

Межотраслевой баланс (МОБ, метод «затраты-выпуск») — экономико-математическая балансовая модель, характеризующая межотраслевые производственные взаимосвязи в экономике страны. Характеризует связи между выпуском продукции в одной отрасли и затратами, расходованием продукции всех участвующих отраслей, необходимым для обеспечения этого выпуска. Межотраслевой баланс составляется в денежной и натуральной формах.

Межотраслевой баланс представлен  в виде системы линейных уравнений. Межотраслевой баланс (МОБ) представляет собой таблицу, в которой отражен процесс формирования и использования совокупного общественного продукта в отраслевом разрезе. Таблица показывает структуру затрат на производство каждого продукта и структуру его распределения в экономике. По столбцам отражается стоимостный состав валового выпуска отраслей экономики по элементам промежуточного потребления и добавленной стоимости. По строкам отражаются направления использования ресурсов каждой отрасли.

В Модели МОБ выделяются четыре квадранта. В первом отражается промежуточное потребление и система производственных связей, во втором — структура конечного использования ВВП, в третьем — стоимостная структура ВВП, а в четвёртом — перераспределение национального дохода.

2.2 История.

Теоретические основы межотраслевого баланса были разработаны в СССР в 1923—1924 гг., когда В.В. Леонтьев сделал попытку представить в цифрах анализ баланса народного хозяйства СССР. Ученый показал, что коэффициенты, выражающие связи между отраслями экономики, достаточно стабильны и их можно прогнозировать ^[1].

В 1930-е годы Василий Леонтьев применил метод анализа межотраслевых связей с привлечением аппарата линейной алгебры для исследования экономики США. Метод стал известен под названием «затраты — выпуск».

В 1970—1980-х годах в СССР на основе данных межотраслевых балансов разрабатывались более сложные межотраслевые модели и модельные комплексы, которые использовались в прогнозных расчетах и частично входили в технологию народнохозяйственного планирования. По ряду направлений советские межотраслевые исследования занимали достойное место в мировой науке.

2.3 Пример расчета межотраслевого баланса.

Рассмотрим 2 отрасли промышленности: производство угля и стали. Уголь  требуется для производства стали, а некоторое количество стали — в виде инструментов — нужно для добычи угля. Предположим, что условия таковы: для производства 1 т стали нужно 3 т угля, а для 1 т угля — 0,1 т стали.

Отрасль	Уголь	Сталь
Уголь	1	3
Сталь	0.1	1

Мы хотим, чтобы чистый выпуск угольной промышленности был   (200 000) тонн угля, а чёрной металлургии —  (50 000) тонн стали. Если каждая из них будет производить лишь   и   тонн, то часть продукции будет использоваться в другой отрасли.

Для производства   тонн стали требуется   (150 000) тонн угля, а для производства  тонн угля нужно   (20 000) тонн стали.

 Чистый выход будет  равен:   (50 000) тонн угля и   (30 000) тонн стали.

Нужно дополнительно производить  уголь и сталь, чтобы использовать их в другой отрасли. Обозначим   — количество угля,   — количество стали. Валовый выпуск каждой продукции найдем из системы уравнений:

Решение: 500 000 т угля и 100 000 т стали. Для систематического решения  задач расчета межотраслевого баланса  находят, сколько угля и стали  требуется для выпуска 1 т каждого  продукта.

 и  . Чтобы найти, сколько угля и стали нужно для чистого выпуска   т угля, нужно умножить эти цифры на  . Получим:  .

Аналогично составляем уравнения  для получения количества угля и  стали для выпуска 1 т стали:

 и  . Для чистого выпуска   т стали нужно: (214286; 71429).

Валовый выпуск для производства   тонн угля и   тонн стали:  .

 

3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЭКОНОМИКЕ.

 

К системам линейных уравнений  приводит множество экономических  задач.

Задача.

Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трех видов: сапог, кроссовок и ботинок; при этом используется сырье трех типов: S₁, S₂, S₃. Нормы расхода каждого из них на одну пару обуви и объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей:

 

Виды сырья	Нормы расхода сырья на одну пару, усл. ед.			Расход сырья на 1 день, усл. ед.
	Сапоги	Кроссовки	Ботинки
S1	5	3	4	2700
S2	2	1	1	900
S3	3	2	2	1600

 

Найти ежедневный объем выпуска  каждого вида обуви.

Решение 1.

Пусть ежедневно фабрика  выпускает x₁ пар сапог, x₂ пар кроссовок, x₃ пар ботинок. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему:

 

5x1	+	3x2	+	4x3	=	2700	,
2x1	+	x2	+	x3	=	900	,
3x1	+	2x2	+	2x3	=	1600	.

 

Решим систему по теореме  Крамера.

				|	5	3	4
|	A	|	=	|	2	1	1
				|	3	2	2

= 5 x 1 x 2 + 3 x 1 x 3 + 2 x 2 x 4 – 3 x 1 x 4 – 2 x 3 x 2 – 2 x 1 x 5 = 1,

 

Т.е. система имеет единственное решение:

				|	2700	3	4
|	A1	|	=	|	900	1	1
				|	1600	2	2

 

= 2700 x 1 x 2 + 3 x 1 x 1600 + 900 x 2 x 4 –  1600 x 1 x 4 – 900 x 3 x 2 – 2 x 1 x 2700 = 200,

 

 

 

x₁ = | A₁ | / | A | = 200 / 1 = 200.

				|	5	2700	4
|	A2	|	=	|	2	900	1
				|	3	1600	2

 

= 5 x 900 x 2 + 2700 x 1 x 3 + 2 x 1600 x 4 –  3 x 900 x 4 – 2 x 2700 x 2 – 1600 x 1 x 5 = 300,

 

x₂ = | A₂ | / | A | = 300 / 1 = 300.

 

				|	5	3	2700
|	A3	|	=	|	2	1	900
				|	3	2	1600

 

= 5 x 1 x 1600 + 3 x 900 x 3 + 2 x 2 x 2700 –  3 x 1 x 2700 – 2 x 3 x 1600 – 2 x 900 x 5 = 200,

 

x₃ = | A₃ | / | A | = 200 / 1 = 200.

 

Т.е. фабрика выпускает 200 пар сапог, 300 пар кроссовок и 200 пар ботинок.

Ответ: (200, 300, 200)

 

4. ЛИНЕЙНАЯ МОЖЕЛЬ ОБМЕНА (МОДЕЛЬ МЕЖДУНАРОДНОЙ ТОРГОВЛИ).

4.1 Объяснение  модели.

В качестве примера математической модели экономического процесса, приводящей к понятию собственного вектора и собственного значения матрицы, рассмотрим линейную модель обмена (модель международной торговли).  
Процесс взаимных закупок товаров анализируется с использованием понятий собственного числа и собственного вектора матрицы. Будем полагать, что бюджеты n стран, которые обозначим соответственно  , расходуются на покупку товаров.

Пусть  доля бюджета  , которую j–я страна тратит на закупку товаров у  -й страны. Введём матрицу коэффициентов  :                                         

.                                                                               (1) 

 

Тогда, если весь бюджет расходуется  только на закупки внутри страны и  вне её (это можно трактовать как  торговый бюджет), справедливо равенство                                           

                                                                          (2)

Матрица (1) со свойством (2), в  силу которого сумма элементов её любого столбца равна единице, называется структурной матрицей торговли. Для  -й страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулой    .                                                                (3)

Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны её бюджет должен быть не больше выручки от торговли, а в силу условия (2)   или