Автор работы: Пользователь скрыл имя, 24 Января 2013 в 17:54, контрольная работа
Задание 1
а) Система двух Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) с двумя неизвестными задана своей расширенной матрицей. Решите СЛАУ методом Зейделя с точностью до 0,001. Поменяйте порядок следования уравнений в СЛАУ и решите полученную таким образом СЛАУ тем же методом Зейделя. Постройте графики уравнений СЛАУ в обоих случаях и покажите на них первые три-четыре итерации.
б) Система четырех Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) с четырьмя неизвестными задана своей расширенной матрицей. Решите СЛАУ методом Зейделя с точностью до 0,001.
Задание 2
Отделить корни уравнения f(x), используя графико-аналитический метод. Найти корни уравнения с заданной точностью методом бисекций, Ньютона или простых интерций. Выполнить проверку правильности найденных решений, вычислив невязки.
Задание 3
а) Используя обобщенные формулы трапеций и Симпсона вычислить определенные интегралы с заданной точностью. Проверку достижения требуемой точности проводить по правилу Рунге.
Представим таблицу в следующем виде.
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
xi |
0 |
0,3925 |
0,785 |
1,1775 |
1,57 |
1,9625 |
2,355 |
2,7475 |
3,14 |
f(xi) |
0 |
0,05706 |
0,0116 |
0,00018 |
3,09E-07 |
6,3E-11 |
1,6E-15 |
5,5E-21 |
2,4E-27 |
В результате:
Ответ:
Задание 4
а) Найти приближенное решение задачи Коши методом Эйлера и методом Рунге-Кутта 4 порядка на заданном отрезке с шагом h=0.1 (или h=0.01).
Решение
Сделаем преобразования:
Расчетные формулы модифицированного метода Эйлера:
Расчетные формулы метода Рунге – Кутта 4 порядка:
|
x |
y1 |
y2 |
|
1 |
2 |
2 |
1,1 |
1,2210 |
1,2221 |
1,2 |
1,4923 |
1,4977 |
1,3 |
1,8482 |
1,8432 |
1,4 |
2,2466 |
2,2783 |
1,5 |
2,7680 |
2,8274 |
1,6 |
3,4176 |
3,5201 |
1,7 |
4,2257 |
4,3927 |
1,8 |
5,2288 |
5,4894 |
1,9 |
6,4704 |
6,8643 |
2 |
8,0032 |
8,5834 |
Видно, что самым точным является метод Рунге – Кутта – 8,5834
б) Найти приближенное решение задачи Коши или методом Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка на отрезке [0;1] с шагом h=0.1 (или h=0.01).
Решение
Решим задачу модифицированным методом Эйлера и Рунге – Кутта с шагом h=0.1.
Введем функцию:
Тогда получим следующую задачу Коши для системы двух ОДУ первого порядка:
Расчетные формулы модифицированного метода Эйлера:
Расчетные формулы метода Рунге – Кутта 4 порядка:
Модифицированный метод Эйлера:
x |
yсv |
zcv |
y |
z |
yтеор |
zтеор |
y-yтеор |
|
0 |
5 |
2 |
5 |
2 |
5 |
2 |
2 |
0,1 |
4,98 |
-0,2 |
4,98 |
-0,18 |
4,975 |
-0,1462 |
0,016315 |
0,2 |
4,78157 |
-0,2974 |
4,78977 |
-0,2699 |
4,7796 |
-0,2461 |
0,015115 |
0,3 |
4,58314 |
-0,3948 |
4,59954 |
-0,3598 |
4,5842 |
-0,346 |
0,011915 |
0,4 |
4,38471 |
-0,4922 |
4,40931 |
-0,4497 |
4,3888 |
-0,4459 |
0,008715 |
0,5 |
4,18628 |
-0,5896 |
4,21908 |
-0,5396 |
4,1934 |
-0,5458 |
0,005515 |
0,6 |
3,98785 |
-0,687 |
4,02885 |
-0,6295 |
3,998 |
-0,6457 |
0,002315 |
0,7 |
3,78942 |
-0,7844 |
3,83862 |
-0,7194 |
3,8026 |
-0,7456 |
-0,00089 |
0,8 |
3,59099 |
-0,8818 |
3,64839 |
-0,8093 |
3,6072 |
-0,8455 |
-0,00409 |
0,9 |
3,39256 |
-0,9792 |
3,45816 |
-0,8992 |
3,4118 |
-0,9454 |
-0,00729 |
1 |
3,19413 |
-1,0766 |
3,26793 |
-0,9891 |
3,2164 |
-1,0453 |
-0,01049 |
Схема Рунге - Кутта:
x |
y |
z |
k1 |
l1 |
k2 |
l2 |
k3 |
l3 |
k4 |
l4 |
|
0 |
5 |
2 |
0 |
-1 |
-0,1 |
-0,7 |
-0,07 |
-0,75 |
-0,15 |
-0,468 |
0,1 |
4,98 |
-0,18 |
-0,18 |
-0,6713 |
-0,1188 |
-0,3422 |
-0,1681 |
-0,4626 |
-0,2374 |
-0,1934 |
0,2 |
4,78977 |
-0,2699 |
-0,2699 |
-0,3425 |
-0,1375 |
0,01564 |
-0,2662 |
-0,1752 |
-0,3249 |
0,0812 |
0,3 |
4,59954 |
-0,3598 |
-0,3598 |
-0,0138 |
-0,1563 |
0,37346 |
-0,3643 |
0,1122 |
-0,4123 |
0,3558 |
0,4 |
4,40931 |
-0,4497 |
-0,4497 |
0,31496 |
-0,175 |
0,73128 |
-0,4624 |
0,3996 |
-0,4997 |
0,6304 |
0,5 |
4,21908 |
-0,5396 |
-0,5396 |
0,6437 |
-0,1938 |
1,0891 |
-0,5605 |
0,687 |
-0,5872 |
0,905 |
0,6 |
4,02885 |
-0,6295 |
-0,6295 |
0,97244 |
-0,2126 |
1,44692 |
-0,6586 |
0,9744 |
-0,6746 |
1,1796 |
0,7 |
3,83862 |
-0,7194 |
-0,7194 |
1,30118 |
-0,2313 |
1,80474 |
-0,7567 |
1,2618 |
-0,762 |
1,4542 |
0,8 |
3,64839 |
-0,8093 |
-0,8093 |
1,62992 |
-0,2501 |
2,16256 |
-0,8548 |
1,5492 |
-0,8494 |
1,7288 |
0,9 |
3,45816 |
-0,8992 |
-0,8992 |
1,95866 |
-0,2688 |
2,52038 |
-0,9529 |
1,8366 |
-0,9369 |
2,0034 |
1 |
3,26793 |
-0,9891 |
-0,9891 |
2,2874 |
-0,2876 |
2,8782 |
-1,051 |
2,124 |
-1,0243 |
2,278 |
Мax(y-yтеор)=4*10-5
Информация о работе Контрольная работа по "Вычислительной математике"