Линейная алгебра

    -                                                              (3)

-          уравнения прямой, проходящей через две данные точки.

Если же принять каждую из равных дробей в уравнениях (2) за некоторый параметр t, можно получить так называемые параметрические уравнения прямой:                        

   .                                                                                  (4)     

Для того, чтобы перейти от уравнений (1) к каноническим или параметрическим уравнениям прямой, требуется найти направляющий вектор этой прямой и координаты любой точки, принадлежащей ей. Направляющий вектор прямой ортогонален нормалям к обеим плоскостям, следовательно, он коллинеарен их векторному произведению. Поэтому в качестве направляющего вектора можно выбрать [n₁n₂] или любой вектор с пропорциональными координатами. Чтобы найти точку, лежащую на данной прямой, можно задать одну ее координату произвольно, а две остальные найти из уравнений (1), выбрав их так, чтобы определитель из их коэффициентов не равнялся нулю.

 

Пример. Составим канонические уравнения прямой                 

   .

Найдем [n₁n₂]. n₁ = {2,1,-3}, n₂ = {1,-5,4}. Тогда [n₁n₂] = {-11,-11,-11}. Следовательно, направляющим вектором прямой можно считать вектор {1,1,1}.

Будем искать точку на прямой с координатой z₀=0. Для координат х₀ и у₀ получим систему уравнений     , откуда  х₀=2, у₀=1. Теперь можно составить канонические уравнения прямой:                     

  .

Параметрические уравнения той же прямой имеют  вид:                     

 .      

Если какая-либо из координат направляющего вектора  равна 0, то предполагается, что для  любой точки прямой числитель  соответствующей дроби в канонических уравнениях тоже равен 0. 

 

Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей:

 

Условие параллельности плоскостей (рис. б) заключается в параллельности нормалей  , а условие перпендикулярности плоскостей – в перпендикулярности нормалей  или равенстве нулю их скалярного произведения:  . 

 

 

 

Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.

Если плоскости   и   перпендикулярны, то таковы же их нормали,  
т. е.   и наоборот.

 

 

 

 

 

Расстояние от точки до прямой в пространстве:

 

Пусть дана точка M1 ( x1, y1, z1 ) и прямая   . Найти расстояние точки до прямой в предположении, что точка M1 не лежит на прямой. 
Проведём через прямую и точку M1 плоскость, в этом случае r × p = b, где b – некоторый постоянный вектор, перпендикулярный плоскости. В данном случае  , или (1).

Из соотношения (1) следует  (2).

Из определения скалярного произведения имеем из соотношения (2) (3).

В соотношении (3)   и это соотношение перепишется в виде

,откуда находим соотношение для  нахождения расстояния заданной  точки от заданной прямой

(4).  

Соотношение (4) преобразуем к более удобному для применения виду: возводя обе части (4) в квадрат и преобразуя, получим

,

откуда окончательно имеем

.  (5)

Формулу (5) можно получить по теореме Пифагора:

.

 

Элементы  математического анализа

Основы теории множеств:

Под множеством понимают совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку.  Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а  элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в  фигурные скобки.

Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x ∈ Х (∈ — принадлежит). 
Если множество А является частью множества В, то записывают А ⊂ В (⊂ — содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью  определяющего свойства.

Например, перечислением  заданы следующие множества:

• А={1,2,3,5,7} — множество чисел
• Х={x₁,x₂,...,x_n} — множество некоторых элементов x₁,x₂,...,x_n
• N={1,2,...,n} — множество натуральных чисел
• Z={0,±1,±2,...,±n} — множество целых чисел

Множество (-∞;+∞) называется числовой прямой, а любое число — точкой этой прямой. Пусть a — произвольная точка числовой прямой иδ — положительное число. Интервал (a-δ; a+δ) называется δ-окрестностью точки а.

Множество Х  ограничено сверху (снизу), если существует такое число c, что для любого x ∈ X выполняется неравенство x≤с (x≥c). Число с в этом случае называется верхней(нижней) гранью множества Х. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным. Наименьшая (наибольшая) из верхних (нижних) граней множества называется точной верхней (нижней) гранью этого множества.

 

 

 

Операции над множествами:

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов. 
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств. 
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В. 
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В. 
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА). 
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

 

Свойства операций над множествами:

Свойства перестановочности

A ∪ B = B ∪ A 
A ∩ B = B ∩ A

Сочетательное свойство

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

 

Диаграмма Венна — схематичное изображение всех возможных пересечений нескольких (часто — трёх) множеств. Если пересечения позволяется указывать не все, получается более общий случай — круги Эйлера.

Диаграммы Эйлера — Венна (как их ещё называют) изображают все   комбинаций   свойств, то есть конечную булеву алгебру. При  диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

Пример получения произвольных кругов Эйлера из диаграмм Венна с  пустыми (чёрными) множествами.

Они появились в сочинениях английского логика Джона Венна (1834—1923), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году.

 

Соответствия между элементами двух множеств:

Предположим, что заданы 2 множества А и В. Считают, что между этими множествами установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу а из А соответствует некоторый элемент в из В и, наоборот, для каждого элемента в из В существует такой элемент а из А, что в соответствует а.Это соответствие будет взаимно однозначным, если каждому элементу из А соответствует только один элемент из В и различным элементам множества А соответствуют различные элементы множества В.

Определение:

Соответствие, сопоставляющее каждому элементу x множества X один и только один элемент множества Y, называется отображением множества X в множествоY.

Определение:

Если при отображении f различные элементы множества X переходят  в различные элементы множества Y, то отображение f называют обратимым.

Определение:

Если при тотображении f каждый элемент множества Y является образом хотя бы одногоэлемента из X, то f называют отображением X на Y, а не X в Y.

Определение:

Обратимое отображение множества X на множество Y называют взаимно однозначным  отображением X на Y.

Определение:

Множества, для которых  существует взаимно однозначное  соответствие, называется эквивалентными.

Теорема:

Для того чтобы два множества  были эквивалентными, необходимо и  достаточно, чтобы они имели одинаковое число элементов.

Доказательство:

Если множества А и В имеют одиноковое число элементов n, то, упорядочивая каждое из них некоторым образом и ставя в соответствие k-му элементу множества А k-ый элемент множества В, получим взаимно однозначное соответствие между множествами А и В, т.е. множества А и В эквивалентны. 
Допустим, что А имеет n элементов и существует взаимно однозначное соответствие между А и В. Упорядочим множество А: пусть элементами А будут а1,а2,...,аn.Обозначим через bk тот элемент В, который соответствует ak.Поскольку каждому элементу из А соответствует разлчные элементы из В, и каждый элемент из В соответствует некоторому элементу из А, то В состоит из элементов b1,b2,...,bn, следовательно, В имеет n элементов.

Сдедствие: Если два множества эквивалентны, то они имеют одинаковое число элементов.

 

 

 

Основы  теории пределов

 

 

 Предел числовой последовательности:

 

Число a называется пределом последовательности x = {x_n}, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |x_n - a| < ε.

Если число a есть предел последовательности x = {x_n}, то говорят, что x_n стремится к a, и пишут  .

Чтобы сформулировать это определение  в геометрических терминах введем следующее  понятие.

Окрестностью  точки x₀ называется произвольный интервал (a, b), содержащий эту точку внутри себя. Часто рассматривается окрестность точки x₀, для которой x₀ является серединой, тогда x₀ называется центром окрестности, а величина (b–a)/2 – радиусом окрестности.

Итак, выясним, что же означает геометрически  понятие предела числовой последовательности. Для этого запишем последнее  неравенство из определения в  виде

Это неравенство означает, что все  элементы последовательности с номерами n>N должны лежать в интервале (a – ε; a + ε).

Следовательно, постоянное число a есть предел числовой последовательности {x_n}, если для любой малой окрестности с центром в точке a радиуса ε (ε – окрестности точки a) найдется такой элемент последовательности с номером N, что все последующие элементыс номерами n>N будут находиться внутри этой окрестности.

Понятие предела функции:

 

Будем говорить, что переменная x стремится к бесконечности, если для каждого заранее заданного положительного числа M (оно может быть сколь угодно большим) можно указать такое значение х=х₀, начиная с которого, все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству |x|>M.

Например, пусть переменная х принимает значения x₁= –1, x₂=2, x₃= –3, …, x_n=(–1)ⁿn, … Ясно, что это бесконечно большая переменная величина, так как при всех M > 0 все значения переменной, начиная с некоторого, по абсолютной величине будут больше M.

Переменная  величина x → +∞, если при произвольном M > 0 все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству x > M.

Аналогично, x → – ∞, если при любом M > 0 x < -M.

Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу b при x → ∞, если для произвольного малого положительного числа ε можно указать такое положительное число M, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству |x|>M, выполняется неравенство |f(x) - b| < ε.

Обозначают  .

 

Основные свойства предела

 

Теорема 1. Единственность предела

Если функция   имеет предел при  , то он единственный.

Доказательство.

(От противного).

Пусть    и  . Тогда по определению конечного предела

и  .

Найдём

Получили, что  . Поскольку модуль - число не отрицательное, то неравенство   может быть выполнено только в случае   , т. е.  .

 

Теорема 2. (Предельный переход в неравенстве).

Если в некоторой окрестности точки   выполняется неравенство   и существуют конечные пределы    и  , то  .

Доказательство.

Пусть   - общая область определения функций   и  . Тогда по определению предела функции

,

.

Если в обоих случаях  взять одно и то же   и из найденных окрестностей   и   выбрать наименьшую, т. е.  , то для  выполняются оба неравенства одновременно, т. е.

,  .

Выберем  , предположив противное, т. е. пусть  . Тогда

,

из последнего неравенства  следует, что  , что противоречит условию теоремы, значит наше предположение   неверно. Тогда верным является неравенство  .

 

Теорема 3. (Предел суперпозиции, т. е. сложной функции).

Если:

1) и   таковы, что можно образовать их суперпозицию  ,

2) существует  , точка  - является точкой сгущения области определения функции  ,

3) существует  ,

то существует  .

Доказательство.

Пусть  - область определения функции  ,  - область определения функции  . По определению предела функции

,

.

Возьмём  . Тогда получим

.

Значит, по определению предела функции  .

 

Теорема 4. (О сжатой функции)

Если в некоторой окрестности точки   три функции связаны неравенством   и существуют конечные пределы  , то существует  .

Доказательство.

Пусть  - общая область определения трёх функций, тогда

,

.

Найдём окрестность  , тогда для  выполняются оба неравенства одновременно:

и  .

Но так как  , то  , а это означает, что существует  .

Непрерывность функции

Непрерывность функций  в точке:

Функция  , называется непрерывной в точке  , если выполняется одно из эквивалентных условий:

1)  ;   

2) для произвольной последовательности (x_n) значений  , сходящейся при n → ∞ к точке x₀, соответствующая последовательность (f(x_n)) значений функции сходится при n → ∞ к f(x₀);