Линейная алгебра

Министерство  образования и науки Российской Федерации  

Департамент образования г.Москвы

Институт  государственного управления, права  и инновационных технологий

 

 

 

 

 

 

 

Реферат по курсу:

Математика

По  теме: Линейная алгебра

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

Студентка 1 курса

Заочной формы обучения

Экономического  факультета

Чиркова Мария Сергеевна

 

 

 

Проверил: доцент Глимаков В.Д.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2013

Векторы

 

Вектор  – это направленный прямолинейный  отрезок, т.е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление.

 

Линейные операции над векторами

Под линейными  операциями над векторами понимают операции сложения векторов, а также умножение вектора на число.

 

Пусть a и b – два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку O и построим вектор ОА = а. От точки А отложим вектор АВ = b. Вектор ОВ, соединяющий начало первого с концом второго, называется суммой векторов a и b: ОВ = а + b.

 

Произведением вектора а на скаляр (число)     называется вектор     * а, который имеет длину |  | * | a |, коллинеарен вектору а, имеет направление вектора а, если   >0 и противоположное направление, если   < 0.

Из определения произведения вектора на число следуют свойства этого произведения:

1. Если b = *а, то b || a. Наоборот, если b || a , (a ≠0), то при некотором   верно равенство b =   * а;

Всегда  а = |а| * а ^-0 , т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

 

Линейные  операции над векторами обладают следующими свойствами:

1. а  + b = b + a
2. (a + b) + c = a + (b + c)
3. _{1 *} ( _{2 *} a) = _{1  *  2 *} a
4. ( ₁ + ₂) * a = _{1 *} a + _{2 *} a
5. * (a + b) = * a + * b.

 

Операции  над векторами обладают свойствами:

1. Ассоциативность (а_{1 +}а₂) + а₃ = а₁ + (а₂ + а₃) = а_{1 +} а₂ + а₃
2. Коммутативность а_{1 +}а₂ = а_{2 +} а₁

 

Пусть дан вектор а = (а_1, а₂, а_{3, …} , а_n)

К * а = (К*а₁, К*а₂, … , К*а_n)

K₁*(K₂ * a) = (K₁ * K₂)*a = K₂ * (K₁ * a) = K₁ * K₂ * a

3. Дистрибутивность К * (а₁ + а₂) = Ка₁ + Ка

(K₁ + K₂) * a = K₁ * a + K₂ * a

Если  операции обладают данными свойствами, то они называются линейными. С помощью  линейных операций мы можем создавать  линейные объекты.

 

 

1. Независимость системы векторов
2. Базис систем векторов
3. Скалярное произведение векторов
4. Векторное произведение векторов

 

Независимость системы векторов:

Если  линейная комбинация λ₁ * а¹ + λ₂ * а² + …+ λ_р * а^р  представляет собой нулевой вектор только тогда, когда все числа λ₁, λ₂, …, λ_р  равны нулю, то система векторов а¹, а², …, а^р  называется линейно независимой.

 

Базис систем векторов:

Базисом системы векторов а1 , а2 , ..., аn называется такая подсистема b1, b2 ,..., br (каждый из векторов b1, b2, ..., br является одним из векторов a1,  a2 ,...,an), которая удовлетворяет следующим условиям: 
1. b1, b2, ..., br линейно независимая система векторов; 
2. любой вектор aj системы a1, a2, ..., an линейно выражается через векторы b1, b2, ..., br

r — число векторов входящих в базис.

 

Скалярное произведение векторов:

Скалярное произведение векторов - в конечномерном векторном пространстве определяется как сумма произведений одинаковых компонент перемножаемых векторов.

a = (а₁, а₂, ..., a_n) и b = (b₁, b₂, ..., b_n)

a *b = a₁b₁ + a₂b₂+ ... + a_nb_n = C, C – число

 

Теория матриц и определителей

 

1. Понятие числовой матрицы

 

              a₁₁   a₁₂ ... a_{1n        m} - _{№ строки, n} - № столбца

А _m*n =   a₂₁  a₂₂ … a_2n      

              a_m1  a_{m2 …} a_mn

 

2. Единичная матрица

 

                           Побочная диагональ

            1        0

А_m*_m=       1        = E

             0        1   Главная диагональ

 

Единичная матрица является частным случаем, когда на главной диагонали стоят только единицы.

Над множеством матриц задаются несколько  операций:

 

1. Сложение матриц – операция определена только для матриц одинакового размера (число строк и столбцов должны совпадать).

А = (аij)_m*n

B = (bij)_m*n

A+B=C (aij+bij)_m*n, эта операция сложения матриц обладает свойствами коммутативности и ассоциативности.

Вектор  – частный случай матрицы. Матрица – прямоугольная таблица.

 

2. Умножение матрицы на число

КА_m*n=(Kaij)_m*n

Эти 2 операции связаны таким же образом, как и аналогичные операции в векторном анализе => являются линейными.

 

3. Умножение матриц

Пусть даны 2 матрицы

A= (aij)_m*n

B= (bij)_n*k (число строк первой и число столбцов второй должны совпадать = n )

A*B=C -? (Cij)

 

Берется 1 строка первой матрицы ,и поэлементно  умножается на 1 столбец второй матрицы, полученное произведение складываются, вновь получившееся число берется  в качестве элемента С₁₁ новой матрицы, затем 1 строка матрицы А умножается поэлементно на второй столбец матрицы В. Полученные произведения складывают и это число берется в качестве элемента С₁₂ новой матрицы и т.д. Затем проделываем точно такую же процедуру со 2й строкой матрицы А и всем столбцом матрицы В, получаем вторую строку матрицы С и т.д.

     Получаем матрицу:

 

                                                

 

        C₁₁ C₁₂ … C_1k

C=    C₂₁ C₂₂ … C_2k                                  А*В=   5 8 1            А*В ≠ В*А

               …  …  ...   …                            1 1 0

             C_m1 C_m2 ... C_mk

 

         1 2 3                              

  ^A=   0 1 0

                                            

       3 0 1

В=   1 1 0

       0 2 0

 

Для каждой матрицы можно ввести понятие  обратная.

Если  дана матрица А, то обратная к ней матрица В определена следующим образом:

А*В= Е прямая

В= А ^-1 обратная к А

Понятия прямой и обратной матрицы зависит от нас.

А^-1 *А= Е

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, если они  не являются вырожденными матрицами.

Матрица А называется невырожденной, если система ее строк (столбцов) линейно независима, в противном случае называется вырожденной.

 

Определители (детерминанты)

 

Пусть А- квадратная матрица, порядка 2.

 

        a₁₁ a₁₂

  ^A=     a₂₁ a₂₂

 

Определителем этой матрицы называется число d_A= a₁₁*a₂₂ – a₁₂*a_21.

 

Пусть матрица А имеет размер 3.

                                                 побочная диагональ (-)

       а₁₁   а₁₂   а₁₃

А=  а₂₁   а₂₂   а₂₃

      а₃₁   а₃₂  а₃₃     главная диагональ (+)

Ее определитель – d_А, задается равенство:

 

d_A= a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂ – a₁₃ a₂₂ a₃₁ – a₁₂ a₂₁ a₃₃ -

-a₁₁ a₂₃ a₃₂

 

В общем случае определитель матрицы размера n состоит из n! членов.

 

± (четно, нечетно) а₁k₁*а₂k₂* ... *а _nk_n

(К₁, К₂, …, К _n) – набор вторых индексов (номера столбцов)

Смотри  сколько инверсий: (1 3 2) – 1 инверсия; (1 3 2 5 4 6) – 2 инверсии.

Если  число инверсий четно, то данный член берется со знаком «+», если число  инверсий нечетно, то со знаком « - ».

Основные  свойства определителей:

1. Определитель не изменяется при её транспонировании:

| A | = | A´|

| A | - определитель матрицы А

| A´| - определитель транспонированной матрицы  A.

2. Если одна из строк (столбцов) матрицы целиком состоит из нулей, то её определитель равен нулю:

d = 0, если строка состоит из 0.

3. При перестановке местами любых двух строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак:

  d - меняет знак при перестановке строк.

4. Определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки (столбца) равен нулю.

d = 0.

5. При умножении строки (столбца) матрицы на число K,  её определитель умножается на это число.

d*K

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки равен 0.

d₁₌ kd= k*0=0 

7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых a_{i j} = b_j + c_j (j= ), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, - такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов b_j, в другом - из элементов c_j.
8. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация его других строк, то определитель равен нулю.
9. Определитель не меняется, если к одной из его строк прибавляется любая линейная комбинация других строк.
10. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть  .

 

Миноры и алгебраические дополнения

Пусть A - произвольная квадратная матрица, a_ij – её элемент, стоящий в позиции (I, j). Вычеркивая из матрицы A i-ю строку и j-ый столбец, получим некоторую матрицу A₁  порядка (n-1)*(n-1). Определитель матрицы A₁ называется минором элемента a_ij. Минор элемента a_ij  будем обозначать символом M_ij. Число (-1)^i+j* M_ij  называется алгебраическим дополнением элемента a_ij. Для обозначения алгебраического дополнения элемента a_ij будем пользоваться символом A_ij.

       

                                   j-столбец     

                                                                                                                                            

                                         i- строка

Теорема. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

d = a_i1*A_i1+a_i2*A_i2+ … +a_in*A_in

 

Теорема о разложении определителя по элементам строки. Определитель матрицы  A  равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:

.

С помощью определителей можно  найти обратную матрицу.

 

 

 

 

Решение систем линейных уравнений

 

Общий вид системы m линейных уравнений с n неизвестными

 

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n= b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n= b₂

 

...         …      …     …

 

a_n1x₁ + a_n2x₂ + … + a_nnx_n=b_m

 

Матрицы размером m*n составлена из коэффициентов неизвестных в данной системе называется матрицей системы.

       а₁₁ а₁₂ … а_1n      b₁

       a₂₁ a₂₂ ... a_2n       b₂          расширенная

 A=       …   …                 матрица

       a_m1 a_m2 ... a_mn   b_m           системы

 

Расширенные матрицы содержат информацию о системе.

 

Решением системы уравнений  называется упорядоченный набор  чисел λ₁, λ₂, и т.д. λ_{n ,} при подстановке которых в уравнение системы вместо соответствующих неизвестных, получают верные числовые равенства (числовые тождества).

 

Системы уравнений называются совместными, если они имеют хотя бы одно решение, в противном случае несовместные.

Совместная система, имеющая ровно  одно решение называется определенной. Если совместная система имеет более  одного решения, она называется неопределенной.