Несобственные интегралы первого, второго и третьего рода

                                            (1.5.5.1)

Этот интеграл можно вычислить до конца. Рассмотрим вначале аналитическую функцию

                     

в плоскости комплексного переменного z, разрезанной по вещественной положительной полуоси. Эта функция определена однозначно, если на верхнем крае разреза положить

                                                                                     (1.5.5.2)

На нижнем крае разреза, совершив обход в положительном направлении вокруг начала координат, мы получаем ,

                                                                    (1.5.5.3)

Рис. 1.5.5.1

Рассмотрим замкнутый  контур L (рис. 1.5.5), состоящий из отрезка [0, R] (R > 1) оси х на верхнем крае разреза, окружности радиуса R с центром в начале координат и отрезка [R, 0] на нижнем крае разреза. Внутри контура L имеется одна особая точка функции w(z) - полюс первого порядка при z = - 1.

                                 (1.5.5.4)

С другой стороны,

           (1.5.5.5)

При |z|=R мы имеем , откуда при p<1

                                          (1.5.5.6)

Переходя в равенстве  (1.5.5.5) к пределу при и используя (1.5.5.2)- (1.5.5.5), находим

 

и, следовательно,

 

Таким образом, мы получаем

(1.5.5.7)                                                                   Эта формула называется формулой дополнения для гамма-функции. В частности, полагая в ней р=1/2, находим

                                                                                               (1.5.5.8)

Используя основное функциональное уравнение, получаем

,

 

Рис. 1.5.5.2

На рис. 1.5.5.2 дан график гамма-функции при .

1.5.6. С помощью гамма-функции можно вычислить важные интегралы, встречающиеся в теории вероятностей:

                                               (1.5.6.1)

Именно, подстановка  приводит интеграл к виду

 

В частности,

                                                           (1.5.6.2)

1.5.7. Асимптотическое выражение для гамма-функции. При больших значениях величина гамма-функции

                                                                                  допускает простое асимптотическое представление.

а. Лемма. Пусть функция определена при x > 0, равна 0 при х=1, монотонно убывает при 0 < х < 1 и монотонно возрастает при х>1, в окрестности точки х=1 допускает представление

,

                                                                                              и при удовлетворяет неравенству

                                                                                  (1.5.7.1)

Тогда

                                                                               (1.5.7.2) при есть бесконечно малая, эквивалентная .

Доказательство. Сходимость интеграла (1.5.7.2) при s>0 следует из оценки (1.5.7.1). Мы имеем при

.

Далее, при достаточно малом  по условию

,                                                    (1.5.7.3)

,                            (1.5.7.4)

.                                                   (1.5.7.5)

Переходя к вычислению интеграла от до , замечаем, что в этом промежутке

                                                                  если только

                                                                                         (1.5.7.6)

Число у нас пока произвольно; положим для

 

Тогда

 

и условие (1.5.7.6) заведомо выполняется. С другой стороны, при указанном выборе

 

Теперь при  и любом по построению

                                                                  так что

                                                                                     где при . Поэтому

 

Так как , то последний интеграл при имеет предел

                                                                                                      так что

                                                                          где при .. Итак,

.

Что касается остальных слагаемых  (1.5.7.3), (1.5.7.4), (1.5.7.5), то в силу

равенства все они при стремятся к 0 по экспоненциальному закону. Следовательно,

                   что и требуется.

б. Теперь преобразуем выражение гамма-функции к такому виду, чтобы можно было использовать лемму. Мы имеем при подстановке

                                                     где

.

Функция , как нетрудно проверить, удовлетворяет условиям леммы. При этом ; в окрестности точки х=1

                                                  так что постоянная а равна . Применяя лемму, находим

                                               что и дает искомое асимптотическое выражение.

В частности, если — натуральное число, то , и мы получаем

                                                                                  (формула Стирлинга, 1730).

1.5.8. Гамма-функция в комплексной области. Формула, определяющая гамма-функцию,

                                          (1.5.8.1) пригодна не только для вещественных значений , но и для некоторых комплексных z. А именно, если , , то интеграл (1.5.8.1) также сходится, поскольку подынтегральная функция

 

лишь множителем , по модулю равным 1, отличается от функции . Таким образом, формула (1.5.8.1) непосредственно позволяет определить для всех с , т. е. во всей (открытой) правой полуплоскости G плоскости z. Интеграл (1.5.8.1) сходится равномерно внутри G, поскольку для любого компакта величина положительна и имеется интегрируемая мажоранта . Функция Г(z) аналитична в области G.

Исследуем возможность аналитического продолжения функции Г(z) в левую  полуплоскость. Для этого используем уравнение 1.5.2 (1.5.2.2)

                                                (1.5.8.2)

Оно было доказано для вещественных значений z. Но так как обе части  равенства представляют собой, очевидно, аналитические функции от z в области G, то из совпадения их на вещественной оси следует в силу теоремы единственности их совпадение во всей полуплоскости G. Переписывая равенство (1.5.8.2) в виде

(1.5.8.3)                                                                                      обратим внимание на то, что правая часть определена и аналитична при всех z с , за исключением значений . Используя теперь формулу (1.5.8.3) для определения гамма-функции, мы получаем аналитическое продолжение ее -в область . При разных n получаются формально различные определения, но в силу единственности аналитического продолжения различные определения дают для любого z одно и то же значение функции Г(z). Так как n можно взять произвольно большим, функция Г(z) оказывается определенной во всей плоскости z, за исключением изолированных особенностей в точках

Из формулы (1.5.8.3) видно, что все эти особенности являются полюсами первого порядка. Можно вычислить и вычет функции Г(z) в полюсе , именно

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. РЕАЛИЗАЦИЯ НА ЭВМ
1. Текст программы

 

program integral;

{$APPTYPE CONSOLE}

uses

  SysUtils;

{задаем нижнюю границу  интеграла}

const x1=1;

{процедура вывода на  экран значения интеграла}

procedure Out(s:real);

  begin

    writeln ('znachenie integrala s =',s:10:5);

  end;

{процедура вывода на  экран верхней границы интеграла}

procedure Outt(a:real);

  begin

    writeln('verhnyaya granitsa integrala a =',a:10:5);

 end;

{функция подсчета высоты  прямоугольника}

function funct(x:real):real;

  begin

    funct:=1/(x);

  end;

{описание переменных, используемых  в программе}

var s,h,e,a,sh:real; k:integer

begin

  { TODO -oUser -cConsole Main : Insert code here }

write('vvedite tochnost e = ');

readln(e);

write('vvedite shag sh = ');

readln(sh);

s:=0;

h:=x1+sh;

 k:=1;

 {оператор, вычисляющий значение интеграла и его верхнюю границу}

while funct(x1+k*(h-x1)-(h-x1)/2)>e do

     begin

       s:=s+(h-x1)*funct(x1+k*(h-x1)-(h-x1)/2);

       a:=x1+k*(h-x1);

       k:=k+1;

     end;

 {вызов процедур Out и Outt}

 Out(s);

Outt(a);

readln;

end.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2 Результат работы  программы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Несобственные интегралы имеют  важное значение во многих областях математического  анализа и его приложений. В  теории специальных функций (цилиндрических функций, ортогональных многочленов  и др.) одним из основных способов изучения является изображение функций  в виде несобственных интегралов, зависящих от параметра, например . К несобственным интегралам относится и Фурье интеграл, а также интегралы, встречающиеся при других интегральных преобразованиях. Решения краевых задач математической физики записываются кратными несобственными интегралами с неограниченной подынтегральной функцией. В теории вероятностей важное значение имеет несобственный интеграл

Многие конкретные несобственные  интегралы были вычислены в XVII и XVIII веках, еще до точного определения сходимости несобственного интеграла, данного Коши лишь в 1821 г. Коши указал также способ вычисления несобственных интегралов с помощью аналитического продолжения и теории вычетов. Абсолютно сходящиеся интегралы были выделены Дирихле (1854), равномерно сходящиеся—Валле-Пуссеиом (1892).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного). М., 1969

2. Данко П.Е. и др. Высшая математика. М., 1997

3. Общий курс высшей  математики. Под ред. Ермакова. М., 2004

4. Пак В.В. Высшая математика. М., 1997

5. Шипачев В.С. Высшая математика. М., 2003

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Задание 1

Предположим, что А>0, тогда

 

Последнее выражение получилось исходя из того, что

 

Задание 2

 

Пусть – корни многочлена Q(x), лежащие в верхней полуплоскости. Образуем замкнутый контур , состоящий из отрезка [-R, R] вещественной оси и полуокружности . Тогда