Методика изучения сложения и вычитания в пределах 10

В общем виде это можно записать так:

а + (b — с) = а + b — с.

2. Пусть требуется из числа  вычесть разность, например: из 234 вычесть разность чисел 98 и 35, т. е. 63. Сначала вычтем эту разность из числа 234:

234 — 63 = 171.

Теперь поступим иначе: сначала от 234 отнимем 98 и к полученному результату прибавим 35:

а) 234 — 98 = 136;    б)  136 + 35 = 171.

Почему это сделано? Мы должны были из 234 вычесть не 98, а 98 без 35. Когда мы сначала из числа 234 вычли 98, то оказалось, что мы вычли больше, чем следует, на 35 единиц. Значит, наш результат оказался на 35 единиц меньше, чем нужно. Чтобы восполнить этот недостаток, мы и прибавили к результату 35 единиц.

Чтобы вычесть разность из числа, достаточно вычесть из него уменьшаемое (если это возможно) и к полученной разности прибавить вычитаемое.

В общем виде это можно записать так:

а — (b — с) = а — b + с.

Рассмотрим несколько примеров устного вычитания.

1.  Из 69 вычесть 45. Представим 45 как сумму 40 и 5;  тогда можно будет написать:

69 — (40 + 5).  

Отнимая сначала от 69 число 40, получим 29; отнимая затем от 29 ещё 5, получим окончательный результат 24.  Значит,  69 — 45 = 24.  Таким образом, мы начинали вычитание с высших  разрядов.

2.   Рассмотрим более сложный пример. Из 75 вычесть 47. Выполним вычитание следующим   образом:

75 — 50 + 3 = 25 + 3 = 28.

Сначала, округлив 47 до 50, мы вычли из 75 лишних 3 единицы, а потом мы их прибавили.

3.  Рассмотрим теперь такой случай вычитания. Пусть нужна от 100 отнять 86. Рассуждаем так: ближайшее следующее круглое число к 86 есть 90, разница между ними 4, а от 90 до 100 ещё недостаёт 10. Значит, разность между 100 и 86 будет 4 + 10 = 14. Мы сделали вычитание по способу дополнения.

4.  Рассмотрим пример, при решении которого мы будем опираться на второе свойство вычитания. Пусть нужно вычесть 26 из 114. Выделим в уменьшаемом сотню, т. е.  представим этот пример так:   (100 + 14) — 26. Вычтем 26 из 100, получим 74, а затем прибавим к 74 число 14, получим окончательно  88,

114—26 = 88.

5.   Рассмотрим пример на сложение,  при решении которого приходится пользоваться вычитанием: 34 + 47.

Представим 47 как разность 50 — 3, тогда  у нас получится:

34 + 50 — 3 = 84 — 3 = 81.

Этим приёмом обычно пользуются в тех случаях, когда приходится прибавлять число, оканчивающееся на 6; 7; 8 или 9. Например:

367 + 198 = 367 + 200 — 2 = 567 — 2 = 565

 

2. Методика изучения сложения и вычитания в пределах десяти в традиционной и вариативной системах обучения

 

 

Вопрос об арифметических действиях является центральным в начальном курсе математики. От правильного его решения зависит успех формирования понятий о самих действиях, их свойствах, а также умений и навыков вычислений.

При традиционном подходе к обучению младших школьников конкретный смысл каждого действия раскрывается в процессе выполнения операций над конечными множествами (объединение множеств без общих элементов, удаление части множества, объединение множеств одинаковой численности, разложение данного множества на ряд равночисленных множеств), что позволяет опереться на жизненный опыт детей и использовать наглядность при изучении всех вопросов, связанных с действиями.

Основное содержание изучения арифметических действий составляет формирование вычислительных навыков с помощью системы достаточно большого количества упражнений, которые приводят учеников к знанию наизусть таблиц сложения и умножения, к твердым и осознанным навыкам устных и письменных вычислений. Эти упражнения должны быть связаны с раскрытием свойств арифметических действий, связи между компонентами и результатами действий, с изменением результатов действий в зависимости от изменения данных, с усвоением математической терминологии и основных случаев применения каждого действия при решении задач.

Законы и свойства арифметических действий постигаются детьми главным образом на основе практического применения их в устных и письменных вычислениях. В процессе этих упражнений дети обучаются на практике пользоваться:

1. переместительным законом сложения, который вводится уже в пределах 1 десятка и получает дальнейшее применение при изучении последующих концентров;
2. переместительным законом умножения, который вводится после изучения умножения в пределах 20;
3. сочетательным законом сложения, начиная со сложения однозначных чисел в пределах первого десятка;
4. сочетательным законом умножения при письменном умножении на круглые десятки, сотни и тысячи;
5. распределительным законом умножения и соответствующим свойством деления, начиная с I класса.

Конечным этапом этой работы должна быть обобщенная формулировка и сознательнее усвоение указанных свойств и законов.

Работу над усвоением каждого из свойств можно проводить иначе по следующим этапам: выполнение подготовительных упражнений, соответствующих операций над множествами, формулировка свойства, применение свойства к нахождению результата арифметического выражения и к приемам вычислений, сопоставление этого свойства с другими, сходными с ним, (эксперимент М. А. Байтовой).

Такое решение вопроса о введении свойств арифметических действий поднимет на новую ступень культуру выполнения самих действий и положительно скажется на математическом развитии учащихся.

Первое знакомство с арифметическими действиями происходит уже при изучении нумерации (случаи п ± 1), иначе нельзя было бы раскрыть образования чисел натурального ряда и отношений между ними. После рассмотрения нумерации приступают к изучению сложения и вычитания в пределах первого десятка, располагая примеры по признаку увеличения второго компонента: п ± 2, п ± 3 и т. д. до п ± 9.

В процессе работы над данным разделом учитель должен

1. обеспечить понимание учениками конкретного смысла каждого арифметического действия, 
2. научить их находить результаты действий при помощи вычислений и
3. добиться усвоения детьми наизусть таблицы сложения.

Большинство методистов рекомендуют изучать каждый табличный ряд по такому примерно плану:

1. Разъяснение вычислительного приема.
2. Упражнения в вычислениях (решение примеров и задач).
3. Составление соответствующих таблиц и усвоение их.

Рассмотрение каждого следующего табличного ряда предполагает твердое знание результатов предыдущего ряда. Таким образом, прежде чем приступить к изучению ряда п ± 3, дети должны хорошо усвоить случаи п ± 2, чтобы прибавлять и отнимать тройку не только по одному, к чему они склонны, но и группами: п ± (2 + 1), п ± (1 + 2). Умение быстро прибавлять и отнимать двойку требуется и для изучения ряда п ± 4.

Однако присчитывание и отсчитывание не могут служить универсальным приемом для всех случаев сложения и вычитания в пределах первого десятка. Уже при изучении случаев п ± 5 применение его становится нецелесообразным (2 + 5, б — 5 и т. п.). Возникает вопрос, когда и как познакомить учеников с более рациональными вычислительными приемами — научить пользоваться при сложении перестановкой слагаемых, а при вычитании — опорой на соответствующие случаи сложения.

В методической литературе вопрос о переходе к новым вычислительным приемам решается по-разному.

В учебнике арифметики для I класса сохранен прием так называемого последовательного сложения и вычитания для всех случаев в пределах десяти. Однако в этом учебнике наряду с присчитыванием и отсчитыванием вводится прием перестановки слагаемых и прием нахождения результата вычитания на основе знания состава, уменьшаемого. Но при этом перестановка слагаемых выступает не как общее свойство суммы, а лишь как средство, облегчающее в некоторых случаях нахождение результата сложения (легче к большему числу прибавить меньшее, чем наоборот). И вычитание на основе знания состава числа рассматривается только как удобный в некоторых случаях вычислительный прием. Зависимость между суммой и слагаемыми при этом не раскрывается. Таким образом, данная система не формирует главнейших понятий, относящихся к действиям первой ступени.

Другие методисты рекомендуют отказаться от приемов присчитывания и отсчитывания второго компонента, начиная со случаев n ± 5. В целях сознательного усвоения новых вычислительных приемов возникает необходимость углубить понимание арифметических действий первой ступени. Знакомство с переместительным законом сложения помогает детям осмыслить сложение как объединение равноправных слагаемых. Наряду с этим раскрытие связи между суммой и слагаемыми дает возможность рассматривать вычитание как действие, обратное сложению. На этой основе можно ввести новые вычислительные приемы: использовать перестановку слагаемых в тех случаях, когда это облегчает вычисления (числа при сложении переставлять всегда можно, но не всегда нужно); находить результат вычитания на основе соответствующих случаев сложения и понимания зависимости между суммой и слагаемыми (если от суммы отнять одно из слагаемых, то останется другое слагаемое).

Изучение сложения и вычитания на этом этапе можно организовать по-разному: одновременно рассматривать оба действия, как и на предыдущем этапе: n ± 5, n ± 6 и т. д., или последовательно сначала рассмотреть все случаи сложения (п + 5 и т. д. до п + 9), затем соответствующие случаи вычитания.

В том и другом случае работа включает следующие моменты:

1. сложение с использованием перестановки чисел, 
2. усвоение состава чисел и зависимости между суммой и слагаемыми, 

вычитание на основе знания состава числа и понимания связи между сложением и вычитанием.

Большое значение на данной ступени обучения имеет принцип наглядности. Необходимость использования наглядных пособии вызывается особенностями психики младшего школьника. Лишь на основе восприятия достаточного количества наглядных конкретных фактов у детей формируются математические понятия. Ученик должен не один раз видеть и сам выполнять различные действия, такие, как счет, измерение, объединение множеств и удаление правильной части множества, сравнение множеств, обозначение числа соответствующей цифрой, чтобы у него сформировались полноценные понятия числа, натурального ряда, сложения и вычитания и свойств этих действий.

Опора на конкретные факты имеет, в частности, и воспитательное значение, так как приучает детей видеть в математике ее жизненно практическую основу.

Рисунок 1.1.
	Рисунок 1.2.   Рисунок 1.3.
	Рисунок 1.4.

Однако наглядный характер обучения не должен тормозить развития отвлеченного мышления детей. Накопленные учениками наблюдения необходимо своевременно обобщать: «3 палочки больше двух палочек на 1 палочку; 3 кружка больше двух кружков на 1 кружок; 3 метра больше двух метров на 1 метр; значит, вообще число 3 больше числа 2 на 1 единицу» и т. п. Так начинает осуществляться в доступной для детей форме процесс абстрагирования.

Для того чтобы успешно проходило изучение первого десятка, следует обеспечить детей достаточным количеством наглядных пособий.

Рисунок 1.5.

 

 

 Рисунок 1.6.

Рисунок 1.7. 

При подготовке к учебному году надо позаботиться о том, чтобы в I классе было наборное полотно, счетный материал, такие наглядные пособия, как счеты, картинки и индивидуальные комплекты дидактического материала на каждого ученика: касса с разрезными цифрами , наборное полотно с набором геометрических фигур и изображений монет, счеты и палочки. Не следует, однако, перегружать уроки предметной наглядностью; большинство методистов полагают, что для изучения первого десятка вполне достаточно иметь вышеуказанные наглядные пособия, а в качестве счетного материала можно использовать геометрические фигуры и несколько наборов картинок.

При развивающем обучении (Программа «Гармония», автор Истомина Н.Б.) формирование вычислительных умений и навыков является одной из основных задач начального курса математики. Вычислительное умение - это развёрнутое осуществление действия, в котором каждая операция осознаётся и контролируется. В отличие от умения навыки характеризуются свёрнутым, в значительной мере автоматизированным выполнением действия, с пропуском промежуточных операций, когда контроль переносится на конечный результат.

В начальном курсе математики учащиеся должны усвоить на уровне навыка: таблицу сложения (вычитания) в пределах 10; таблицу сложения однозначных чисел с переходом через разряд и соответствующие случаи вычитания; таблицу умножения и соответствующие случаи деления.

Подход в системе РО к формированию навыков сложения и вычитания в пределах 10 предполагает осознанное составление таблиц и их непроизвольное или произвольное запоминания в процессе специально организованной деятельности. Необходимо обеспечить усвоение детьми рациональных вычислительных приемов сложения и вычитания в пределах первого десятка; сформировать прочные вычислительные навыки, добиться запоминания результатов сложения, а также состава чисел. Дети знакомятся с названием действий, их компонентов и результатов. При этом имеется ввиду, что математические термины должны усваиваться детьми естественно, как усваиваются ими любые новые для них слова, если они часто употребляются окружающими и находят применение в практике.

Кроме этого дети должны научиться решать простые задачи на сложение и вычитание. Дети знакомятся с математическими выражениями, учатся их читать, записывать, а так же приступают к сравнению выражений, на основе чего получают числовые равенства и неравенства вида:  
 
4+2<7 7-3<7+3 4+3=3+4  
 
 
Изучение сложения и вычитания в пределах 10 можно провести по такому плану:

1. Подготовительный этап. Раскрытие конкретного смысла действий сложения и вычитания, запись и чтение выражений, случаи прибавления и вычитания, где результаты находятся на основе знания правил образования последовательности чисел в натуральном ряду.
2. Изучение приемов присчитывания и отсчитывания по одному и группами для случаев прибавления и вычитания 2,3,4.
3. Изучение приема перестановки слагаемых для случаев прибавления 5, 6, 7, 8, 9.
4. Изучение приема вычитания на основе связи между суммой и слагаемыми для случаев вида: …-5, …-6, …-7, …-8, …-9. 

Усвоение таблицы должно быть доведено до автоматизма. В противном случае учащиеся будут испытывать трудности при овладении различными вычислительными умениями, в каждое из которых в качестве операции входят вычислительные навыки.