Несобственные интегралы первого, второго и третьего рода

СОДЕРЖАНИЕ:

Введение………………………………………………………………………..	6
1. Несобственные интегралы………………………………………………….	7
1.1. Несобственные интегралы первого рода………………….………...	7
1.2. Несобственные интегралы второго и третьего рода ……………….	13
1.3. Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов.........	16
1.4. Несобственные интегралы, содержащие параметр ………………..	22
1.5 Гамма-функция и бета-функция Эйлера…………………………….	29
2. Реализация  на ЭВМ…………………………………………………………	30
2.1. Текст программы …………………………………………………….	39
2.2. Результат работы программы………………………..……………...	41
Заключение………………………………………………………………..........	42
Список  использованной литературы………………………………………....	43
Приложение……………………………………………………………………	44

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Задачи, приводящие к несобственным  интегралам рассматривались в геометрической форме Э. Торричелли и П. Ферма в 1644. Точные определения несобственных интегралов  даны О. Коши в 1823. Различие условно и абсолютно сходящихся несобственных интегралов установлено Дж. Стоксом и П. Г. Л. Дирихле (1854). Ряд работ математиков 19 в. посвящен вычислению несобственных интегралов в случаях, когда соответствующая первообразная не выражается через элементарные функции. Значения многих несобственных интегралов приводятся в различных таблицах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 

1.1. Несобственные  интегралы первого рода 

1.1.1. Пусть функция у = f(х) определена при и принимает комплексные значения. Если f(x)= u(x)+ iv(x), где u(х) и v(х) вещественны, мы полагаем по определению

.

Таким образом, интегрируемость  функции f(х) по отрезку [а, b] равносильна одновременной интегрируемости по этому отрезку функций u(х) и v(x).

Пусть функция f(x) интегрируема (например, кусочнонепрерывна) на каждом конечном промежутке , где а фиксировано, а b произвольно. Мы желаем придать смысл «несобственному интегралу 1-го рода»

                                                                                                (1.1.1.1)

Рассмотрим комплексную функцию от аргумента Х а

.                                                                                 (1.1.1.2)

Определение. Если при функция имеет конечный предел , то мы называем несобственный интеграл (1.1.1.1) сходящимся и полагаем по определению

.                             (1.1.1.3)

Если при  функция не имеет конечного предела, мы называем интеграл (1.1.1.1) расходящимся и не приписываем ему никакого значения.

1.1.2. Критерий Коши и эквивалентные условия сходимости. Утверждается, что следующие четыре предложения эквивалентны:

а. Существует такое I, что для любого > 0 найдется такое, что для каждого

.

б. Для любой последовательности числа имеют (конечный) предел.

в. Для любой последовательности ряд                                                                                  сходится.

г. Для любого > 0 существует такое X > а, что при ,                                                              (критерий Коши).

Предложение а есть просто определение предела функции I(Х) на бесконечности. Предложение г есть критерий Коши для существования этого предела. Предложение б представляет собой эквивалентное условие на языке последовательностей. Наконец, предложение в выражает обычную связь между сходимостью ряда и сходимостью последовательности его частных сумм. Итак, предложения а—г эквивалентны.

В предложении б существенно, что речь идет о любой последовательности . Если известно, что для некоторой последовательности   числа имеют предел, то это еще не означает, что интеграл (1.1.1.1) сходится.

1.1.3. Случай неотрицательной подынтегральной функции.

а. Рассмотрим несобственный интеграл

.                                                                                             (1.1.3.1) с неотрицательной функцией f(x). Тогда первообразная не убывает; если I(Х) не ограничена на (а, ), то при она стремится к + и мы говорим, что интеграл (1.1.3.1) расходится к + ; если I(Х) ограничена на (а, ), то sup I(X) = I(X) ) и интеграл (1.1.3.1) сходится.

б. Признак сравнения формулируется следующим образом: если на (а, заданы две неотрицательные интегрируемые на каждом конечном промежутке функции (х)и (х) и (x) c(x) при х , то из сходимости интеграла от (х) следует сходимость интеграла от (х), из расходимости интеграла от (х) следует расходимость интеграла от (х).

Все эти выводы следуют  из неравенства                                                              имеющего место для любого , и из сходимости интеграла с ограниченной первообразной I(X) (а).

1.1.4. Интегральный признак сходимости числового ряда. Пусть есть ряд с положительными невозрастающими членами, так что (n=1,2, ...), и пусть, далее, у=а(х) — положительная невозрастающая функция, такая, что a(n)=. Из рис. 1.1.4 видно, что

.                                  (1.1.4.1)

Из неравенства (1.1.4.1) вытекает: если сходится интеграл , то сходится ряд ,u если расходится интеграл , то расходится и ряд. Это— интегральный признак Коши сходимости числового ряда.

Рис.1.1.4

1.1.5. Абсолютная и неабсолютная сходимость несобственных интегралов. Рассмотрим несобственный интеграл

 ,                                                                                             (1.1.5.1) где f(x)—кусочно-непрерывная комплексная функция. Если сходится интеграл

,                                                                                            (1.1.5.2) то сходится и интеграл (1.1.5.1), поскольку при любых X' и X" 

                                                                             и можно применить критерий Коши. В этом случае интеграл (1.1.5.1.) называется абсолютно сходящимся, а функция f(x) — абсолютно интегрируемой на (а, ). Но интеграл (1.1.5.1) может сходиться и при расходимости интеграла (1.1.5.2); в этом случае интеграл (1.1.5.1) называется условно или неабсолютно сходящимся. Существуют признаки сходимости, применимые к неабсолютно сходящимся интегралам.

1.1.6. Признак Лейбница. Рассмотрим несобственный интеграл

                                                                                                        где функция f(x) вещественна. Пусть есть последовательность всех корней функции f(x) на (а,), причем , f(х)>0 при , и f(x)< 0 при (рис. 1.1.6).

Рис. 1.1.6

Числа

,                                                                                 (1.1.6.1) образуют знакочередующуюся последовательность. Если для них выполняются условия признака Лейбница для числового ряда , т. е. если для всех n = N, N+1, N+2, ... выполняется неравенство и , то интеграл (1.1.6.1) сходится.

Для доказательства найдем при заданном X такое n, что . Тогда                                                                                                           .

Первое слагаемое справа постоянно. Сумма в квадратных скобках  при  имеет предел в силу признака Лейбница для ряда. Последнее слагаемое по модулю не превосходит

                                                                                           и в силу условия стремится к нулю при . Отсюда следует существование предела у левой части, что нам и нужно.

1.1.7.

а. Признак Абеля—Дирихле. Рассмотрим несобственный интеграл

.                                                                                       (1.1.7.1)

Если (комплексная) функция g(x) обладает кусочно-непрерывной абсолютно интегрируемой на (а,) производной и стремится к 0 при х , a s(x) имеет ограниченную первообразную G(x),, то интеграл (1.1.7.1) сходится.

Для доказательства воспользуемся  интегрированием по частям:                                  Здесь внеинтегральный член допускает оценку

, 

и, следовательно, стремится  к нулю при р, . Интегральное слагаемое допускает следующую оценку:

                                                               откуда следует, что оно также стремится к нулю при , . Таким образом, для интеграла (1.1.7.1) выполняется критерий Коши , и, следовательно, интеграл сходится.

б. Для вещественной функции g(x) условие признака а можно несколько видоизменить; именно, в этом случае достаточно предположить, что g(x) стремится к нулю монотонно, обладая кусочно-непрерывной производной. Действительно, в указанном предположении функция (х) не меняет знака и

                                          имеет конечный предел при , так что || интегрируема.

Условия на функцию s(x) остаются прежними.

1.1.8. Интегрирование по частям и через подстановку в несобственном интеграле. Фактически мы уже не раз пользовались этими приемами в конкретных случаях; выскажем теперь некоторые общие соображения. Достаточно проверить, что возможно произвести указанные действия на конечном промежутке (а, X), и затем перейти к пределу при . Так, если интегрирование по частям на промежутке (а, X) дает

,                                               то можно написать и равенство

,                                         в предположении, что по крайней мере два из написанных трех предельных выражений существуют (тогда, очевидно, будет существовать и третье). Здесь внеинтегральный член, в частности, определен так:

.

Аналогично, если в результате подстановки х=х(u) мы пришли к равенству

                                                                        и при этом из следует и обратно, то справедливо равенство

                                                                 если существует хотя бы один из написанных интегралов (тогда существует и второй).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2. Несобственные  интегралы второго и третьего  рода 

1.2.1. Несобственные интегралы второго рода.

а. Рассмотрим комплексную функцию f(x), заданную в конечном промежутке [a, b], интегрируемую в каждом промежутке [a+, b], но, возможно, не интегрируемую (например, не ограниченную) на всем отрезке [a, b]. Мы желаем придать смысл «несобственному интегралу 2-го рода»

.                                                                                               (1.2.1.1)

Для этого рассмотрим функцию  от

.

Если при  это выражение имеет конечный предел, положим I, то мы говорим, что несобственный интеграл 2-го рода (1.2.1.1) сходится, и приписываем ему значение

.

Если при  функция не имеет предела, мы говорим, что несобственный интеграл (1.2.1.1) расходится, и не приписываем ему никакого значения.

б. Если интеграл

.                                                                                        (1.2.1.2) существует как обычный определенный интеграл, то он существует и в нашем новом определении и имеет то же значение I. Действительно, если интеграл (1.2.1.2) существует в обычном смысле, то функция f(x) ограничена вместе с ее вещественной и мнимой частью; пусть, например, . При любом имеем

,                                            (1.2.1.3) причем

.

Отсюда следует, что при  предел второго интеграла в правой части (1.2.1.3) существует и равен интегралу в левой части, что и требуется.

в. Приведенное определение а очень похоже на определение несобственного интеграла 1-го рода (т. е. с бесконечным верхним пределом). И действительно, интеграл 2-го рода прямо приводится к интегралу 1-го рода с помощью подстановки . Поэтому можно всю теорию несобственных интегралов 2-го рода вывести из теории интегралов 1-го рода. Можно теорию строить и параллельно, формулируя заново соответствующие теоремы.

1.2.2. а. Для применения признака сравнения, как всегда, важно иметь широкий набор «эталонных» интегралов. Таковыми для интегралов 2-го рода служат чаще всего интегралы вида