Несобственные интегралы первого, второго и третьего рода

                                                                                   существует при , дифференцируема по и

.                                                           (1.4.4.1)

Доказательство.

.

По условию последовательность функций  сходится равномерно на отрезке , a последовательность функций сходится в точке . Последовательность сходится равномерно на отрезке , ее предел есть дифференцируемая функция от и

 

Тем самым доказаны существование  и дифференцируемость по интеграла

                                                                и равенство (1.4.4.1).

б. Для аналитических функций теорема а приобретает несколько измененную формулировку.

Предположим, что функция у(t, s) определена при и , где G—некоторая область в плоскости ; пусть, далее, у(t, s) аналитична по при каждом t и непрерывна по совокупности (t, s) в каждом «цилиндре» вида , . Будем говорить, что интеграл

,                                                                              (1.4.4.2) сходится равномерно внутри G, если он сходится при каждом и если для любого компакта QG и любого существует такое , что

.

Теорема. Если интеграл (1.4.4.2) сходится равномерно внутри G, то функция

                                                                                   аполитична внутри G и

 .

Доказательство. Функция

                                                                                  аналитична по s, и при этом . Далее, функция при равномерно внутри G сходится к функции ;поэтому функция аналитична в G. Функции сходятся в области G к функции ; отсюда

                                                                                  что и требуется.

1.4.5. Критерий Коши для равномерной сходимости интегралов. Несобственный интеграл

                                                                                             (1.4.5.1) с параметром , пробегающим некоторое множество S, сходится равномерно на S тогда и только тогда, когда для любого найдется такое число N, что при любых

                                                                                    (1.4.5.2)

Доказательство. Пусть интеграл (1.4.5.1) сходится равномерно на S. Для заданного найдем число N так, чтобы иметь

                                                                                   (1.4.5.3) при любом и любом . Пусть, далее, , так что и

                                                                                   (1.4.5.4)

Из неравенств (1.4.5.3) и (1.4.5.4) следует (1.4.5.2), чем доказана необходимость критерия Коши. Обратно, если выполнено неравенство (1.4.5.2), то интеграл (1.4.5.1) при каждом сходится в силу 1.1.2 г. В неравенстве (1.4.5.2) перейдем к пределу при ; мы получим

                                                                                                  для всех и всех , что и означает равномерную сходимость интеграла (1.4.5.1) на множестве S. Теорема доказана.

1.4.6. а. Критерий Коши в свою очередь служит основой для получения частных признаков равномерной сходимости. Одним из простейших является «мажорантный признак».

Пусть имеется неотрицательная  функция f(t) со сходящимся интегралом

                                                                                                (1.4.6.1) Мы будем называть ее интегрируемой мажорантой для всякой функции у(t), такой, что .

Теорема. Если функция при всех обладает одной и той же интегрируемой мажорантой f(t), то интеграл

                                                                                           сходится равномерно на S.

Это утверждение выводится  из неравенства 

                                                       путем применения критерия Коши 1.4.5.

1.4.7. Свертка двух функций. Сверткой двух комплексных функций g(t) и f(t), определенных при , называется интеграл 3-го рода

                                                                  (1.4.7.1)

Эта функция определена не всегда. Далее указываются условия  ее существования и ее свойства.

Теорема. Если f(t) и g(t) непрерывны, ограничены и абсолютно интегрируемы на оси ,, то h(t) существует при каждом t, непрерывна, ограничена и абсолютно интегрируема на оси ,, причем

.

Доказательство. Если , подынтегральная функция допускает оценку , откуда следует, что интеграл (1.4.7.1) сходится и притом равномерно по параметру . Далее, функция h(t) (1.4.7.1) ограничена, поскольку

 ,

Покажем, что подынтегральная  функция непрерывна по совокупности аргументов в каждом конечном прямоугольнике , . Пусть и . Для заданного найдем так, чтобы из следовало и из ,   следовало ; тогда при , мы имеем

                                                                                    и при   

                                                          что и означает непрерывность функции по совокупности аргументов в указанном прямоугольнике. Функция h(t) непрерывна по t.

Теперь проверим абсолютную интегрируемость h(t). Для этого заметим сначала, что функции и удовлетворяют тем же условиям, что и и ; следовательно, интеграл

                                                                                      также сходится равномерно по t, причем подынтегральная функция непрерывна по совокупности t и в любом прямоугольнике , . Применяя к этому интегралу теорему 1.4.3, находим

откуда следует  существование интеграла . Haконец

 

Мы докажем, что последний  интеграл стремится к 0 при , чем и будет доказано последнее утверждение теоремы. Для заданного найдем так, чтобы

                                                                                              и затем так, чтобы

 

Тогда мы будем иметь 

                                                                                           откуда и следует утверждение. Теорема доказана.

Операция свертки, или свертывание, функций f(t) и g(t) обозначается знаком *.

1.4.8. Признак Абеля - Дирихле равномерной сходимости интегралов.

а. Этот признак может быть использован в некоторых случаях, когда мажорантный признак непригоден.

Рассмотрим интеграл

                                                                          (1.4.8.1)

Если (комплексная) функция u(t) обладает кусочно-непрерывной абсолютно интегрируемой производной и стремится к нулю при , а , где С не зависит ни от Т, ни от , то интеграл (1.4.8.1) сходится равномерно на S.

Для доказательства положим  и воспользуемся интегрированием по частям:

.

Здесь мы имеем 

;

.

В силу наших предположений полученные величины стремятся к 0 при T,, что и требуется.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.5 Гамма-функция  и бета-функция Эйлера

1.5.1. Гамма-функция Эйлера определяется формулой

                                                                              (1.5.1.1)

Этот несобственный интеграл 3-го рода представляется в виде суммы  интеграла 1-го рода

                                                                                                        и интеграла 2-го рода

                                                                                                                 первый сходится при любом вещественном , второй сходится при любом > 0.

Поэтому Г() определена равенством (1.5.1.1) для всех >0. Если , то подынтегральная функция обладает интегрируемой мажорантой ; поэтому на любом отрезке [] интеграл (1.5.1.1) сходится равномерно и представляет собой непрерывную функцию от . Таким образом, Г()—непрерывная функция от на (). Производная по подынтегральной функции имеет вид и обладает интегрируемой мажорантой на любом отрезке ;р, a так как функция непрерывна по при каждом и непрерывна по t и в любом прямоугольнике то функция Г() имеет производную

                                                              которая непрерывна по тем же причинам, что и сама функция Г(). Можно продолжать дифференцирование, каждый раз применяя теорему 1.4.4 а; таким образом, Г() имеет производные всех порядков.

1.5.2. Из определения (1.5.1.1) интегрированием по частям получаем

                                                 или

                                                                                     (1.5.2.1)

Равенство (1.5.2.1) называется основным функциональным уравнением для гамма-функции. Применяя его несколько раз, получаем

                        (1.5.2.2) таким образом, если мы знаем значения гамма-функции в каком-либо промежутке длины 1, мы сможем найти ее значения в остальных точках полуоси > 0. Поскольку

                                                                                       мы получаем, что

 

Отсюда видно, что гамма-функция является распространением на все положительные числа функции n!, определенной лишь для натуральных значений n. Далее, из непрерывности при = 1 и из (1.5.2.1) следует, что при

 

1.5.3. Бета-функция и ее связь с гамма-функцией. Интеграл

                                                             (1.5.3.1) являющийся функцией двух параметров p и q, называется бета-функцией Эйлера. Он существует для всех положительных значений р и q: при как собственный, при остальных значениях р и q как несобственный интеграл.

Подстановка преобразует интеграл (1.5.3.1) к виду

                                                                        (1.5.3.2)

Покажем, что бета-функцию можно выразить через гамма-функцию.

Сделав в выражении  для гамма-функции

 

Подстановку , мы получим

 

Заменим здесь  на и на :

 

Умножим обе части этого  равенства на и проинтегрируем от 0 до n:

            (1.5.3.3)

При левая часть стремится к .

Подынтегральная функция в правой части имеет интегрируемую мажоранту , поэтому интегралы можно переставить:

                                где функция

                                                                                            при стремится к функции , равной 0 при y=0 и равной постоянной при у > 0. На отрезке эта сходимость неравномерна (что видно хотя бы из разрывности предельной функции). Но на любом отрезке , где h>0, сходимость уже равномерна, поскольку

 

Кроме того, поскольку  стремится к возрастая, у совокупности функций имеется интегрируемая мажоранта ; поэтому

 

С другой стороны, при любом h > 0

                        (1.5.3.4)

Для заданного  выберем так, чтобы иметь

                                                                                               (1.5.3.5)

Далее, при выбранном h найдем N такое, чтобы при n>N

иметь

                           (1.5.3.6)

Наконец, заметим, что при  выбранном h

(1.5.3.7)

Из неравенств (1.5.3.4), (1.5.3.5), (1.5.3.6), (1.5.3.7) следует, что

 

откуда следует, что 

.

Теперь, переходя к пределу  в (1.5.3.3), получаем

                                                                                     (1.5.3.8)

Это и есть искомое выражение бета-функции через гамма-функцию.

1.5.4. Многие тригонометрические интегралы в свою очередь выражаются через бета-функцию. Так, произведя в интеграле

                                                                   подстановку , получим

 

1.5.5. Формула дополнения для гамма-функции. Полагая q=1-р, получим